AKSIOMAATTINEN MENETELMÄ: OMINAISUUDET, VAIHEET, ESIMERKIT - KULTTUURISANASTO - 2026

Itsestään selvää, menetelmä tai kutsutaan myös axiomatics on muodollinen menettely, jota tieteet, jonka avulla tietoja tai ehdotuksia kutsutaan aksioomia on muotoiltu, liitetty toisiinsa suhde verovähennyskelpoisuustason ja jotka ovat ennusteiden perusteella tai ehtoja tietyn järjestelmän.

Tämä yleinen määritelmä on muotoiltava evoluutiossa, jota tällä menetelmällä on ollut historian aikana. Ensinnäkin on olemassa muinainen tai sisältömenetelmä, joka syntyi antiikin Kreikassa Euclidista ja jonka myöhemmin kehitti Aristoteles.

Toiseksi, jo 1800-luvulla, geometrian ulkonäkö, jonka aksioomit ovat erilaisia ​​kuin Euklidin. Ja lopuksi, muodollinen tai moderni axiomaattinen menetelmä, jonka suurin eksponentti oli David Hilbert.

Tämän prosessin ajan myötä kehittyneen prosessin lisäksi tämä menetelmä on ollut deduktiivisen menetelmän perusta, jota käytettiin geometriassa ja logiikassa, josta se on alkanut. Sitä on käytetty myös fysiikassa, kemiassa ja biologiassa.

Ja sitä on sovellettu jopa oikeustieteessä, sosiologiassa ja poliittisessa taloudessa. Nykyisin sen tärkein sovellusalue on kuitenkin matematiikka ja symbolinen logiikka sekä eräitä fysiikan aloja, kuten termodynamiikka, mekaniikka, muun muassa.

ominaisuudet

Vaikka tämän menetelmän perusominaisuus on aksioomien muotoilu, niitä ei aina ole pidetty samalla tavalla.

Jotkut voidaan määritellä ja rakentaa mielivaltaisella tavalla. Ja toiset mallin mukaan, jossa sen taattua totuutta harkitaan intuitiivisesti.

Jotta ymmärretään tarkalleen, mistä tämä ero ja sen seuraukset koostuvat, on tarpeen käydä läpi tämän menetelmän kehitys.

Muinainen tai sisältöaksioomaattinen menetelmä

Se on se, joka perustettiin antiikin Kreikassa kohti 5. vuosisataa eKr. Sen soveltamisala on geometria. Tämän vaiheen perustyö on Euklidin elementit, vaikka katsotaan, että ennen häntä, Pythagoras, oli jo synnyttänyt aksiomaattisen menetelmän.

Siksi kreikkalaiset suhtautuvat tiettyihin tosiseikkoihin aksioomina vaadimatta mitään loogista todistusta, toisin sanoen ilman todisteita, koska heille ne ovat itsestään selvä totuus.

Euclid puolestaan ​​esittelee viisi geometrian aksioomaa:

1 - Kun kaksi pistettä on, rivi sisältää tai yhdistää ne.

2 - mitä tahansa segmenttiä voidaan jatkaa jatkuvasti rajoittamattomassa linjassa molemmin puolin.

3-Voit piirtää ympyrän, jolla on keskipiste missä tahansa pisteessä ja missä tahansa sädessä.

4-Suorat kulmat ovat kaikki samat.

5-Kun otetaan mikä tahansa suora viiva ja mikä tahansa piste, jota siinä ei ole, sen kanssa on suora linja, joka sisältää kyseisen pisteen. Tämä aksioomi tunnetaan myöhemmin rinnakkaisten aksioomina, ja se on myös ilmaistu seuraavasti: Yksi suunta voidaan vetää viivan ulkopuolelta.

Sekä Euclid että myöhemmät matemaatikot ovat kuitenkin yhtä mieltä siitä, että viides aksiooma ei ole niin intuitiivisesti selkeä kuin toinen 4. Jo renessanssin aikana viides yritetään päätellä muista 4, mutta se ei ole mahdollista.

Tämä teki siitä, että jo XIX vuosisadalla ne, jotka ylläpitävät viittä, kannattivat euklidista geometriaa ja ne, jotka kielsivät viidennen, olivat ne, jotka loivat ei-euklidiset geometriat.

Ei-euklidinen axiomaattinen menetelmä

Juuri Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai ja Johann Karl Friedrich Gauss näkevät mahdollisuuden rakentaa ilman ristiriitaa geometrian, joka tulee muista kuin Euclidin aksioomijärjestelmistä. Tämä tuhoaa uskon absoluuttiseen totuuteen tai a priori aksioomeihin ja niistä johdetuihin teorioihin.

Niinpä aksioomat alkavat ajatella tietyn teorian lähtökohtina. Myös sekä hänen valintansa että sen pätevyysongelma toisessa tai toisessa merkityksessä alkavat liittyä tosiasioihin, jotka ovat aksiomaattisen teorian ulkopuolella.

Tällä tavalla geometriset, algebralliset ja aritmeettiset teoriat näyttävät rakentuvan aksioomaattisen menetelmän avulla.

Tämä vaihe huipentuu aritmeettisten aksomaattisten järjestelmien luomiseen, kuten Giuseppe Peano's vuonna 1891; David Hubertin geometria vuonna 1899; Alfred North Whiteheadin ja Bertrand Russellin lausunnot ja ennustelaskelmat Englannissa vuonna 1910; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelon sarjojen aksioomaattinen teoria vuonna 1908.

Moderni tai muodollinen aksomaattiset menetelmät

David Hubert aloittaa muodollisen aksiomaattisen menetelmän suunnittelun ja johtaa sen huipentumiseen, David Hilbert.

Juuri Hilbert muotoilee tieteellisen kielen pitäen sen lausuntoja kaavoina tai merkkijaksoina, joilla ei ole merkitystä sinänsä. He saavat merkityksen vain tietyssä tulkinnassa.

Hän selittää teoksessa "Geometrian perusteet" ensimmäisen esimerkin tästä menetelmästä. Tästä eteenpäin geometriasta tulee tieteellisiä puhtaita loogisia seurauksia, jotka saadaan hypoteesien tai aksioomien järjestelmästä, joka on paremmin nivelletty kuin euklidinen järjestelmä.

Tämä johtuu siitä, että antiikin järjestelmässä aksioomaattinen teoria perustuu aksioomien todisteisiin. Vaikka muodollisen teorian perusta perustuu siihen, se osoittaa sen aksioomien olevan ristiriidassa keskenään.

Askeleet

Menettely, jolla suoritetaan aksioomaattinen jäsennys tieteellisissä teorioissa, tunnustaa:

a - tietyn määrän aksioomien valinta, toisin sanoen joukko tietyn teorian ehdotuksia, jotka hyväksytään ilman todisteita.

b-Näihin ehdotuksiin kuuluvia käsitteitä ei määritetä annetun teorian puitteissa.

c - tietyn teorian määritelmän ja päätelmän säännöt asetetaan ja ne sallivat uusien käsitteiden käyttöönoton teorian sisällä ja johtavat loogisesti joihinkin ehdotuksiin muista.

d-muut teorian ehdotukset, eli lause, johdetaan a: sta c: n perusteella.

esimerkit

Tämä menetelmä voidaan varmistaa todistamalla kaksi tunnetuinta Euclid-lausetta: jalkojen lause ja korkeuslause.

Molemmat johtuvat tämän kreikkalaisen geometrin havainnosta, että kun korkeus hypotenuuseen nähden on piirretty oikeanpuoleiseen kolmioon, esiin tulee vielä kaksi alkuperäisen kolmiota. Nämä kolmiot ovat samanlaisia ​​toisiinsa ja samalla samankaltaisia ​​kuin alkuperäiskolmio. Tämä edellyttää, että niiden vastaavat homologiset puolet ovat suhteellisia.

Voidaan nähdä, että kolmiossa olevat samankaltaiset kulmat tarkistavat tällä tavoin samanlaisuuden, joka esiintyy kolmen osallistuvan kolmion välillä AAA-samanlaisuuskriteerin mukaisesti. Tämä kriteeri toteaa, että kun kahdella kolmiolla on kaikki samat kulmat, ne ovat samanlaisia.

Kun osoitetaan, että kolmiot ovat samankaltaisia, voidaan vahvistaa ensimmäisessä lauseessa määritellyt suhteet. Sama lausunto, että oikeassa kolmiossa kunkin jalan mitta on geometrinen verrannollinen keskiarvo hypotenuenin ja jalan projektion välillä.

Toinen lause on korkeus. Se määrittelee, että mikä tahansa oikeanpuoleinen kolmio, jonka korkeus vedetään hypoteenuksen mukaan, on segmenttien välinen geometrinen suhteellinen keskiarvo, joka määritetään mainitulla geometrisella keskiarvolla hypoteenuksessa.

Molemmilla lauseilla on tietysti lukuisia sovelluksia ympäri maailmaa opetuksen lisäksi myös tekniikassa, fysiikassa, kemiassa ja tähtitiedeessä.

Viitteet

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismi ja intuitio: David Hilbert ja muodollinen aksiomaattinen menetelmä (1895-1905). Revista de Filosofía, osa 39, nro 2, s. 121-146. Otettu lehdet.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Aksiomaattinen ajatus. W. Ewald, toimittaja, Kantista Hilbertille: lähdekirja matematiikan perustaksi. Osa II, sivut 1105 - 1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Mikä on aksiomaattinen menetelmä? Synthese, marraskuu 2011, osa 189, s. 69 - 85. Otettu linkistä.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Johdatus nykyajan oikeusfilosofiaan. (Pp.48-49). Otettu osoitteesta books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatic Method, Ricardo Nirenbergin lukema, syksy 1996, Albanyn yliopisto, projekti Renaissance. Otettu Albany.edu-sivustolta.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert matematiikan muodollisen ja epävirallisen puolen välillä. Käsikirjoitus vol. 38 ei 2, Campinas heinä / elokuu 2015. Otettu osoitteesta scielo.br.