PAINOPISTE: OMINAISUUDET, LASKENTA, ESIMERKIT - FYYSINEN - 2025

Painopiste elin mitattavissa koko on kohta, jossa sen paino on ajateltu käytettäväksi. Siksi se on yksi statiikan pääkäsitteistä.

Ensimmäinen lähestymistapa elementaarifysiikan ongelmissa koostuu olettamisesta, että mikä tahansa esine käyttäytyy pistemassana, ts. Sillä ei ole mittoja ja koko massa on keskittynyt yhteen pisteeseen. Tämä pätee laatikkoon, autoon, planeettaan tai alaatomiseen hiukkasiin. Tätä mallia kutsutaan hiukkasmalliksi.

Kuva 1. Korkeushyppyssä urheilija hallitsee siten, että painopiste on kehon ulkopuolella. Lähde: Pixabay

Tämä on tietysti arvio, joka toimii erittäin hyvin monissa sovelluksissa. Ei ole helppoa harkita tuhansien ja miljoonien hiukkasten yksilöllistä käyttäytymistä, joita mikä tahansa esine voi sisältää.

Asioiden todelliset ulottuvuudet on kuitenkin otettava huomioon, jos halutaan saada todellisuutta lähemmät tulokset. Koska olemme yleensä maapallon läheisyydessä, mihin tahansa kehoon aina olemassa oleva voima on juuri paino.

Huomioita painopisteen löytämisestä

Jos kehon koko on otettava huomioon, missä nimenomaan painot on käytettävä? Kun sinulla on mielivaltaisesti muotoiltu jatkuva esine, sen paino on voima, joka jakautuu kunkin sen sisältämien hiukkasten kesken.

Olkoon nämä hiukkaset m ₁, m ₂, m ₃… Jokainen niistä kokee vastaavan painovoimansa m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, ne kaikki ovat yhdensuuntaiset. Näin on, koska maapallon gravitaatiokenttää pidetään vakiona useimmissa tapauksissa, koska esineet ovat pieniä verrattuna planeetan kokoon ja ovat lähellä sen pintaa.

Kuva 2. Kohteen paino on hajautettu massa. Lähde: itse tehty.

Näiden voimien vektorisumma johtaa esineen painoon, jota sovelletaan kohtaan, jota kutsutaan painopisteeksi, jota kuvassa merkitään CG, joka sitten osuu massakeskukseen. Massan keskipiste on puolestaan ​​kohta, jossa koko massa voidaan pitää tiivistettynä.

Tuloksena olevan painon suuruus on Mg, missä M on esineen kokonaismassa, ja tietenkin se on suunnattu pystysuunnassa kohti maan keskustaa. Liittämismerkintä on hyödyllinen kehon kokonaismassan ilmaisemiseen:

Painopiste ei aina ole sama kuin materiaalipiste. Esimerkiksi renkaan CG on sen geometrisessa keskuksessa, missä itse massaa ei ole. Silti, jos haluat analysoida kehässä vaikuttavia voimia, sinun on kohdistettava paino tähän tarkkaan kohtaan.

Niissä tapauksissa, joissa esineellä on mielivaltainen muoto, jos se on homogeeninen, sen massakeskipiste voidaan silti laskea etsimällä kuvan keskipiste tai painopiste.

Kuinka painopiste lasketaan?

Periaatteessa, jos painopiste (CG) ja massakeskipiste (cm) osuvat yhteen, koska painovoimakenttä on tasainen, cm voidaan laskea ja kohdistaa siihen paino.

Tarkastellaan kahta tapausta: ensimmäinen on tapaus, jossa massajakauma on erillinen; toisin sanoen jokainen järjestelmän muodostava massa voidaan laskea ja antaa luku i, kuten edellisessä esimerkissä tehtiin.

Massakeskipisteen koordinaatit erillisen massajakauman suhteen ovat:

Kaikkien massojen summa on luonnollisesti yhtä suuri kuin järjestelmän M kokonaismassa, kuten yllä on osoitettu.

Kolme yhtälöä pelkistetään kompaktiin muotoon, kun otetaan huomioon vektori r _cm tai massakeskipisteen asemavektori:

Ja jatkuvan massajakauman tapauksessa, jossa hiukkaset ovat erikokoisia eikä niitä voida erottaa niiden laskemiseksi, summa korvataan integraalilla, joka tehdään kyseisen esineen käyttämään tilavuuteen:

Missä r on massan erotuksen dm sijaintivektori ja massatiheyden määritelmää on käytetty ilmaisemaan tilavuuseroon dV sisältyvä massaero dm:

ominaisuudet

Joitakin tärkeitä huomioita massakeskuksesta ovat seuraavat:

- Vaikka referenssijärjestelmä vaaditaan paikkojen määrittämiseksi, massakeskipiste ei ole riippuvainen järjestelmän valinnasta, koska se on esineen ominaisuus.

- Kun esineellä on akseli tai symmetriataso, massakeskipiste on kyseisellä akselilla tai tasolla. Tämän tilanteen hyödyntäminen säästää laskenta-aikaa.

- Kaikki esineeseen vaikuttavat ulkoiset voimat voidaan kohdistaa massakeskukseen. Tämän pisteen liikkeen seuraaminen antaa yleiskuvan kohteen liikkeestä ja helpottaa sen käyttäytymisen tutkimista.

- Kehon painopisteen löytäminen staattisessa tasapainossa

Oletetaan, että haluat saada edellisen kuvan rungon olemaan staattisessa tasapainossa, ts. Se ei käännä tai pyöri mielivaltaisen kiertoakselin ympäri, joka voi olla O.

Kuva 3. Kaava painon vääntömomentin laskemiseksi suhteessa pisteeseen O.

- Ratkaistu esimerkki

Ohuesta yhtenäisestä materiaalista valmistettu tanko on 6 m pitkä ja painaa 30 N. Vasempaan päähän ripustetaan 50 N paino ja oikean päähän 20 N paino. Löydä: a) Tankojen tasapainon ylläpitämiseen tarvittavan ylöspäin suuntautuvan voiman suuruus, b) Kokoonpanon painopiste.

Ratkaisu

Voimakaavio on esitetty seuraavassa kuvassa. Tangon paino kohdistetaan sen painopisteeseen, joka on samansuuntainen sen geometrisen keskuksen kanssa. Ainoa huomioon otetun palkin mitta on sen pituus, koska lause ilmoittaa sen olevan ohut.

Kuva 4. Palkin voimien kaavio.

Jotta palkki + painotusjärjestelmä pysyisi translaation tasapainossa, voimien summan on oltava nolla. Voimat ovat pystysuorat, jos tarkastellaan merkillä + ja alas merkillä - niin:

F-50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Tämä voima takaa translaatiotasapainon. Otetaan kaikkien voimien vääntömomentit akselin suhteen, joka kulkee järjestelmän vasemman reunan läpi, ja sovelletaan määritelmää:

t = rx F

Kaikkien näiden voimien momentit valitun pisteen kohdalla ovat kohtisuoraan tankin tasoon:

Täten:

Baarin painopiste + asetetut painot sijaitsevat 2,10 metrin päässä tankin vasemmasta päästä.

Ero massakeskuksesta

Painopiste on yhtä suuri kuin massan keskipiste, kuten on osoitettu, kunhan maapallon painovoimakenttä on vakio kaikille tarkasteltavan kohteen pisteille. Maapallon gravitaatiokenttä on vain tunnettu ja tuttu arvo g = 9,8 m / s ^{2, joka on} suunnattu pystysuoraan alaspäin.

Vaikka g: n arvo vaihtelee leveyden ja korkeuden mukaan, nämä eivät yleensä vaikuta esineisiin, joista suurimman osan ajasta keskustellaan. Olisi hyvin erilaista, jos tarkastellaan suurta vartaloa maapallon läheisyydessä, esimerkiksi asteroidia, joka on hyvin lähellä planeettaa.

Asteroidilla on oma massakeskipiste, mutta sen painopisteen ei enää tarvitsisi olla samansuuntainen tämän kanssa, koska g: llä todennäköisesti olisi huomattavia suuruusmuutoksia, ottaen huomioon asteroidin koko ja kunkin partikkelin painot eivät ehkä ole yhdensuuntaiset.

Toinen perustavanlaatuinen ero on, että massan keskipiste löytyy riippumatta siitä, onko esineeseen kohdistuvaa voimaa, jota kutsutaan painoksi. Se on esineen luontainen ominaisuus, joka paljastaa meille kuinka sen massa on jakautunut suhteessa sen geometriaan.

Massan keskipiste on olemassa riippumatta siitä, sovelletaanko painoa vai ei. Ja se sijaitsee samassa paikassa, vaikka esine siirtyy toiselle planeetalle, jolla painovoimakenttä on erilainen.

Toisaalta painopiste liittyy selvästi painon käyttöön, kuten olemme nähneet kaikissa aiemmissa kappaleissa.

Esimerkkejä painopisteestä

Epäsäännöllisten esineiden painopiste

On erittäin helppo selvittää, missä epäsäännöllisen esineen, kuten kupin, painopiste on. Ensin se ripustetaan mistä tahansa kohdasta ja sieltä vedetään pystysuora viiva (kuviossa 5 se on fuksiaviiva vasemmassa kuvassa).

Sitten se ripustetaan toisesta pisteestä ja piirretään uusi pystysuora (turkoosi viiva oikeassa kuvassa). Molempien viivojen leikkauspiste on kupin painopiste.

Kuvio 5. MG: n sijainti CG: ssä. Lähde: muokattu Pixabayltä.

Objektien tasapainotus

Analysoidaan tiellä kulkevan kuorma-auton vakautta. Kun painopiste on kuorma-auton pohjan yläpuolella, kuorma-auto ei kaatu. Vasemmalla oleva kuva on vakain sijainti.

Kuva 6. Trukin tasapainotus. Lähde: itse tehty.

Jopa kun kuorma-auto kallistuu oikealle, se pystyy palaamaan vakaaseen tasapainoasentoon, kuten keskipiirroksessa, koska pystysuora kulkee edelleen pohjan läpi. Kuitenkin kun tämä linja menee ulos, kuorma-auto kaatuu.

Kaavio näyttää tukipalkin voimat: normaali keltaisella, paino vihreällä ja staattinen hiertää vasemmalla fuksiassa. Normaali ja kitka kohdistuvat pyörimisakseliin, joten ne eivät aiheuta vääntömomenttia. Siksi ne eivät vaikuta kuorma-auton kaatumiseen.

Paino pysyy, joka antaa vääntömomentin, onneksi vastapäivään ja jolla on taipumus palauttaa kuorma-auto tasapainoasentoonsa. Huomaa, että pystysuora viiva kulkee tukipinnan, joka on rengas, läpi.

Kun trukki on oikeassa reunassa, painon vääntömomentti muuttuu myötäpäivään. Kuorma-auto kaatuu, kun sitä ei voida torjua toisen kerran.

Viitteet

1. Bauer, W. 2011. Fysiikka tekniikan ja tieteiden aloille. Nide 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fysiikka: Periaatteet ja sovellukset. 6… Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fyysinen. Voi 1. kolmas painos, espanjaksi. Compañía Toimituksellinen Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Fysiikan perusteet. Pearson, 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Yliopistofysiikka modernin fysiikan kanssa. 14th. Toim. Volyymi 1 340 - 346.