Lineaarinen interpolointi on menetelmä, joka on peräisin yleisen Newton interpolointi ja lähentäminen määrittämiseksi tuntemattomalle arvo, joka on kahden annetun numeron; toisin sanoen löytyy väliarvo. Sitä käytetään myös likimääräisiin funktioihin, joissa arvot f (a) ja f (b) tunnetaan ja haluamme tietää f (x): n välituotteen.
Interpolointia on erityyppisiä, kuten lineaarinen, neliöllinen, kuutio- ja korkeampi aste, yksinkertaisin on lineaarinen likiarvo. Hinta, joka on maksettava lineaarisella interpoloinnilla, on, että tulos ei ole yhtä tarkka kuin lähentämisissä, joissa käytetään korkeamman asteen funktioita.
Määritelmä
Lineaarinen interpolointi on prosessi, jonka avulla voit johtaa arvon kahden hyvin määritellyn arvon välillä, jotka voivat olla taulukossa tai viivakaaviossa.
Jos esimerkiksi tiedät, että 3 litran maidon arvo on 4 dollaria ja 5 litran arvo on 7 dollaria, mutta haluat tietää mikä on 4 litran maidon arvo, interpoloit sen määrittäessäsi väliarvon.
Menetelmä
Funktion väliarvon arvioimiseksi funktio f (x) arvioidaan juovan r (x) avulla, mikä tarkoittaa, että funktio vaihtelee lineaarisesti «x»: lla osiolle «x = a» ja «x = b "; toisin sanoen arvoille "x" väleissä (x 0, x 1) ja (y 0, y 1) arvo "y" annetaan pisteiden välisellä rivillä ja ilmaistaan seuraavalla suhteella:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Jotta interpolointi olisi lineaarista, interpoloinnin polynomin on oltava yhden asteen (n = 1), niin että se sopii arvoihin x 0 ja x 1.
Lineaarinen interpolointi perustuu kolmioiden samankaltaisuuteen siten, että geometrisesti edellisestä lausekkeesta johtuen voidaan saada arvo "y", joka edustaa tuntematonta arvoa "x": lle.
Tällä tavalla sinun on:
a = tan Ɵ = (vastakkaisella jalalla 1 ÷ vierekkäisellä jalalla 1) = (vastakkaisella jalalla 2 ÷ viereisellä jalalla 2)
Muulla tavalla ilmaistuna se on:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Ratkaisemalla lausekkeille «ja» meillä on:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
Siten saadaan lineaarisen interpoloinnin yleinen yhtälö:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Yleensä lineaarinen interpolointi antaa pienen virheen todellisen funktion todellisesta arvosta, vaikka virhe on minimaalinen verrattuna siihen, jos valitset intuitiivisesti luvun, joka on lähellä sitä, jonka haluat löytää.
Tämä virhe ilmenee, kun yritetään lähentää käyrän arvoa suoralla; Näissä tapauksissa aikavälin kokoa on pienennettävä likimääräisyyden tarkentamiseksi.
Parempien tulosten saavuttamiseksi likimääräisyydestä on suositeltavaa käyttää interpolointiin 2, 3 tai jopa korkeamman asteen toimintoja. Näissä tapauksissa Taylorin lause on erittäin hyödyllinen työkalu.
Ratkaistuja harjoituksia
Harjoitus 1
Inkuboinnissa olemassa olevien bakteerien lukumäärä tilavuusyksikköä kohti x tunnin jälkeen on esitetty seuraavassa taulukossa. Haluat tietää, mikä on bakteerien määrä 3,5 tunniksi.
Ratkaisu
Vertailutaulukossa ei määritetä arvoa, joka ilmaisee bakteerien määrän 3,5 tunniksi, mutta ylä- ja ala-arvot vastaavat vastaavasti ajanjaksoa 3 ja 4 tuntia. Siten:
x 0 = 3 ja 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 ja 1 = 135
Nyt matemaattista yhtälöä käytetään interpoloidun arvon löytämiseen, joka on seuraava:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Sitten vastaavat arvot korvataan:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Siten saadaan, että 3,5 tunnin ajan bakteerien lukumäärä on 113, mikä edustaa välitasoa 3 - 4 tunnissa esiintyvien bakteeritilavuuksien välillä.
Harjoitus 2
Luisilla on jäätelötehdas, ja hän haluaa tehdä tutkimuksen elokuussa saamiensa tulojen selvittämiseksi tehtyjen kulujen perusteella. Yrityksen pääkäyttäjä laatii kuvaajan, joka ilmaisee tämän suhteen, mutta Luis haluaa tietää:
Mitkä ovat elokuun tulot, jos 55 000 dollarin kustannukset aiheutuvat?
Ratkaisu
Annetaan kuvaaja tulojen ja kulujen arvoilla. Luis haluaa tietää, mitkä ovat elokuun tulot, jos tehtaan kustannukset ovat 55 000 dollaria. Tämä arvo ei heijastu suoraan kuvaajassa, mutta arvot ovat tätä korkeammat ja pienemmät.
Ensin tehdään taulukko, jolla arvot voidaan helposti vertailla:
Nyt interpolointikaavaa käytetään y: n arvon määrittämiseen
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Sitten vastaavat arvot korvataan:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68 936 dollaria.
Jos elokuussa tehtiin 55 000 dollarin kustannus, tulot olivat 68 936 dollaria.
Viitteet
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
- Harpe, P. d. (2000). Geometrisen ryhmäteorian aiheet. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineaarinen interpolointi ", Matematiikan tietosanakirja.
- , JM (1998). Numeeristen menetelmien elementit tekniikkaan. UASLP.
- , E. (2002). Interpoloinnin kronologia: muinaisesta tähtitiedestä nykyaikaiseen signaali- ja kuvankäsittelyyn. IEEE: n julkaisut.
- numeerinen, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.