POISSONIN SUHDE: KERROIN, KAAVAT, ARVOT, ESIMERKIT - FYYSINEN - 2026

Poisson: n suhde on dimensioton määrä, ominaisuus joka materiaali. Se on osoitus kappaleen muodonmuutoksesta ennen tiettyjen voimien kohdistamista.

Kun jännitykselle tai puristukselle altistettu materiaalikappale muodonmuutos, poikittaismuodon ja pitkittäismuodon välinen osamäärä on tarkalleen Poissonin suhde.

Kuva 1. Poissonin suhde mittaa pitkittäisen venytyksen ja poikittaisen kapenevuuden välistä suhdetta. (Valmistaja Ricardo Pérez)

Esimerkiksi kumisylinteri, joille päin kohdistuu jännitys, venyy pitkittäissuunnassa, mutta kapenee poikittain. Kuvio 1 esittää palkkia, jonka alkuperäiset mitat ovat: pituus L ja halkaisija D.

Tangon päähän kohdistuu jännitys T ja tämän jännityksen seurauksena se venyy niin, että uusi pituus on L '> L. Mutta kun sitä venytetään, myös sen halkaisija kapenee uuteen arvoon: D '<D.

Jakauma (positiivinen) ja kapenevan (negatiivinen) välinen kerroin kerrottuna (-1) on positiivinen luku välillä 0 - 0,5. Tämä luku on ns. Poissonin suhde ν (kreikkalainen kirjain nu).

Poissonin suhdekaava

Poisson-suhteen laskemiseksi on tarpeen määrittää pitkittäis- ja poikittajännitys.

Pituusjuova ε _L on venymä jaettuna alkuperäisellä pituudella:

e _L = (L '- L) / L

Samoin poikittaisjuoksu ε _T on radiaalinen kapenevuus jaettuna alkuperäisellä halkaisijalla:

e _T = (D '- D) / D

Siksi Poissonin suhde lasketaan seuraavalla kaavalla:

ν = - ε _T / ε _L

Suhde kimmokerrokseen ja jäykkyysmoduliin

Poissonin suhde ν liittyy elastisuusmoduliin E (tai Youngin moduuliin) ja jäykkyysmoduliin G seuraavalla kaavalla:

Poissonin suhteellinen arvo materiaaleille

Kuva 2. Ruostumattoman teräksen Poisson-suhde on välillä 0,30 - 0,31. Lähde: Pixabay.

Laskentaesimerkkejä

Esimerkki 1

Tietyn muovimateriaalin tankin pituus on 150 mm ja pyöreä osa on halkaisijaltaan 20 mm. Kun se kohdistetaan puristusvoimaan F, joka on 612,25 kg-f, havaitaan 14 mm: n lyhentyminen ja samanaikaisesti tankin halkaisijan lisääntyminen 0,85 mm: llä.

Laskea:

a) pitkittäisjännitys.

b) poikittainen kanta.

c) Poissonin suhde kyseiseen materiaaliin.

d) Youngin kimmokerroin, joka vastaa materiaalia.

e) Tämän muovin jäykkyysmoduuli.

Ratkaisu

Muista, että pitkittäisjuoksu εL on venymä jaettuna alkuperäisellä pituudella:

e = = (L '- L) / L

e = = -14 mm) / 150 mm = -0,0933

Huomaa, että pitkittäisjännite on mitaton, ja tässä tapauksessa se oli negatiivinen, koska sen pitkittäismitta pieneni.

Ratkaisu b

Samoin poikittainen venymä εT on radiaalinen kartio, jaettuna alkuperäisellä halkaisijalla:

eT = (D '- D) / D

eT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Poikittaisjännitys on ollut positiivinen, koska tankojen halkaisija on lisääntynyt.

Ratkaisu c

Poisson -suhteen laskennassa on muistettava, että se on määritelty poikittaismuodon ja pitkittäismuodon välisen osamäärän negatiiviseksi:

ν = - εT / εL

v = = 0,0425 / (-0,0933) = 0,4555

On syytä muistaa, että Poissonin suhde on positiivinen mitaton luku ja useimmille materiaaleille se on välillä 0 - 0,5.

Ratkaisu d

Youngin kimmokerroin, jota merkitään kirjaimella E, on suhteellisuusvakio Hooken laissa. E: llä normaali jännitys σL liittyy kantaan εL seuraavasti:

σL = E εL

Normaali rasitus määritellään normaalivoiman (tässä tapauksessa tankin akselin suuntaisen) ja poikkileikkauspinnan pinta-alan suhteessa:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Tässä harjoituksessa voima F on 612,25 kg-f, joka on muunnettava newtoniksi, joka on SI-voimayksikkö:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

A-alueen poikkileikkaus puolestaan ​​on:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Lopuksi tankoon kohdistettu normaali rasitus on:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Laskemaan Youngin kimmokerroin ratkaisee E: lle Hooken laki σL = E εL:

E = σL / eL = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Ratkaisu e

Jäykkyysmoduuli G liittyy Youngin moduuliin E ja Poissonin suhteeseen ν tällä kaavalla:

E / (2 G) = 1 + ν

Sieltä voimme ratkaista G: lle:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Esimerkki 2

Mukana on kuparikaapeli, jonka halkaisija on 4 mm ja pituus 1 m. Tietäen, että Youngin kuparimoduuli on 110 000 MPa ja että sen Poisson-suhde on 0,34, arvioi venymä ja kapenema halkaisija, jonka lanka käy läpi, kun siihen ripustetaan paino 100 kg-f.

Ratkaisu

Ensinnäkin on laskettava normaali vetolujuus, jonka paino lankaan kohdistaa, seuraavan kaavan mukaisesti:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Voima F on 980 N ja poikkipinta-ala on:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Sitten vetolujuus on:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77 986 000 Pa

Langan venymän laskeminen

Youngin kimmokerroin, jota merkitään kirjaimella E, on Hooken lain suhteellisuusvakio, joka yhdistää normaalin jännityksen σL kantaan εL:

σL = E εL

Sieltä kuparilangan pitkittäisjännitys voidaan ratkaista:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Poikittaisjännityksen laskeminen

Toisaalta poikittaisjännityksen tuntemiseksi käytetään Poissonin suhdetta:

ν = - εT / εL

Lopuksi poikittainen kanta on:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Kaapelin absoluuttisen venytyksen laskeminen

Lopuksi, jotta tiedät kaapelin absoluuttisen venymisen, on käytettävä seuraavaa suhdetta:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Toisin sanoen sillä painolla kaapeli venyi tuskin 0,709 millimetriä.

Halkaisijan pienentymisen laskeminen

Halkaisijan absoluuttisen kutistumisen saamiseksi käytämme seuraavaa kaavaa:

DD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0 000964 millimetriä.

Tämä halkaisijan halkaisija on niin pieni, että sitä on vaikea nähdä paljain silmin, jopa sen mittaus vaatii erittäin tarkkaa instrumenttia.

Viitteet

1. Beer F.. Materiaalien mekaniikka. 5th. Painos. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Materiaalien mekaniikka. Kahdeksas painos. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Materiaalien mekaniikka. Kahdeksas painos. Cengagen oppiminen. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fysiikka: Periaatteet ja sovellukset. Kuudes ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Muistiinpanoja yleisfysiikasta. UNAM. 87-98.