KURTOSIS: MÄÄRITELMÄ, TYYPIT, KAAVAT, MIKÄ SE ON ESIMERKIKSI - DUDAS - 2026

Huipukkuus tai huipukkuus on tilastollinen parametri käytetään kuvaamaan todennäköisyysjakauma satunnaismuuttuja, joka osoittaa, missä määrin pitoisuuden arvojen ympärille keskeinen määrin. Tätä kutsutaan myös "huippuluokka".

Termi tulee kreikan kielestä "kurtos", joka tarkoittaa kaarevaa, joten kurtoosi osoittaa jakauman osoittamis- tai tasoittumisasteen seuraavan kuvan mukaisesti:

Kuva 1. Erityyppiset kurtoosit. Lähde: F. Zapata.

Lähes kaikilla satunnaismuuttujan arvoilla on taipumus ryhmittyä keskiarvon, kuten keskiarvon, ympärille. Mutta joissain jakaumissa arvot ovat hajaantuneempia kuin toisissa, mikä johtaa tasaisempiin tai ohuempiin käyriin.

Määritelmä

Kurtosis on jokaiselle taajuusjakamalle tyypillinen numeerinen arvo, joka luokitellaan keskiarvon ympärillä olevien arvojen pitoisuuden mukaan kolmeen ryhmään:

- Leptokurtic: jossa arvot ovat hyvin klusteroituneet keskiarvon ympärille, joten jakauma on melko terävä ja kapea (kuva 1, vasen).

- Mesocúrtic: sillä on kohtalainen arvojen keskittyminen keskiarvon ympärillä (kuva 1 keskellä).

- Platicúrtica: tällä jakaumalla on laajempi muoto, koska arvot ovat yleensä hajaantuneempia (kuva 1 oikealla).

Kaavat ja yhtälöt

Kurtoosilla voi olla mikä tahansa arvo ilman rajoituksia. Sen laskenta suoritetaan tietojen toimitustavasta riippuen. Kummassakin tapauksessa käytetty merkintä on seuraava:

- Kurtoositekijä: g ₂

-Aritmeettinen keskiarvo: X tai x palkilla

-Antoisena arvona: x _i

-Vakiopoikkeama: σ

-Tietojen lukumäärä: N

-I: nnen arvon taajuus: f _i

-Luokan tuotemerkki: mx _i

Tämän merkinnän avulla esittelemme joitain yleisimmistä kaavoista kurtosin löytämiseksi:

- Kurtosis tietojen esittämisen mukaan

Tietoja ei ole ryhmitelty tai ryhmitelty taajuuksille

Tiedot ryhmitelty välein

Liiallinen kurtoosi

Sitä kutsutaan myös Fisherin kohdistuskerroimeksi tai Fisherin mittaksi, sitä käytetään vertaamaan tutkittavaa jakaumaa normaalijakaumaan.

Kun ylimääräinen kurtoosi on 0, olemme normaalin jakauman tai Gaussin kellon läsnä ollessa. Tällä tavalla, kun lasketaan jakauman ylimääräinen kurtoosi, vertaamme sitä tosiasiallisesti normaalijakaumaan.

Sekä ryhmittelemättömän että yhdistetyn datan Fisherin osoituskerroin, jota merkitään K: lla, on:

K = g ₂ - 3

Nyt voidaan osoittaa, että normaalijakauman kurtoosi on 3, siis jos Fisherin osoituskerroin on 0 tai lähellä nollaa ja esiintyy mesokruktinen jakauma. Jos K> 0, jakauma on leptokurtinen ja jos K <0, se on platicúrtinen.

Mihin kurtosis on?

Kurtosis on muuttuvuuden mitta, jota käytetään jakauman morfologian karakterisointiin. Tällä tavoin voidaan verrata symmetrisiä jakaumia, joilla on sama keskiarvo ja sama dispersio (vakiopoikkeaman perusteella).

Vaihteellisuusmittausten avulla keskiarvot ovat luotettavia ja auttaa hallitsemaan jakauman vaihteluita. Katsotaan esimerkiksi näitä kahta tilannetta.

Kolmen osaston palkat

Oletetaan, että seuraava kaavio näyttää saman yrityksen 3 osaston palkkajakaumat:

Kuva 2. Kolme jakaumaa erilaisella kurtoosilla kuvaa käytännön tilanteita. (Valmistaja Fanny Zapata)

Käyrä A on ohuin kaikista, ja muodoltaan voidaan päätellä, että suurin osa tämän osaston palkoista on hyvin lähellä keskimääräistä, joten suurin osa työntekijöistä saa samanlaista korvausta.

Sen sijaan osastossa B palkkakäyrä noudattaa normaalia jakaumaa, koska käyrä on mesokurtinen, jossa oletamme, että palkat jaettiin satunnaisesti.

Ja viimeinkin meillä on käyrä C, joka on hyvin tasainen, merkki siitä, että tässä osastossa palkka-alue on paljon laajempi kuin muissa.

Kokeen tulokset

Oletetaan nyt, että kuvan 2 kolme käyrää edustavat saman aiheen kolmelle ryhmälle suoritetun kokeen tuloksia.

Ryhmä, jonka luokituksia edustaa A leptokurtic-käyrä, on melko homogeeninen, suurin osa sai keskimääräisen tai läheisen arvosanan.

On myös mahdollista, että tulos johtui siitä, että testikysymyksillä oli enemmän tai vähemmän sama vaikeusaste.

Toisaalta ryhmän C tulokset osoittavat suuremman heterogeenisyyden ryhmässä, joka sisältää todennäköisesti keskimääräiset opiskelijat, jotkut edistyneemmät opiskelijat ja varmasti saman vähemmän huomaavaisen.

Tai se voi tarkoittaa, että testikysymyksillä oli hyvin erilaisia ​​vaikeusasteita.

Käyrä B on mesokutaattinen, mikä osoittaa, että testitulokset seurasivat normaalia jakaumaa. Tämä on yleensä yleisin tapaus.

Toiminut esimerkki kurtoosista

Etsi seuraavien arvosanojen Fisher-pisteytyskerroin, joka on saatu fysiikan tentistä opiskelijaryhmälle, asteikolla 1-10:

Ratkaisu

Seuraavaa lauseketta käytetään ryhmittämättömiin tietoihin, jotka on annettu edeltävissä osissa:

K = g ₂ - 3

Tämän arvon avulla voit tietää jakelun tyypin.

G _{2: n} laskemiseksi on kätevää tehdä se järjestetyllä tavalla, askel askeleelta, koska useita aritmeettisia toimenpiteitä on ratkaistava.

Vaihe 1

Ensin lasketaan arvosanojen keskiarvo. Tietoja on N = 11.

Vaihe 2

Löydetään keskihajonta, jota varten tätä yhtälöä käytetään:

σ = 1,992

Tai voit myös rakentaa taulukon, jota tarvitaan myös seuraavaa vaihetta varten ja johon jokainen tarvittavien summausten termi kirjoitetaan, alkamalla (x _i - X), sitten (x _i - X) ² ja sitten (x _i - x) ⁴:

Vaihe 3

Suorita kaavan numeroittimessa ilmoitettu summa g _{2: lle}. Tätä varten käytetään edellisen taulukon oikean sarakkeen tulosta:

Σ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Täten:

g ₂ = (1/11) x 290,15 /1.992 ⁴ = 1,675

Fisherin osoituskerroin on:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Kiinnostavaa on merkki tuloksesta, joka, negatiivisena, vastaa platicúrtic-jakaumaa, joka voidaan tulkita kuten edellisessä esimerkissä tehtiin: mahdollisesti se on heterogeeninen kurssi eri mielenkiinnon asteen opiskelijoiden kanssa tai tenttikysymykset olivat erityyppisistä vaikeustasoista.

Excel-kaltaisen laskentataulukon käyttö helpottaa huomattavasti tämän tyyppisten ongelmien ratkaisemista ja tarjoaa myös mahdollisuuden jakaa graafisesti.

Viitteet

1. Levin, R. 1988. Järjestelmänvalvojien tilastot. 2nd. Painos. Prentice Hall.
2. Marco, F. Kurtoosi. Palautettu osoitteesta: economyipedia.com.
3. Oliva, J. Epäsymmetria ja kurtoosi. Palautettu osoitteesta: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Päätöksenteko johtamisessa. Limusa.
5. Wikipedia. Huipukkuus. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org.