YHTEINEN TEKIJÄ RYHMITTELEMÄLLÄ TERMEJÄ: ESIMERKKEJÄ, HARJOITUKSIA - MATEMATIIKKA - 2026

Yhteinen tekijä ryhmittämällä termien on algebrallinen menettely, jonka avulla voit kirjoittaa joitakin algebralausekkeissa muodossa tekijät. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi sinun on ensin ryhmiteltävä lauseke oikein ja tarkkailtava, että jokaisella näin muodostetulla ryhmällä on käytännössä yhteinen tekijä.

Tekniikan oikea soveltaminen vaatii jonkin verran harjoittelua, mutta et koskaan hallitse sitä. Katsotaanpa ensin kuvaava esimerkki, joka kuvataan vaihe vaiheelta. Sitten lukija voi soveltaa oppimiaan jokaisessa myöhemmin ilmestyvässä harjoituksessa.

Kuva 1. Yhteisen tekijän ottaminen ryhmittelemällä termejä helpottaa työskentelyä algebrallausekkeilla. Lähde: Pixabay.

Oletetaan esimerkiksi, että sinun täytyy ottaa huomioon seuraava lauseke:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Tämä algebrallinen lauseke koostuu 4 monomiaalista tai termistä, erotettuna merkillä + ja - nimittäin:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Tarkkaan tarkasteltuna x on yhteinen kolmelle ensimmäiselle, mutta ei viimeiselle, kun taas y on yhteinen toiselle ja neljännelle ja z on yhteinen kolmannelle ja neljännelle.

Joten periaatteessa ei ole neljää termiä samanaikaisesti, mutta jos ne ryhmitellään seuraavassa osiossa esitetyllä tavalla, on mahdollista, että ilmestyy sellainen, joka auttaa kirjoittamaan lausekkeen kahden tai useamman tuloksena. tekijät.

esimerkit

Tekijä ilmaisu: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Vaihe 1: Ryhmä

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Vaihe 2: Etsi kunkin ryhmän yhteinen tekijä

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

I TÄRKEÄÄ: negatiivinen merkki on myös yhteinen tekijä, joka on otettava huomioon.

Huomaa nyt, että sulkeet (x + y) toistetaan kahdella käsitteellä, jotka on saatu ryhmittämällä. Se on yhteinen tekijä, jota etsittiin.

Vaihe 3: Koko lausekkeen tekijä

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Edellisellä tuloksella faktoroinnin tavoite on saavutettu, mikä ei ole muu kuin muuntaa algebrallinen lauseke, joka perustuu termien lisäyksiin ja vähennyslaskuihin, kahden tai useamman tekijän tulokseksi, esimerkissämme: (x + y) ja (2x - 3z).

Tärkeät kysymykset yleisestä tekijästä ryhmittelyllä

Kysymys 1: Kuinka tietää, että tulos on oikea?

Vastaus: Hajautuvaa ominaisuutta sovelletaan saatuun tulokseen, ja pienennyksen ja yksinkertaistamisen jälkeen näin saadun lausekkeen on vastattava alkuperäistä, jos ei, virhe.

Edellisessä esimerkissä työskentelemme käänteisesti tuloksen kanssa varmistaaksemme sen oikeellisuuden:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Koska lisäysten järjestys ei muuta summaa, jakeluomaisuuden soveltamisen jälkeen kaikki alkuperäiset ehdot palautetaan, merkit mukana, joten tekijä on oikein.

Kysymys 2: Voisiko se ryhmitellä toisella tavalla?

Vastaus: On algebrallisia lausekkeita, jotka sallivat useamman kuin yhden ryhmittelymuodon ja muut, jotka eivät. Valitussa esimerkissä lukija voi kokeilla muita mahdollisuuksia itse, esimerkiksi ryhmitellä näin:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Ja voit tarkistaa, että tulos on sama kuin se saatiin täällä. Optimaalisen ryhmittelyn löytäminen on käytännössä kysymys.

Kysymys 3: Miksi on välttämätöntä ottaa yhteinen tekijä algebrallisesta lausekkeesta?

Vastaus: Koska on sovelluksia, joissa laskennallinen laskenta helpottaa laskentaa. Oletetaan esimerkiksi, että haluat asettaa 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy yhtä suureksi kuin 0. Mitkä ovat mahdollisuudet?

Tähän kysymykseen vastaamiseksi laskennallinen versio on kannalta hyödyllisempi kuin alkuperäinen kehitys. Sanotaan näin:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Yksi mahdollisuus lausekkeen arvoon 0 on, että x = -y, riippumatta z: n arvosta. Ja toinen on, että x = (3/2) z, riippumatta y: n arvosta.

Harjoitukset

- Harjoitus 1

Otetaan seuraavan lausekkeen yhteinen tekijä ryhmittelemällä termejä:

ax + ay + bx + kirjoittanut

Ratkaisu

Kaksi ensimmäistä ryhmitellään yhteisellä kertoimella "a" ja kaksi viimeistä yhteisellä kertoimella "b":

ax + ay + bx + kirjoittanut = a (x + y) + b (x + y)

Kun tämä on tehty, paljastuu uusi yhteinen tekijä, joka on (x + y), joten:

ax + ay + bx + kirjoittanut = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Toinen tapa ryhmitellä

Tämä lauseke tukee toista ryhmittelytapaa. Katsotaan mitä tapahtuu, jos termit järjestetään uudelleen ja ryhmä tehdään niiden kanssa, jotka sisältävät x, ja toisen niiden kanssa, jotka sisältävät y: n

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Tällä tavoin uusi yhteinen tekijä on (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Mikä johtaa samaan tulokseen ensimmäisestä testatusta ryhmittelystä.

- Harjoitus 2

Seuraava algebrallinen lauseke on kirjoitettava kahden tekijän tuloksena:

3a ³ - 3a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ²

Ratkaisu

Tämä lauseke sisältää 6 termiä. Yritetään ryhmitellä ensimmäinen ja neljäs, toinen ja kolmas ja lopulta viides ja kuudes:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

Nyt jokainen sulu on otettu huomioon:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b – a) + b (a-3b)

Ensi silmäyksellä näyttää siltä, ​​että tilanne on ollut monimutkainen, mutta lukijaa ei pidä lannistaa, koska aiomme kirjoittaa viimeisen termin uudelleen:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b – a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Kahdella viimeisellä termällä on nyt yhteinen tekijä, joka on (3b-a), joten ne voidaan ottaa huomioon. On erittäin tärkeää, että et unohda ensimmäistä termiä a ² (3a - 1), jonka on edelleen oltava kaiken mukana lisäyksenä, vaikka et työskentele sen kanssa:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Lauseke on pelkistetty kahteen termiin ja viimeisessä löydetään uusi yhteinen tekijä, joka on "b". Nyt se pysyy:

a ² (3a-1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a-1) + b (3b-a) (3a-1)

Seuraava esiintyvä tekijä on 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Tai jos haluat ilman hakasulkeita:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

Voiko lukija löytää toisen tavan ryhmitellä, joka johtaa samaan tulokseen?

Kuva 2. Ehdotetut factoring-harjoitukset. Lähde: F. Zapata.

Viitteet

1. Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Tärkeimmät factoring-tapaukset. Palautettu osoitteesta: julioprofe.net.
4. UNAM. Matematiikan perusteet: Faktorisointi termien ryhmittelyllä. Laskentatoimen ja hallinnon tiedekunta.
5. Zill, D. 1984. Algebra ja trigonometria. MacGraw Hill.