FERMAATTIRAJA: MISTÄ SE KOOSTUU JA HARJOITUKSET RATKAISTU - MATEMATIIKKA - 2026

Fermat raja on numeerinen menetelmä, jota käytetään, jotta saadaan arvo viivan kaltevuus, joka on tangentti funktio tietyssä vaiheessa sen domeenin. Sitä käytetään myös funktion kriittisten pisteiden saamiseen. Sen ilmaisu on määritelty seuraavasti:

On selvää, että Fermat ei tiennyt johdannon perusteita, mutta hänen tutkimuksensa johti ryhmään matemaatikkoja tutkimaan tangentteja ja niiden sovelluksia laskennassa.

Mikä on Fermat-raja?

Se koostuu 2 pisteen lähestymistavasta, jotka aikaisemmissa olosuhteissa muodostavat funktion secanttiviivan leikkauspisteinä arvopareina.

Lähestyessäsi muuttujaa arvoon "a", pisteparit pakotetaan kohtaamaan. Tällä tavalla aikaisemmin kiinnittyvä viiva tulee tangentiksi pisteelle (a; f (a)).

Jakajan (x - a) arvo, kun sitä arvioidaan kohdassa “a”, antaa tyypin K rajojen määrittämättömyyden nollan (K / 0) välillä. Missä eri faktorointitekniikoiden avulla nämä epämääräisyydet voidaan rikkoa.

Yleisimmin käytettyjä tekniikoita ovat:

-Neliöiden erotus (a ² - b ²) = (a + b) (a - b); Elementin (a - b) olemassaolo merkitsee useimmissa tapauksissa tekijää, joka yksinkertaistaa lauseketta (x - a) Fermat-rajan suhteessa.

- neliöiden valmistuminen (ax ² + bx); Kun neliöt on suoritettu, saadaan Newtonin binomi, jossa yhtä sen 2 tekijästä yksinkertaistetaan lausekkeella (x - a), mikä rikkoa määrittämättömyyden.

- konjugaatti (a + b) / (a ​​+ b); Lausekkeen kertominen ja jakaminen jonkin tekijän konjugaatilla voi olla suureksi avuksi epämääräisyyden purkamisessa.

- Yhteinen tekijä; Monissa tapauksissa Fermaattirajan f (x) - f (a) osoittimen käyttö tulokseksi piilottaa tekijän (x - a). Tätä varten tarkkaan tarkkaillaan, mitkä elementit toistuvat lausekkeen jokaisessa tekijässä.

Fermat-rajan soveltaminen maksimiin ja minimiin

Vaikka Fermat-raja ei tee eroa maksimien ja minimien välillä, koska se pystyy tunnistamaan kriittiset kohdat vain määritelmänsä mukaisesti, sitä käytetään yleisesti laskettaessa tason toimintojen korkkeja tai kerroksia.

Perustiedot funktion graafisesta teoriasta tämän lauseen yhteydessä voivat olla riittäviä maksimi- ja minimiarvojen määrittämiseksi funktioiden välillä. Itse asiassa käännepisteet voidaan määritellä keskiarvolauseen avulla Fermatin lauseen lisäksi.

Kuutiollinen vertaus

Merkittävin paradoksi Fermatille tuli kuutioparabolan tutkimisesta. Koska hänen huomionsa oli suunnattu funktion tangenttiviivoille tietylle pisteelle, hän törmäsi ongelmaan määritellä mainittu tangenttiviiva funktion käännepisteessä.

Tuntui mahdotonta määrittää tangenttiviivaa pisteeseen. Siten aloitetaan kysely, joka johtaisi erotuslaskentaan. Määrittelee myöhemmin tärkeät matematiikan eksponentit.

Maximus ja minimous

Funktion maksimien ja minimien tutkiminen oli haaste klassiselle matematiikalle, missä niiden määrittelemiseen tarvittiin yksiselitteinen ja käytännöllinen menetelmä.

Fermat loi pienten erotusarvojen toimintaan perustuvan menetelmän, joka faktorointiprosessien jälkeen eliminoidaan antaen tietyn suurimman ja pienimmän mahdollisen arvon.

Tätä muuttujaa on arvioitava alkuperäisessä lausekkeessa mainitun pisteen koordinaatin määrittämiseksi, joka yhdessä analyyttisten perusteiden kanssa määritetään lausekkeen maksimiksi tai minimiksi.

Menetelmä

Menetelmässään Fermat käyttää Kohtin kirjaimellista symboliikkaa, joka koostui yksinomaan isojen kirjaimien käytöstä: vokaalit tuntemattomille ja konsonantit tunnetuille määrille.

Radikaalien arvojen tapauksessa Fermat toteutti tietyn prosessin, jota myöhemmin käytettiin määrittelemättömyyden rajojen rajattomuuden välillä äärettömyyden välillä.

Tämä prosessi koostuu kunkin lausekkeen jakamisesta käytetyn differentiaalin arvolla. Fermat-tapauksessa hän käytti kirjainta E, jossa jaettuna suurimmalla E-voimalla, kriittisen pisteen tavoitellusta arvosta tulee selkeä.

Historia

Fermat-raja on itse asiassa yksi matemaatikkojen pitkien luetteloiden vähiten tunnetuista osuuksista. Hänen opintonsa menivät alkulukuista pohjimmiltaan laskentaperustan luomiseen.

Fermat puolestaan ​​tunnettiin eksentrisyydestään hypoteesien suhteen. Hänelle oli tavallista jättää eräänlainen haaste muille ajan matemaatikoille, kun hänellä oli jo ratkaisu tai todiste.

Hänellä oli laaja valikoima kiistoja ja liittoutumia eri ajankohtien matemaatikkojen kanssa, jotka joko rakastivat tai vihasivat työskennellä hänen kanssaan.

Hänen viimeinen lause oli päävastuu hänen maailmanlaajuisesta kuuluisuudestaan, missä hän totesi, että Pythagoran lauseen yleistäminen mihin tahansa asteeseen "n" oli mahdoton. Hän väitti olevansa kelvollinen todiste siitä, mutta kuoli ennen julkistamista.

Tämän mielenosoituksen piti odottaa noin 350 vuotta. Vuonna 1995 matemaatikot Andrew Wiles ja Richard Taylor lopettivat Fermatin jättämän ahdistuksen todistaakseen olevansa oikeassa viimeisen lauseensa pätevän todistuksen kautta.

Harjoitukset

Harjoitus 1

Määritä tangenttilinjan kaltevuus käyrään f (x) = x ² pisteessä (4, 16)

Korvaava lauseke Fermat-rajasta meillä on:

Kertoimet (x - 4) yksinkertaistetaan

Arvioidessasi sinulla on

M = 4 + 4 = 8

Harjoitus 2

Määritä lausekkeen f (x) = x ² + 4x kriittinen piste käyttämällä Fermat-rajaa

Suoritetaan strateginen elementtien ryhmittely, joka pyrkii ryhmittelemään pareja XX ₀

Vähiten neliöitä on kehitetty

Tarkkaile yleistä kerrointa XX _{0 ja ota}

Lauseketta voidaan nyt yksinkertaistaa ja määrittelemättömyys hajottaa

Vähimmäispisteissä tiedetään, että tangenttiviivan kaltevuus on nolla. Tällä tavoin voimme tasata havaitun lausekkeen nollaan ja ratkaista arvolle X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Puuttuvan koordinaatin saamiseksi on tarpeen arvioida vain piste alkuperäisessä funktiossa

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4-8 = - 4

Kriittinen piste on P (-2, -4).

Viitteet

1. Oikea analyysi. Historiallinen lähestymistapa Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5. elokuuta. 1999.
2. Pierre de Fermatin matemaattinen ura, 1601-1665: toinen painos. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5. kesäkuuta. 2018
3. Fermatista Minkowskiin: Luennot numeroiden teoriasta ja sen historiallisesta kehityksestä. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermatin viimeinen lause: Geneettinen johdanto algebraliseen lukuteoriaan. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14. tammikuuta 2000
5. Fermat Days 85: Matematiikka optimointia varten. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1. tammikuuta. 1986