MORGAN-LAIT - MATEMATIIKKA - 2026

L silmät Morgan ovat päättelysääntöjä käytetään lause- logiikan, joka määrittää, mihin tulos kieltämällä Ulkopuolelle ja yhdessä väitelauseet tai propositional muuttujia. Nämä lait määritteli matemaatikko Augustus De Morgan.

Morganin lait ovat erittäin hyödyllinen työkalu matemaattisen päättelyn paikkansapitävyyden osoittamiseen. Myöhemmin ne yleistettiin sarjassa, jonka aiheena oli matemaatikko George Boole.

Tämä Boolen tekemä yleistys vastaa täysin Morganin alkuperäisiä lakeja, mutta se on kehitetty erityisesti joukkoihin kuin ehdotuksiin. Tätä yleistystä kutsutaan myös Morganin laeiksi.

Katsaus ehdotuslogiikkaan

Ennen kuin tarkastellaan mitä Morganin lait ovat ja miten niitä käytetään, on hyödyllistä muistaa joitain ehdotuslogiikan peruskäsitteitä. (Lisätietoja on artikkelissa ehdotuslogiikasta).

Matemaattisen (tai ehdotuksellisen) logiikan alueella päätelmä on johtopäätös, joka annetaan joukosta tiloja tai hypoteeseja. Tämä johtopäätös yhdessä edellä mainittujen lähtökohtien kanssa antaa aihetta ns. Matemaattisiin päättelyihin.

Tällaisen päättelyn on oltava todistettavissa tai kielletty; toisin sanoen kaikki matemaattisen päättelyn päätelmät tai johtopäätökset eivät ole päteviä.

Harhaluulo

Tietyistä oletuksista, joiden oletetaan olevan totta, tehdyt väärät päätelmät tunnetaan virheellisinä. Vääröillä on erityispiirteitä olla argumentteja, jotka vaikuttavat oikeilta, mutta matemaattisesti ne eivät ole.

Propositiaalinen logiikka vastaa juuri menetelmien kehittämistä ja tarjoamista, joiden avulla matemaattinen päättely voidaan validoida tai kumota ilman epäselvyyksiä; toisin sanoen päättele pätevä päätelmä tiloista. Nämä menetelmät tunnetaan päätelmissääntöinä, joihin Morganin lait kuuluvat.

ehdotuksia

Perusteellisen logiikan olennaiset elementit ovat ehdotukset. Ehdotukset ovat lausuntoja, joiden voidaan sanoa olevan päteviä tai ei, mutta jotka eivät voi olla totta tai vääriä samanaikaisesti. Tässä asiassa ei pitäisi olla epäselvyyttä.

Aivan kuten lukuja voidaan yhdistää lisäämisen, vähentämisen, kertolaskun ja jakamisen avulla, ehdotuksia voidaan käyttää tunnettujen loogisten yhdistimien (tai liittimien) avulla: kieltäminen (¬, “ei”), disjunktio (V, “Tai”), yhdistelmä (Ʌ, “ja”), ehdolliset (→, “jos…, niin…”) ja kaksikieliset (↔, “jos ja vain jos”).

Työskennellä yleisemmin sen sijaan, että tarkasteltaisiin tiettyjä ehdotuksia, harkitaan ehdotusmuuttujia, jotka edustavat ehdotuksia, ja ne merkitään yleensä pienillä kirjaimilla p, q, r, s jne.

Ehdotuskaava on yhdistelmä ehdotusmuuttujiin joidenkin loogisten yhteyksien avulla. Toisin sanoen, se on koostumus ehdotuksellisista muuttujista. Ne on yleensä merkitty kreikkalaisilla kirjaimilla.

Sanotaan, että ehdotuskaava merkitsee loogisesti toista, kun jälkimmäinen on totta joka kerta edellinen on totta. Tätä merkitään:

Kun looginen implikaatio kahden ehdotuskaavan välillä on vastavuoroinen - eli kun edellinen implikaatio on pätevä myös vastakkaisessa mielessä -, kaavojen sanotaan olevan loogisesti vastaavia, ja sitä merkitään

Looginen vastaavuus on eräänlainen tasa-arvo ehdotuskaavojen välillä ja sallii tarvittaessa korvata yhden toisella.

Morganin lait

Morganin lait koostuvat kahdesta loogisesta vastaavuudesta kahden ehdotusmuodon välillä, nimittäin:

Nämä lait sallivat disjunktion tai konjunktion kieltämisen erottamisen mukana olevien muuttujien kielteinä.

Ensimmäinen voidaan lukea seuraavasti: disjunktion kieltäminen on yhtä suuri kuin kielteisten konjunktio. Ja toinen kuuluu seuraavasti: Konjunktion kieltäminen on kielteisten hajoamista.

Toisin sanoen kahden ehdotusmuuttujan disjunktion kieltäminen vastaa molempien muuttujien negatiivien konjunktiota. Samoin kahden ehdotusmuuttujan konjunktion kieltäminen vastaa molempien muuttujien negatiivien dissjuudioa.

Kuten aikaisemmin mainittiin, tämän loogisen vastaavuuden korvaaminen auttaa osoittamaan tärkeitä tuloksia yhdessä muiden olemassa olevien päätelmissääntöjen kanssa. Niiden avulla voit yksinkertaistaa monia ehdotuskaavoja, jotta niiden kanssa on hyödyllisempää työskennellä.

Seuraava on esimerkki matemaattisesta todisteesta, joka käyttää päätelmissääntöjä, mukaan lukien Morganin lait. Erityisesti osoitetaan, että kaava:

Se vastaa:

Jälkimmäinen on yksinkertaisempi ymmärtää ja kehittää.

Esittely

On syytä mainita, että Morganin lakien pätevyys voidaan osoittaa matemaattisesti. Yksi tapa on vertaamalla totuustaulukoita.

sarjat

Samoja päätelmissääntöjä ja ehdotuksiin sovellettavia logiikan käsitteitä voidaan myös kehittää ottaen huomioon joukot. Tätä kutsutaan Boolen algebraksi matemaatikon George Boolen jälkeen.

Tapausten erottamiseksi on tarpeen muuttaa merkintä ja siirtää sarjaan, kaikki jo nähneet käsitykset ehdotuslogiikasta.

Joukko on kokoelma esineitä. Sarjat on merkitty isoilla kirjaimilla A, B, C, X,… ja sarjan elementit on merkitty pienillä kirjaimilla a, b, c, x jne. Kun elementti a kuuluu joukkoon X, sitä merkitään:

Kun se ei kuulu X: ään, merkintä on:

Tapa edustaa sarjoja on sijoittamalla niiden elementit holkkien sisään. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukkoa edustaa:

Sarjat voidaan myös edustaa kirjoittamatta tarkkaa luetteloa niiden elementeistä. Ne voidaan ilmaista muodossa {:}. Kaksoispiste luetaan "sellainen, että". Kahden pisteen vasemmalle puolelle asetetaan muuttuja, joka edustaa ryhmän elementtejä, ja oikealle puolelle asetetaan ominaisuus tai ehto, jonka ne täyttävät. Tämä on:

Esimerkiksi kokonaislukujoukko, joka on suurempi kuin -4, voidaan ilmaista:

Tai vastaavasti ja lyhennettynä seuraavasti:

Samoin seuraavat lausekkeet edustavat vastaavasti parittomia ja parillisia numeroita:

Liitos, leikkaus ja sarjojen lisäykset

Seuraavaksi näemme loogisten liitäntöjen analogit sarjoissa, jotka ovat osa joukkojen välisiä perustoimintoja.

Unioni ja risteys

Sarjojen liitto ja leikkauspiste määritetään vastaavasti seuraavasti:

Harkitse esimerkiksi sarjoja:

Joten sinun on:

Täydentää

Sarjan komplementti muodostuu elementeistä, jotka eivät kuulu mainittuun joukkoon (samaa tyyppiä kuin alkuperäinen edustaa). Sarjan A komplementti on merkitty:

Esimerkiksi luonnollisissa numeroissa parillisten lukujen joukon komplementti on parittomien lukujen joukko, ja päinvastoin.

Sarjan komplementin määrittämiseksi tarkasteltavien elementtien universaalin tai pääjoukon on oltava selkeitä alusta alkaen. Esimerkiksi, ei ole sama ajatella, että joukon komplementti ylittää luonnolliset luvut kuin rationaaliluvut.

Seuraava taulukko näyttää suhteen tai analogian, joka esiintyy aikaisemmin määriteltyjen joukkojen toimintojen ja ehdotuslogiikan liitosten välillä:

Morganin sarjat

Lopuksi, Morganin lakeja sarjoista ovat:

Sanoin: liitoksen komplementti on komplementtien leikkaus, ja leikkauksen komplementti on komplementtien liitto.

Matemaattinen todiste ensimmäisestä tasa-arvosta olisi seuraava:

Toisen todiste on analoginen.

Viitteet

1. Almaguer, G. (2002). Matematiikka 1. Toimituksellinen Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logiikka, sarjat ja numerot. Mérida - Venezuela: Julkaisuneuvosto, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Johdatus lukuteoriaan. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Lukuteorian peruskurssi. Pohjoinen yliopisto.
5. Cofré, A., ja Tapia, L. (1995). Kuinka kehittää matemaattista loogista päättelyä. Yliopiston kustantamo.
6. Guevara, MH (toinen). Numeroiden teoria. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Lukuteoria Toimituksellinen visio Libros.