EULERIN MENETELMÄ: MILLAINEN SE ON, MENETELMÄ JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Eulerin on yksinkertaisin ja yksinkertaisia käyttää löytämään numeerinen ratkaisuja likimääräinen tavallisen differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun, edellyttäen, että alkuperäinen tila tunnetaan.

Tavallinen differentiaaliyhtälö (ODE) on yhtälö, joka kuvaa yhden riippumattoman muuttujan tuntematonta funktiota johdannaisillaan.

Peräkkäiset likiarvot Eulerin menetelmällä. Lähde: Oleg Alexandrov

Jos suurin yhtälössä näkyvä johdannainen on aste yksi, niin se on ensimmäisen asteen tavallinen differentiaaliyhtälö.

Yleisin tapa kirjoittaa ensimmäisen asteen yhtälö on:

x = x ₀

y = y ₀

Mikä on Eulerin menetelmä?

Euler-menetelmän tarkoituksena on löytää numeerinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön välillä X _{0 -} X _f.

Ensinnäkin aikaväli hylätään n + 1 pisteessä:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃ …, x _n

Mitkä saadaan tällä tavalla:

x _i = x ₀ + ih

Missä h on osavälien leveys tai askel:

Alkuolosuhteissa on myös mahdollista tietää johdannainen alussa:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Tämä johdannainen edustaa tangenttilinjan kaltevuutta funktion y (x) käyrään tarkasti pisteessä:

Ao = (x _o, y _o)

Sitten seuraavassa pisteessä arvioidaan likimääräisesti funktion y (x) arvo:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Sitten on saatu ratkaisun seuraava likimääräinen piste, joka vastaa:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

Menettely toistetaan peräkkäisten pisteiden saamiseksi

A ₂, A ₃ …, x _n

Alkuvaiheessa olevassa kuvassa sininen käyrä edustaa tarkkaa ratkaisua differentiaaliyhtälöstä ja punainen edustaa peräkkäisiä likimääräisiä pisteitä, jotka on saatu Euler-menetelmällä.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

I) Olkoon differentiaaliyhtälö:

Alkuolosuhteella x = a = 0; ja _a = 1

Käytä Eulerin menetelmää saadaksesi likimääräinen ratkaisu y: stä koordinaatissa X = b = 0,5, jakamalla väli n = 5 osaan.

Ratkaisu

Numeeriset tulokset on tiivistetty seuraavasti:

Josta päätellään, että ratkaisu Y arvolle 0,5 on 1,4851.

Huomaa: Smath Studio, ilmainen ohjelma ilmaiseksi käyttöön, on käytetty laskelmien suorittamiseen.

Harjoitus 2

II) Jatka tehtävän I) differentiaaliyhtälöä, etsi tarkka ratkaisu ja vertaa sitä Eulerin menetelmällä saatuun tulokseen. Löydä virhe tai ero tarkan ja likimääräisen tuloksen välillä.

Ratkaisu

Tarkkaa ratkaisua ei ole kovin vaikea löytää. Funktion sin (x) johdannainen tiedetään olevan funktio cos (x). Siksi ratkaisu y (x) on:

y (x) = sin x + C

Jotta alkuperäinen ehto täyttyisi ja (0) = 1, vakion C on oltava yhtä suuri. Tarkkaa tulosta verrataan sitten likimääräiseen:

Johtopäätöksenä on, että lasketussa intervallissa lähentämisellä on kolme merkitsevää tarkkuuslukua.

Harjoitus 3

III) Mieti seuraavaa differentiaaliyhtälöä ja sen lähtöolosuhteita:

y '(x) = - y ²

Alkuololla x ₀ = 0; ja ₀ = 1

Käytä Eulerin menetelmää löytääksesi ratkaisun likiarvot y (x) välillä x =. Käytä vaihetta h = 0,1.

Ratkaisu

Eulerin menetelmä on erittäin sopiva käytettäväksi laskentataulukon kanssa. Tässä tapauksessa käytämme geogebra-taulukkoa, ilmaista ja avoimen lähdekoodin ohjelmaa.

Kuvion taulukossa on kolme saraketta (A, B, C), ensimmäinen on muuttuja x, toinen sarake edustaa muuttujaa y ja kolmas sarake on johdannainen y '.

Rivi 2 sisältää X, Y, Y 'alkuarvot.

Arvoaskel 0,1 on sijoitettu absoluuttisen sijainnin soluun ($ D $ 4).

Y0: n alkuarvo on solussa B2 ja y1 on solussa B3. Y _1: n laskemiseksi käytetään kaavaa:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Tämä laskentataulukkokaava olisi numero B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Samoin y2 olisi solussa B4 ja sen kaava on esitetty seuraavassa kuvassa:

Kuvassa näkyy myös tarkan ratkaisun kuvaaja ja likimääräisen ratkaisun pisteet A, B,…, P Eulerin menetelmällä.

Newtonin dynamiikka ja Eulerin menetelmä

Klassisen dynamiikan kehitti Isaac Newton (1643 - 1727). Leonard Eulerin (1707 - 1783) alkuperäinen motivaatio kehittää menetelmäänsä oli juuri Newtonin toisen lain yhtälön ratkaiseminen erilaisissa fyysisissä tilanteissa.

Newtonin toinen laki ilmaistaan ​​yleensä toisen asteen differentiaaliyhtälönä:

Missä x edustaa kohteen sijaintia hetkellä t. Mainitulla esineellä on massa m ja siihen kohdistetaan voima F. Toiminto f liittyy voimaan ja massaan seuraavasti:

Euler-menetelmän soveltamiseksi vaaditaan ajan t, nopeuden v ja aseman x alkuarvot.

Seuraava taulukko selittää, kuinka lähtöarvoista t1, v1, x1 voidaan saavuttaa likimääräisyys nopeudesta v2 ja sijainnista x2 hetkessä t2 = t1 + Δt, missä Δt edustaa pientä lisäystä ja vastaa vaihetta menetelmässä Euler.

Harjoitus 4

IV) Yksi mekaniikan perusongelmista on massalohko M, joka on kiinnitetty jousta (tai jousta) joustavan vakion K kanssa.

Newtonin toinen laki tästä ongelmasta näyttää tältä:

Tässä esimerkissä yksinkertaisuuden vuoksi otamme M = 1 ja K = 1. Löydä likimääräiset ratkaisut asemaan x ja nopeuteen v Euler-menetelmällä aikavälillä jakamalla välilyönti 12 osaan.

Otetaan 0 lähtöhetkellä, lähtönopeus 0 ja alkuasento 1.

Ratkaisu

Numeeriset tulokset on esitetty seuraavassa taulukossa:

Alueiden 0 ja 1,44 välisen sijainnin ja nopeuden kuvaajat näkyvät myös.

Ehdotetut harjoitukset kotona

Harjoitus 1

Käytä laskentataulukkoa likimääräisen ratkaisun määrittämiseen käyttämällä Eulerin menetelmää differentiaaliyhtälölle:

y '= - Exp (-y) alkuolosuhteilla x = 0, y = -1 välillä x =

Aloita vaiheelta 0,1. Piirrä tulos.

Harjoitus 2

Löydä laskentataulukon avulla numeerisia ratkaisuja seuraavaan neliöyhtälöön, missä y on riippumattoman muuttujan t funktio.

y '' = - 1 / y² alkuperäisellä ehdolla t = 0; ja (0) = 0,5; y '(0) = 0

Löydä ratkaisu aikavälillä 0.05.

Piirrä tulos: y vs t; y 'vs t

Viitteet

1. Eurler-menetelmä otettu osoitteesta wikipedia.org
2. Euler-ratkaisija. Otettu osoitteesta en.smath.com