GAUSS-SEIDEL-MENETELMÄ: SELITYS, SOVELLUKSET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Gauss-Seidel menetelmä on iteratiivinen menettely löytää likimääräisiä ratkaisuja lineaarisen algebrallisia yhtälöitä mielivaltaisesti valittu tarkasti. Menetelmää sovelletaan neliömatriiseihin, joiden diagonaaleissa ei ole nollia elementtejä, ja konvergenssi taataan, jos matriisi on diagonaalisesti hallitseva.

Sen loi Carl Friedrich Gauss (1777-1855), joka antoi yksityisosoituksen yhdelle opiskelijoilleen vuonna 1823. Sen julkaisi myöhemmin virallisesti Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) vuonna 1874, tästä myös nimi molemmista matemaatikoista.

Kuva 1. Gauss-Seidel-menetelmä lähenee nopeasti yhtälöjärjestelmän ratkaisun saamiseksi. Lähde: F. Zapata.

Menetelmän täydelliseksi ymmärtämiseksi on välttämätöntä tietää, että matriisi on diagonaalisesti hallitseva, kun kunkin rivin diagonaalielementin absoluuttinen arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin saman rivin muiden elementtien absoluuttisten arvojen summa.

Matemaattisesti se ilmaistaan ​​seuraavasti:

Selitys yksinkertaisella tapauksella

Havainnollistaaksemme mitä Gauss-Seidel-menetelmä koostuu, otamme yksinkertaisen tapauksen, jossa X: n ja Y: n arvot löytyvät alla esitetystä lineaaristen yhtälöiden 2 × 2 -järjestelmästä:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Seuraavat vaiheet

1- Ensinnäkin on tarpeen selvittää, onko lähentyminen turvallista. Heti havaitaan, että se on käytännössä diagonaalisesti hallitseva järjestelmä, koska ensimmäisessä rivissä ensimmäisen kertoimen absoluuttinen arvo on suurempi kuin muiden ensimmäisen rivin muiden:

-5 -> - 2

Samoin toisen rivin toinen kerroin on myös diagonaalisesti hallitseva:

--4 -> - 1-

2- Muuttujat X ja Y tyhjennetään:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- Sijoita mielivaltainen alkuarvo, jota kutsutaan "siemeneksi": Xo = 1, I = 2.

4 - Iterointi alkaa: saadaksesi ensimmäisen likiarvon X1, Y1, siemen korvataan vaiheen 2 ensimmäisessä yhtälössä ja tuloksena vaiheen 2 toisessa yhtälössä:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Jatkamme samalla tavalla saadaksemme toisen likiarvon yhtälöjärjestelmän ratkaisusta:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Kolmas iteraatio:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Neljäs iteraatio tämän havainnollistavan tapauksen viimeisenä iteraationa:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Nämä arvot ovat melko hyvin sopusoinnussa muiden ratkaisumenetelmien löytämän ratkaisun kanssa. Lukija voi tarkistaa sen nopeasti online-matematiikkaohjelman avulla.

Menetelmän analyysi

Kuten voidaan nähdä, Gauss-Seidel-menetelmässä edellisessä muuttujassa samassa vaiheessa saadut likimääräiset arvot on korvattava seuraavassa muuttujassa. Tämä erottaa sen muista iteratiivisista menetelmistä, kuten Jacobin menetelmistä, joissa kukin vaihe vaatii edellisen vaiheen likiarvoja.

Gauss-Seidel-menetelmä ei ole rinnakkainen menetelmä, kun taas Gauss-Jordan-menetelmä on. Se on myös syy siihen, että Gauss-Seidel -menetelmän konvergenssi on nopeampi - vähemmässä vaiheessa - kuin Jordanin menetelmä.

Diagonaalisesti hallitsevan matriisin olosuhteissa tämä ei aina täyty. Useimmissa tapauksissa riittää pelkästään rivien vaihtaminen alkuperäisestä järjestelmästä, jotta ehto täyttyy. Lisäksi menetelmä lähestyy melkein aina, vaikka diagonaalinen dominointiehto ei täyty.

Edellinen tulos, joka saadaan Gauss-Seidel-menetelmän neljällä iteraatiolla, voidaan kirjoittaa desimaalimuodossa:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Tarkka ratkaisu ehdotettuun yhtälöjärjestelmään on:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Joten vain 4 iteraatiolla saat tuloksen tuhannesosan tarkkuudella (0,001).

Kuvio 1 havainnollistaa kuinka peräkkäiset iteraatiot konvergoituvat nopeasti tarkkaan ratkaisuun.

Sovellukset

Gauss-Seidel-menetelmä ei ole rajoitettu vain lineaaristen yhtälöiden 2 × 2 -järjestelmään. Edellistä menettelyä voidaan yleistää ratkaistaksesi n yhtälön lineaarinen järjestelmä n tuntemattoman kanssa, joka esitetään matriisissa seuraavasti:

A X = b

Missä A on nxn-matriisi, kun taas X on laskettavan n muuttujan vektorin n komponentit; ja b on vektori, joka sisältää riippumattomien termien arvot.

Seuraavassa kaavassa käytetään yleistämään havainnollistamisessa käytetyn iteraatioiden sekvenssiä nxn-järjestelmään, josta muuttuja Xi haluaa laskea:

Tässä yhtälössä:

- k on iteraatiolla k saadun arvon indeksi.

-k + 1 osoittaa uuden arvon seuraavassa.

Iteraatioiden lopullinen lukumäärä määritetään, kun iteraatiossa k + 1 saatu arvo eroaa välittömästi ennen saatua arvosta ε, joka on tarkalleen haluttu tarkkuus.

Esimerkkejä Gauss-Seidel-menetelmästä

- Esimerkki 1

Kirjoita yleinen algoritmi, jonka avulla voidaan laskea lineaarisen yhtälöjärjestelmän nxn likimääräisten ratkaisujen vektori X, ottaen huomioon kertoimien A matriisi, riippumattomien ehtojen b vektori, iteraatioiden lukumäärä (i ter) ja alkuarvo tai "siemen" "vektorin X.

Ratkaisu

Algoritmi koostuu kahdesta ”To” -jaksosta, yksi toistojen lukumäärälle ja toinen muuttujien lukumäärälle. Se olisi seuraava:

K ∊: lle

Minulle ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- Esimerkki 2

Tarkista edellisen algoritmin toiminta sovelluksen kautta ilmaisella ja ilmaisella SMath Studion matemaattisella ohjelmistolla, saatavana Windowsille ja Androidille. Otetaan esimerkki 2 × 2 -matriisin tapauksesta, joka auttoi meitä havainnollistamaan Gauss-Seidel -menetelmää.

Ratkaisu

Kuva 2. 2 x 2 -esimerkin yhtälöjärjestelmän ratkaisu käyttämällä SMath Studio -ohjelmistoa. Lähde: F. Zapata.

- Esimerkki 3

Käytä Gauss-Seidel-algoritmia seuraaville 3 × 3-yhtälöjärjestelmille, jotka on aiemmin järjestetty siten, että diagonaalin kertoimet ovat hallitsevia (ts. Suurempi absoluuttinen arvo kuin absoluuttisten arvojen kertoimien sama rivi):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Käytä nollavektoria siemenenä ja harkitse viittä iteraatiota. Kommentoi tulosta.

Ratkaisu

Kuva 3. Ratkaisu ratkaisun esimerkin 3 yhtälöjärjestelmään SMath Studion avulla. Lähde: F. Zapata.

Samalle järjestelmälle, jossa on 10 iteraatiota 5 sijaan, saadaan seuraavat tulokset: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Tämä kertoo meille, että viisi toistoa riittää kolmen tarkkuuden tarkkuuden saamiseksi ja menetelmä lähenee nopeasti ratkaisuun.

- Esimerkki 4

Löydä ratkaisu jäljempänä olevaan 4 × 4-yhtälöjärjestelmään käyttämällä yllä annettua Gauss-Seidel-algoritmia:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x 1 - 1 x 2 + 10 x 3 - 1 x 4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Käynnistä menetelmä käyttämällä seuraavia siemeniä:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ja x4 = 0

Tarkastellaan 10 iteraatiota ja arvioidaan tuloksen virhe verrattuna iteraatiolukuun 11.

Ratkaisu

Kuva 4. Ratkaisu ratkaisun esimerkin 4 yhtälöjärjestelmään SMath Studion avulla. Lähde: F. Zapata.

Verrattuna seuraavaan iteraatioon (numero 11), tulos on identtinen. Suurimmat erot kahden iteraation välillä ovat luokkaa 2 × 10 ^-8, mikä tarkoittaa, että näytetyn ratkaisun tarkkuus on vähintään seitsemän desimaalia.

Viitteet

1. Iteratiiviset ratkaisumenetelmät. Gauss-Seidel. Palautettu: cimat.mx
2. Numeeriset menetelmät. Gauss-Seidel. Palautettu: test.cua.uam.mx
3. Numeerinen: Gauss-Seidel-menetelmä. Palautettu osoitteesta: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gauss-Seidel-menetelmä. Palautettu: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauss-Seidel-menetelmä. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com