- postulaatit
- Diracin neljä postulettia
- Diracin yhtälö
- Dirac-Jordan-atomi
- Relativistiset korjaukset energiaspektriin
- Kiinnostavat artikkelit
- Viitteet
Dirac-Jordan atomi malli on relativistisen yleistys Hamiltonin operaattori yhtälö, joka kuvaa kvantti aaltofunktio elektronin. Toisin kuin edellisessä mallissa, Schrodingerissä, pyörittämistä ei ole tarpeen määrätä Paulin poissulkemisperiaatteen avulla, koska se näyttää luonnolliselta.
Lisäksi Dirac-Jordan-malli sisältää relativistiset korjaukset, spin-kiertoratavuorovaikutuksen ja Darwinin termin, jotka vastaavat atomin elektronisten tasojen hienoa rakennetta.
Kuva 1. Elektroniset kiertoradat vetyatomissa kolmella ensimmäisellä energiatasolla. Lähde: Wikimedia Commons.
Vuodesta 1928 tutkijat Paul AM Dirac (1902-1984) ja Pascual Jordan (1902-1980) pyrkivät yleistämään Schrodingerin kehittämää kvantimekaniikkaa sisällyttämään siihen Einsteinin erityiset relatiivisuuskorjaukset.
Dirac alkaa Schrodinger-yhtälöstä, joka koostuu Hamiltonin nimeltä differentiaalioperaattorista, joka toimii elektroniaaltofunktioksi kutsuttuun funktioon. Schrodinger ei kuitenkaan ottanut huomioon relativistisia vaikutuksia.
Aaltofunktion ratkaisut antavat meille mahdollisuuden laskea alueet, joilla tietyllä todennäköisyydellä elektroni löytyy ytimen ympäriltä. Näitä alueita tai vyöhykkeitä kutsutaan orbitaaleiksi ja ne riippuvat tietyistä diskreetteistä kvanttiluvuista, jotka määrittelevät elektronin energian ja kulman momentin.
postulaatit
Kvanttimekaanisissa teorioissa, olivatpa ne relativistisia tai ei, kiertoradalla ei ole käsitettä, koska elektronin sijaintia tai nopeutta ei voida määritellä samanaikaisesti. Lisäksi yhden muuttujan määrittäminen johtaa toisen epätarkkuuteen.
Hamiltonilainen puolestaan on matemaattinen operaattori, joka toimii kvantti-aaltofunktiossa ja on rakennettu elektronin energiasta. Esimerkiksi vapaalla elektronilla on kokonaisenergia E, joka riippuu sen lineaarisesta momentista p seuraavasti:
E = (p 2) / 2 m
Hamiltonin rakentamiseksi aloitamme tästä lausekkeesta ja korvitsemme p kv-operaattorille vauhtia:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
On tärkeätä huomata, että p- ja p- termit ovat erilaisia, koska ensimmäinen on momentti ja toinen on momenttiin liittyvä differentiaalioperaattori.
Lisäksi i on kuvitteellinen yksikkö ja ħ Planckin vakio jaettuna 2π: llä, tällä tavalla saadaan vapaan elektronin Hamiltonin operaattori H:
H = (ħ 2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2
Lisää elektronin hamiltonialainen atomista lisäämällä elektroni vuorovaikutukseen ytimen kanssa:
H = (ħ2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2 - eΦ (r)
Edellisessä lausekkeessa -e on elektronin sähkövaraus ja Φ (r) keskusytimen tuottama sähköstaattinen potentiaali.
Nyt operaattori H vaikuttaa aaltofunktioon ψ Schrodinger-yhtälön mukaan, joka on kirjoitettu näin:
H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ
Diracin neljä postulettia
Ensimmäinen postulointi: relativistisella aaltoyhtälöllä on sama rakenne kuin Schrodingerin aaltoyhtälöllä, mikä muuttuu H:
H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ
Toinen oletus: Hamiltonin operaattori rakennetaan Einsteinin energia-impulssisuhteesta lähtien, joka on kirjoitettu seuraavasti:
E = (m 2 c 4 + s 2 c 2) 1/2
Edellisessä suhteessa, jos hiukkasella on vauhtia p = 0, niin meillä on kuuluisa yhtälö E = mc 2, joka kuvaa minkä tahansa massahiukkasen m loputtua energiaa valon nopeudella c.
Kolmas postulaatti: Hamiltonin operaattorin saamiseksi käytetään samaa kvantisointisääntöä, jota käytettiin Schrodingerin yhtälössä:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
Aluksi ei ollut selvää, kuinka käsitellä tätä neliöjuuren sisällä toimivia differentiaalioperaattoreita, joten Dirac ryhtyi hankkimaan lineaarisen Hamiltonin operaattorin momentinoperaattorista ja sieltä nousi hänen neljänteen postulaattiinsa.
Neljäs postulaatti: päästäkseen eroon neliöjuuresta relativistisessa energiakaavassa Dirac ehdotti seuraavaa rakennetta E 2: lle:
Tietysti on tarpeen määrittää alfa-kertoimet (α0, α1, α2, α3), jotta tämä olisi totta.
Diracin yhtälö
Pienessä muodossaan Dirac-yhtälöä pidetään yhtenä kauneimmista matemaattisista yhtälöistä maailmassa:
Kuva 2. Dirac-yhtälö kompaktissa muodossa. Lähde: F. Zapata.
Ja silloin käy selväksi, että jatkuvat alfat eivät voi olla skalaarimääriä. Ainoa tapa, jolla neljännen postulaatin tasa-arvo toteutuu, on, että ne ovat vakiona 4 × 4 -matriiseja, joita kutsutaan Dirac-matriiseiksi:
Huomaamme heti, että aaltofunktio lakkaa olemasta skalaarifunktio ja siitä tulee vektori, jossa on neljä komponenttia, joita kutsutaan spinoriksi:
Dirac-Jordan-atomi
Atomimallin saamiseksi on välttämätöntä siirtyä vapaan elektronin yhtälöstä atomin ytimen tuottamassa sähkömagneettisessa kentässä olevan elektronin yhtälöön. Tämä vuorovaikutus otetaan huomioon sisällyttämällä skalaaripotentiaali Φ ja vektoripotentiaali A Hamiltonin:
Tämän Hamiltonin sisällyttämisestä johtuvaan aaltofunktioon (spinori) on seuraavat ominaisuudet:
- Täyttää erityisen suhteellisuuden, koska siinä otetaan huomioon elektronin luontainen energia (relativistisen Hamiltonin ensimmäinen termi)
- Siinä on neljä ratkaisua, jotka vastaavat spinorin neljää komponenttia
- Kaksi ensimmäistä ratkaisua vastaavat toista spin + ½ ja toinen spin - ½
- Lopuksi, kaksi muuta ratkaisua ennustavat antimaterian olemassaolon, koska ne vastaavat vastakkaisilla pyörityksillä varustetut positronit.
Dirac-yhtälön suuri etu on, että Schrodinger Hamiltonian H (o): n peruskorjaukset voidaan jakaa useisiin termeihin, jotka esitetään alla:
Edellisessä lausekkeessa V on skalaaripotentiaali, koska vektoripotentiaali A on nolla, jos keskeisen protonin oletetaan olevan paikallaan eikä siksi esiinny.
Syy siihen, että Dirac-korjaukset Schrodinger-ratkaisuihin aaltofunktiossa ovat hienovaraisia. Ne johtuvat tosiasiasta, että korjatun Hamiltonin kolme viimeistä termeä jaetaan kaikki valon nopeudella c, neliöllä, valtava määrä, mikä tekee näistä termeistä numeerisesti pieniä.
Relativistiset korjaukset energiaspektriin
Dirac-Jordan-yhtälöä käyttämällä löydämme korjaukset vetyatomin elektronin energiaspektriin. Atomien energiakorjaukset, joissa likimääräisessä muodossa on enemmän kuin yksi elektron, löytyvät myös häiriöteoriaksi kutsutun menetelmän avulla.
Samoin Dirac-mallin avulla voimme löytää hienon rakennekorjauksen vetyenergian tasoilla.
Vieläkin hienompia korjauksia, kuten hyperhieno rakenne ja Lamb-siirto, saadaan kuitenkin edistyneemmistä malleista, kuten kvanttikenttäteoriasta, joka syntyi juuri Dirac-mallin myötävaikutuksista.
Seuraava kuva osoittaa, miltä Diracin relativistiset korjaukset energian tasoon näyttävät:
Kuva 3. Dirac-mallin korjaukset vetyatomin tasoihin. Lähde: Wikimedia Commons.
Esimerkiksi Dirac-yhtälön ratkaisut ennustavat oikein havaitun muutoksen tasolla 2s. Se on hyvin tunnettu hienorakenteen korjaus vetypektrin Lyman-alfa-linjassa (katso kuva 3).
Muuten, hieno rakenne on nimi, joka atomifysiikassa annetaan atomien emissiospektrin viivojen kaksinkertaistumiselle, mikä on suora seuraus elektronisesta spinistä.
Kuvio 4. Hienorakenteen jakautuminen väärässä tilassa n = 1 ja ensimmäisessä viritetyssä tilassa n = 2. Lähde: R Wirnata. Relativistiset korjaukset vetymäisissä atomeissa. Researchgate.net
Kiinnostavat artikkelit
De Broglie-atomimalli.
Chadwickin atomimalli.
Heisenbergin atomimalli.
Perrinin atomimalli.
Thomsonin atomimalli.
Daltonin atomimalli.
Schrödingerin atomimalli.
Democrituksen atomimalli.
Bohrin atomimalli.
Viitteet
- Atomiteoria. Palautettu osoitteesta wikipedia.org.
- Elektronimagneettinen hetki. Palautettu osoitteesta wikipedia.org.
- Quanta: Käsikirja käsitteistä. (1974). Oxford University Press. Palautettu Wikipedia.org-sivustosta.
- Dirac Jordan-atomimalli. Palautettu prezi.com-sivustosta.
- Uusi kvanttiuniversumi. Cambridge University Press. Palautettu Wikipedia.org-sivustosta.