HITAUSMOMENTTI: KAAVAT, YHTÄLÖT JA LASKENTAESIMERKIT - FYYSINEN - 2026

Hitausmomentti jäykän kappaleen suhteen tietyn pyörimisakselin edustaa sen vastuksen muuttamalla sen kulmanopeus ympäri mainitun akselin. Se on verrannollinen massaan ja myös pyörimisakselin sijaintiin, koska runko geometriastaan ​​riippuen voi pyöriä helpommin tiettyjen akseleiden ympäri kuin toisissa.

Oletetaan, että suuri esine (koostuu monista hiukkasista), joka voi pyöriä akselin ympäri. Oletetaan, että voima F vaikuttaa tangentiaalisesti massaelementtiin Δm _i, joka tuottaa vääntömomentin tai momentin, joka saadaan τ _net = ∑ r _i x F _i. Vektori r _i on asema DM _i (katso kuva 2).

Kuva 1. Eri kuvioiden hitausmomentit. Lähde: Wikimedia Commons.

Tämä momentti on kohtisuorassa pyörimistasoon nähden (suunta + k = poistuessa paperista). Koska voima ja säteittäinen sijaintivektori ovat aina kohtisuorassa, poikkituote pysyy:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

Kuva 2. Hiukkanen, joka kuuluu jäykkään kiinteään aineeseen pyörimällä. Lähde: Serway, R. 2018. Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Volume 1. Cengage -oppiminen.

Kiihdytys a _i edustaa kiihtyvyyden tangentiaalikomponenttia, koska radiaalinen kiihtyvyys ei vaikuta vääntömomenttiin. Kulmakiihtyvyyden α funktiona voimme ilmaista, että:

Siksi nettomomentti näyttää tältä:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

Kulmakiihtyvyys α on sama koko objektille, siksi alaindeksi i ei vaikuta siihen ja voi jättää summauksen, joka on tarkalleen I-kirjaimella symbolisoidun objektin hitausmomentti:

Tämä on diskreetin massajakauman hitausmomentti. Kun jakauma on jatkuvaa, summaus korvataan integraalilla ja m tulee massaeroksi dm. Integrointi suoritetaan koko esineellä:

SI-kansainvälisen järjestelmän hitausmomentin yksiköt ovat kg xm ². Se on skalaarinen ja positiivinen määrä, koska se on massan ja etäisyyden neliö.

Laskentaesimerkkejä

Laajennettu esine, kuten tanko, kiekko, pallo tai muu, jonka tiheys ρ on vakio ja tietäen, että tiheys on massa-tilavuus-suhde, massaero dm kirjoitetaan seuraavasti:

Korvaaen integraalin inertia-hetkeksi, meillä on:

Tämä on yleinen lauseke, joka koskee kolmiulotteista objektia, jonka tilavuus V ja sijainti r ovat avaruuskoordinaattien x, y ja z funktiot. Huomaa, että ollessa vakio, tiheys on integraalin ulkopuolella.

Tiheys ρ tunnetaan myös nimellä bulkkitiheys, mutta jos esine on hyvin tasainen, kuten arkki tai erittäin ohut ja kapea kuin sauva, voidaan käyttää muita tiheyden muotoja, katsokaamme:

- Erittäin ohuelle levylle käytettävä tiheys on σ, pintatiheys (massa pinta-alayksikköä kohti) ja dA on pinta-alaero.

- Ja jos se on ohut palkki, jossa vain pituus on merkityksellinen, käytetään lineaarista massatiheyttä λ ja pituuseroa referenssinä käytetyn akselin mukaan.

Seuraavissa esimerkeissä kaikkia esineitä pidetään jäykinä (eivät muodonmuutos) ja niiden tiheys on tasainen.

Ohuen tankojen hitausmomentti sen keskipisteen läpi kulkevan akselin suhteen

Lasketaan tässä ohut, jäykän, homogeenisen sauvan, jonka pituus on L ja massa M, hitausmomentti väliaineen läpi kulkevan akselin suhteen.

Ensinnäkin on luotava koordinaattijärjestelmä ja rakennettava hahmo, jolla on sopiva geometria, kuten tämä:

Kuva 3. Geometria ohuen sauvan hitausmomentin laskemiseksi suhteessa sen keskipisteen läpi kulkevaan pystyakseliin. Lähde: F. Zapata.

X-akseli tankoa pitkin ja y-akseli valittiin kiertoakseliksi. Menetelmä integraalin muodostamiseksi edellyttää myös, että valitaan tankoon massaero, nimeltään dm, jolla on differentiaalipituus dx ja joka sijaitsee mielivaltaisessa asennossa x suhteessa keskustaan ​​x = 0.

Lineaarisen massatiheyden λ määritelmän mukaan:

Koska tiheys on tasainen, mikä pätee M: lle ja L: lle, se pätee myös dm: lle ja dx: lle:

Toisaalta massaelementti on asemassa x, joten korvaamalla tämä geometria määritelmässä, meillä on selkeä integraali, jonka rajat ovat palkin päät koordinaattijärjestelmän mukaan:

Korvaa lineaarinen tiheys λ = M / L:

Löytääksesi sauvan hitausmomentin suhteessa toiseen pyörimisakseliin, esimerkiksi sellaisen, joka kulkee yhden sen päistä, voit käyttää Steinerin lausea (katso lopussa ratkaistu tehtävä) tai suorittaa suora laskelma, joka on samanlainen kuin esitetty. tässä, mutta geometrian muokkaamiseksi asianmukaisesti.

Levyn hitausmomentti sen keskipisteen läpi kulkevan akselin suhteen

Erittäin ohut levy, jonka paksuus on vähäinen, on litteä luku. Jos massa on jakautunut tasaisesti koko alueen A pinta-alalle, massatiheys σ on:

Sekä dm että dA vastaavat kuvassa esitetyn differentiaalirenkaan massaa ja aluetta. Oletetaan, että koko kokoonpano pyörii y-akselin ympäri.

Voit kuvitella, että kiekko koostuu monista samankeskisistä renkaista, joiden säde on r, jokaisella on vastaava hitausmomentti. Lisäämällä kaikkien renkaiden lisäykset säteen R saavuttamiseen saakka, on levyn kokonainen hitausmomentti.

Kuva 4. Geometria kiekon hitausmomentin laskemiseksi akselin suhteen. Lähde: F. Zapata.

M missä M edustaa koko levyä. Levyn pinta-ala riippuu sen säteestä r seuraavasti:

Johdannainen suhteessa r:

Korvataan yllä oleva määritelmä I:

Korvaamalla σ = M / (π.R ²) on edelleen:

Kiinteän pallon halkaisijaltaan noin hitausmomentti

Sädepalloa R voidaan pitää sarjana levyjä, jotka on pinottu päällekkäin, jolloin jokaisella levyllä, jonka massa on ääretön, dm, säde r ja paksuus dz, on hitausmomentti, joka annetaan:

Tämän eron löytämiseksi otimme yksinkertaisesti kaavan edellisestä osasta ja korvasimme M ja R vastaavasti dm: lle ja r: lle. Tällainen levy näkyy kuvan 5 geometriassa.

Kuva 5. Geometria, jolla lasketaan säteen R kiinteän pallon hitausmomentti halkaisijan läpi kulkevan akselin suhteen. Lähde: F. Zapata.

Lisäämällä pinottujen levyjen kaikki äärettömän pienet hitausmomentit saadaan pallon kokonaishitausmomentti:

Mikä vastaa:

Integroinnin ratkaisemiseksi sinun on ilmaista dm asianmukaisesti. Kuten aina, se saavutetaan tiheydestä:

Erotuslevyn tilavuus on:

Levyn korkeus on paksuus dz, kun taas alustan pinta-ala on πr ², joten:

Ja korvaamalla ehdotetulla integraalilla se näyttää tältä:

Mutta ennen integrointia meidän on huomioitava, että r - levyn säde - riippuu z: stä ja R - pallon sädestä, kuten voidaan nähdä kuvasta 5. Pythagoran lauseen avulla:

Mikä johtaa meidät:

Integroidakseen koko pallon alueella, huomaamme, että z vaihtelee välillä -R ja R, siksi:

Tietäen, että ρ = M / V = ​​M / lopulta saadaan, kun yksinkertaistetaan:

Kiinteän sylinterin hitausmomentti akselin suhteen

Tässä esineessä käytetään palloon käytettyä menetelmää vastaavaa menetelmää, vain tällä kertaa on helpompaa, jos sylinterin kuvitellaan koostuvan lieriömäisistä kuorista, joiden säde on r, paksuus dr ja korkeus H, ikään kuin ne olisivat sipulin kerroksia..

Kuva 6. Geometria, jolla lasketaan säteen R kiinteän sylinterin hitausmomentti akselin suhteen. Lähde: Serway, R. 2018. Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Nide 1. Cengage.

Sylinterimäisen kerroksen tilavuus dV on:

Siksi kuoren massa on:

Tämä lauseke korvataan hitausmomentin määritelmässä:

Yllä oleva yhtälö osoittaa, että sylinterin hitausmomentti ei riipu sen pituudesta, vaan vain massasta ja sädestä. Jos L muuttuisi, hitausmomentti akselin ympäri pysyy samana. Tästä syystä sylinterin I on sama kuin aiemmin lasketun ohutlevyn.

Suorakulmaisen levyn hitausmomentti sen keskipisteen läpi kulkevan akselin suhteen

Vaaka-y-akseli on valittu kiertoakseliksi. Seuraava kuva osoittaa integroinnin suorittamiseen tarvittavan geometrian:

Kuva 7. Geometria suorakulmaisen levyn hitausmomentin laskemiseksi suhteessa levyn kanssa yhdensuuntaiseen ja sen keskipisteen läpi kulkevaan akseliin. Lähde: F. Zapata.

Punaisella merkitty alue-elementti on suorakulmainen. Sen pinta-ala on pohja x korkeus, joten:

Siksi massaero on:

Mitä tulee etäisyyteen alueelementistä pyörimisakseliin, se on aina z. Korvaamme kaiken tämän inertia-hetken integraalissa:

Nyt pintamassan tiheys σ korvataan seuraavalla:

Ja se näyttää ehdottomasti tältä:

Huomaa, että se on kuin ohut palkki.

Neliömäisen levyn hitausmomentti sen keskipisteen läpi kulkevan akselin suhteen

Korvaa neliö, jonka sivu on L, korvata edellisessä suorakulmion lausekkeessa b: n arvo L: llä:

Inertialauseiden hetki

On olemassa kaksi erityisen hyödyllistä lausetta, joilla yksinkertaistetaan hitausmomenttien laskemista suhteessa muihin akseleihin, joita muuten saattaa olla vaikea löytää johtuen symmetrian puutteesta. Nämä lauseet ovat:

Steinerin lause

Kutsutaan myös rinnakkaisten akselien lauseeksi, se kuvaa hitausmomenttia akseliin nähden toisen kanssa, joka kulkee esineen massakeskuksen läpi, kunhan akselit ovat yhdensuuntaiset. Sen soveltamiseksi on tarpeen tietää etäisyys D molempien akselien välillä ja tietysti esineen massa M.

Olkoon _{z z} esineen hitausmomentti suhteessa z-akseliin, I _CM hitausmomentti akselin suhteen, joka kulkee mainitun esineen massakeskuksen (CM) läpi, niin on vakuuttunut siitä, että:

Tai seuraavan kuvan merkinnässä: I _{z '} = I _z + Md ²

Kuva 8. Steinerin lause tai yhdensuuntaiset akselit. Lähde: Wikimedia Commons. Jack See

Suoran akselin lause

Tätä lausea sovelletaan tasopinnoille ja menee näin: Suorakohteen hitausmomentti sitä vastaan ​​kohtisuoran akselin ympäri on kahden ensimmäiseen akseliin nähden kohtisuoran akselin ympärillä olevien hitausmomenttien summa:

Kuva 9. Suoran akselin lause. Lähde: F. Zapata.

Jos esineellä on symmetria sellainen, että I _x ja I _y ovat yhtä suuret, on totta, että:

Harjoitus ratkaistu

Löydä tankin hitausmomentti akselin suhteen, joka kulkee yhden sen päistä, kuten kuvassa 1 (alla ja oikealla) ja kuvassa 10 näytetään.

Kuva 10. Homogeenisen sauvan hitausmomenti yhden pään läpi kulkevan akselin ympäri. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu:

Meillä on jo tankojen hitausmomentti akselin ympäri, joka kulkee sen geometrisen keskuksen läpi. Koska pylväs on homogeeninen, sen massakeskipiste on tuolloin, joten tämä on meidän I _CM soveltaa Steinerin lauseen.

Jos palkin pituus on L, z-akseli on etäisyydellä D = L / 2, siis:

Viitteet

1. Bauer, W. 2011. Fysiikka tekniikan ja tieteiden aloille. Nide 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fysiikan perusteet. Pearson. 190-200.
3. Rinnakkaisakselin lause. Palautettu: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fysiikka tiedettä ja tekniikkaa varten. Nide 1. Cengage.
5. Sevillan yliopisto. Pallomaiset kiinteät aineet, hitausmomentti. Palautettu osoitteesta: laplace.us.es.
6. Sevillan yliopisto. Hiukkasjärjestelmän hitausmomentti. Palautettu osoitteesta: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Rinnakkaisakselin lause. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org