EULER-NUMERO TAI E-NUMERO: KUINKA PALJON SE ON ARVOINEN, OMINAISUUDET, SOVELLUKSET - MATEMATIIKKA

Euler numero tai numero e on tunnettu matemaattinen vakio, joka näkyy usein lukuisissa tieteellisissä ja taloudellisia sovelluksia, sekä kuinka monessa π ja muut tärkeät numerot matematiikan.

Tieteellinen laskin palauttaa seuraavan arvon luvulle e:

Kuva 1. Eulerin luku esiintyy usein Science-lehdessä. Lähde: F. Zapata.

e = 2,718281828…

Mutta monia muita desimaalikoneita tunnetaan, esimerkiksi:

e = 2.71828182845904523536…

Ja nykyaikaiset tietokoneet ovat löytäneet biljoonia desimaalilukuja luvulle e.

Se on irrationaalinen luku, mikä tarkoittaa, että siinä on ääretön määrä desimaalilukuja ilman toistuvaa mallia (sekvenssi 1828 ilmestyy kahdesti alussa eikä sitä enää toisteta).

Ja se tarkoittaa myös, että lukua e ei voida saada kahden kokonaisluvun osamääränä.

Historia

Lukumäärä e tunnistettiin tutkijan Jacques Bernoullin vuonna 1683 tutkiessa yhdistelmäkorkojen ongelmaa, mutta aiemmin se oli esiintynyt epäsuorasti skotlantilaisen matemaatikon John Napierin teoksissa, joka keksi logaritmeja noin 1618.

Kuitenkin, se oli Leonhard Euler vuonna 1727, joka antoi sille nimen e ja tutkittiin intensiivisesti sen ominaisuuksia. Siksi se tunnetaan myös nimellä Euler-luku ja myös luonnollisena pohjana tällä hetkellä käytetyille luonnollisille logaritmille (eksponentti).

Kuinka paljon numero e on arvoinen?

Luku e on arvoinen:

e = 2.71828182845904523536…

Ellipsis tarkoittaa, että siellä on ääretön määrä desimaalia ja tosiasiassa nykypäivän tietokoneissa miljoonia niistä tunnetaan.

Esityksen numero e

Alla on kuvattu useita tapoja e: n määrittelemiseen:

Luku e rajana

Yksi lukujen e ilmaisutavoista on yksi, jonka tutkija Bernoulli löysi yhdistettyjä korkoja koskevissa töissään:

Missä arvo n on tehtävä erittäin suureksi numeroksi.

Laskurin avulla on helppo tarkistaa, että kun n on erittäin suuri, edellinen lauseke pyrkii edellä annettuun e-arvoon.

Tietenkin voimme kysyä itseltämme, kuinka suuri n voidaan tehdä, joten kokeillaan esimerkiksi pyöreitä numeroita:

n = 1000; 10 000 tai 100 000

Ensimmäisessä tapauksessa saamme e = 2,7169239…. Toisessa e = 2,7181459… ja kolmannessa se on paljon lähempänä arvoa e: 2.7182682. Voimme jo kuvitella, että jos n = 1 000 000 tai suurempi, likiarvo on vielä parempi.

Matemaattisessa kielessä menettelyä, jolla n saadaan lähemmäksi ja lähemmäksi erittäin suurta arvoa, kutsutaan rajaksi äärettömyyteen ja sitä merkitään seuraavasti:

Äärettömyyden merkitsemiseksi käytetään symbolia "∞".

Luku e summana

Numero e on myös mahdollista määrittää tällä toiminnolla:

Nimittäjässä olevat luvut: 1, 2, 6, 24, 120… vastaavat operaatiota n!, Missä:

Ja määritelmän mukaan 0! = 1.

On helppo tarkistaa, että mitä enemmän lisäyksiä lisätään, sitä tarkemmin luku e saavutetaan.

Tehdään joitain testejä laskurilla lisäämällä lisää ja enemmän lisäyksiä:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Mitä enemmän termejä lisätään summaan, sitä enemmän tulos muistuttaa e.

Matemaatikot ovat suunnitelleet kompakteja merkintöjä näistä summista, joihin sisältyy useita termejä, käyttämällä summaussymbolia Σ:

Tämä lauseke luetaan kuten "summa n = 0: sta 1: n äärettömyyteen n tekijän välillä".

Luku e geometrisestä näkökulmasta

Luvulla e on graafinen esitys, joka liittyy käyrän kuvaajan alla olevaan alueeseen:

y = 1 / x

Kun arvot x ovat välillä 1 ja e, tämä alue on yhtä kuin 1, kuten seuraavassa kuvassa esitetään:

Kuva 2. Graafinen esitys numerosta e: 1 / x-käyrän alla oleva pinta x = 1 ja x = e on arvoinen 1. Lähde: F. Zapata.

Numeron ominaisuudet e

Jotkut luvun e ominaisuuksista ovat:

- Se on irrationaalista, toisin sanoen sitä ei voida saavuttaa yksinkertaisesti jakamalla kaksi kokonaista numeroa.

-Luku e on myös transsendentti luku, mikä tarkoittaa, että e ei ole ratkaisu mihinkään polynomiyhtälöön.

-Se liittyy neljään muihin matematiikan alan kuuluviin lukuihin, nimittäin: π, i, 1 ja 0 Euler-identiteetin kautta:

- Ns. Kompleksiluvut voidaan ilmaista e.

- Se muodostaa nykyisen ajan luonnollisten tai luonnollisten logaritmien perustan (John Napierin alkuperäinen määritelmä eroaa hieman).

-Se on ainoa luku, jonka luonnollinen logaritmi on yhtä kuin 1, toisin sanoen:

Sovellukset

tilasto

Luku e esiintyy hyvin usein todennäköisyyden ja tilastojen kentässä, esiintyen eri jakaumissa, kuten normaali tai Gaussin, Poissonin ja muut.

tekniikka

Suunnittelussa se on yleistä, koska eksponentiaalifunktio y = ^ex on läsnä esimerkiksi mekaniikassa ja sähkömagneettisuudessa. Monista sovelluksista voidaan mainita:

-Kaapeli tai -ketju, joka ripustaa päiden pitäessä, muodostaa käyrän muodon, jonka antaa:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

- Alun perin purkautuneella kondensaattorilla C, joka on kytketty sarjaan vastukseen R ja jännitelähteeseen V ladattavaksi, saadaan tietty varaus Q ajan t funktiona, jonka antaa:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

biologia

Eksponentiaalista funktiota y = Ae ^Bx, joissa A ja B ovat vakioita, käytetään solujen ja bakteerien kasvun mallintamiseen.

fyysinen

Ydinfysiikassa radioaktiivisen hajoamisen ja iän määritys mallinnetaan radiohiilellä.

talous

Yhdistettyjen korkojen laskennassa luku e syntyy luonnollisesti.

Oletetaan, että sinulla on tietty määrä rahaa P _o sijoittaaksesi korolla i% vuodessa.

Jos jätät rahaa vuodeksi, sen jälkeen sinulla on:

Uuden vuoden kuluttua koskematta siihen, sinulla on:

Ja jatkamalla tällä tavalla n vuotta:

Muistakaamme nyt yksi e: n määritelmistä:

Se näyttää vähän lausekkeelta P, joten suhteen on oltava.

Alamme jakaa nimelliskoron i n ajanjaksona, tällä tavoin yhdistetty korko on i / n:

Tämä lauseke näyttää vähän enemmän kuin rajamme, mutta se ei silti ole täysin sama.

Joidenkin algebrallisten manipulaatioiden jälkeen voidaan kuitenkin osoittaa, että tekemällä tämä muuttujan muuttuja:

Rahamme P tulee:

Ja mikä on ahdinten välillä, vaikka se olisi kirjoitettu h-kirjaimella, on yhtä suuri kuin raja-arvo, joka määrittelee luvun e, puuttuen vain rajasta.

Tehdään h → ∞, ja siitä, mikä on aaltosulkujen välillä, tulee numero e. Tämä ei tarkoita, että meidän on odotettava äärettömän kauan rahamme nostamiseksi.

Jos tarkastelemme tarkkaan tekemällä h = n / i ja taipumalla ∞, mitä olemme tehneet, on jaettu korko erittäin, hyvin pienille ajanjaksoille:

i = n / h

Tätä kutsutaan jatkuvaksi sekoittumiseksi. Tällöin rahasumma lasketaan helposti seuraavasti:

Missä i on vuotuinen korko. Esimerkiksi, kun talletat 12 € 9% vuodessa jatkuvan aktivoinnin avulla yhden vuoden kuluttua:

Voitto 1,13 €.

Viitteet

Nauti matematiikasta. Yhdistelmäkorko: Määräaikainen koostumus. Palautettu osoitteesta: enjoylasmatematicas.com.
Figuera, J. 2000. Matematiikka 1.. Hajautettu. CO-BO-lehdet.
García, M. Numero e peruslaskennassa. Palautettu: matematica.ciens.ucv.ve.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Larson, R. 2010. Muuttujan laskeminen. 9. päivänä. Painos. McGraw Hill.

EULER-NUMERO TAI E-NUMERO: KUINKA PALJON SE ON ARVOINEN, OMINAISUUDET, SOVELLUKSET - MATEMATIIKKA - 2026