KOMPLEKSILUVUT: OMINAISUUDET, ESIMERKIT, TOIMINNOT - MATEMATIIKKA - 2026

Kompleksilukujen ovat numeerinen sarja, joka kattaa reaalilukuja ja kaikki juuret polynomien lukien paria juuret negatiivisia lukuja. Näitä juuria ei ole todellisten lukujen joukossa, mutta monimutkaisissa numeroissa ratkaisu on olemassa.

Kompleksiluku koostuu todellisesta osasta ja "kuvitteellisesta" osasta. Oikeaa osaa kutsutaan esimerkiksi a: ksi ja kuvitteelliseksi osaksi ib, a- ja b-reaalilukuina ja "i" kuvitteellisena yksikkönä. Tällä tavalla kompleksiluku on muodossa:

Kuva 1.- Kompleksinumeron binominen esitys reaaliosana ja kuvitteellisena osana. Lähde: Pixabay.

Esimerkkejä kompleksimääristä ovat 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Mutta ennen kuin työskentelemme heidän kanssaan, katsotaan, mistä kuvitteellinen yksikkö i on peräisin, ottaen huomioon tämä asteen yhtälö:

x ² - 10x + 34 = 0

Missä a = 1, b = -10 ja c = 34.

Kun sovellamme ratkaisemiskaavaa ratkaisun määrittämiseen, löydämme seuraavan:

Kuinka määrittää arvo √-36? Ei ole todellista lukua, joka neliö tuottaa negatiivisen määrän. Sitten päätellään, että tällä yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja.

Voimme kuitenkin kirjoittaa tämän:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Jos määrittelemme tietyn arvon x siten, että:

x ² = -1

Niin:

x = ± √-1

Ja yllä olevalla yhtälöllä olisi ratkaisu. Siksi kuvitteellinen yksikkö määritettiin:

i = √-1

Ja niin:

√-36 = 6i

Monet antiikin matemaatikot työskentelivät samanlaisten ongelmien ratkaisemiseksi, etenkin renessanssin Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) ja Raffaele Bombelli (1526-1572).

Vuosia myöhemmin René Descartes (1596-1650) kutsui määriä ”kuvitteellisiksi”, kuten esimerkissä √-36. Tästä syystä √-1 tunnetaan kuvitteellisena yksikönä.

Kompleksien numeroiden ominaisuudet

- Monimutkaisten lukujen joukko on merkitty C: ksi ja sisältää reaaliluvut R ja kuvitteelliset numerot Im. Numerojoukot on esitetty Venn-kaaviossa seuraavan kuvan mukaisesti:

Kuva 2. Venn-kaavio numerojoukosta. Lähde: F. Zapata.

-Kaikki kompleksiluvut koostuvat reaaliosasta ja kuvitteellisesta osasta.

-Kun kompleksimäärän kuvitteellinen osa on 0, se on puhdas reaaliluku.

-Jos kompleksiluvun todellinen osa on 0, niin luku on puhdasta kuvitteellista.

-Kaksi kompleksilukua ovat yhtä suuret, jos niiden todellinen ja kuvitteellinen osa ovat samat.

- Monimutkaisilla numeroilla suoritetaan tunnetut summaamisen, vähentämisen, kertolaskun, tuloksen ja parannuksen operaatiot, mikä johtaa toiseen kompleksiseen numeroon.

Monimutkaisten numeroiden esitys

Kompleksiluvut voidaan esittää monin tavoin. Tässä ovat tärkeimmät:

- Binomimuoto

Se on alussa annettu muoto, jossa z on kompleksiluku, a on todellinen osa, b on kuvitteellinen osa ja i on kuvitteellinen yksikkö:

Tai myös:

Yksi tapa piirtää kompleksiluku on tässä kuviossa esitetyn kompleksitason kautta. Kuvitteellinen akseli Im on pystysuora, kun taas todellinen akseli on vaakasuora ja sitä merkitään Re: llä.

Kompleksiluku z esitetään tällä tasolla koordinaattien pisteinä (x, y) tai (a, b), kuten tehdään todellisen tason pisteiden kanssa.

Etäisyys alkuperästä pisteeseen z on kompleksiluvun moduuli, jota merkitään r: llä, kun taas φ on kulma, jonka r muodostaa todellisen akselin kanssa.

Kuva 3. Kompleksinumeron esitys kompleksitasolla. Lähde: Wikimedia Commons.

Tämä esitys liittyy läheisesti todellisen tason vektoreiden kuvaukseen. R-arvo vastaa kompleksiluvun moduulia.

- Polaarinen muoto

Polaarimuoto koostuu kompleksiluvun ilmaisemisesta antamalla arvot r ja φ. Jos tarkastelemme kuvaa, r: n arvo vastaa oikean kolmion hypoteenusta. Jalat ovat arvoa a ja b tai x ja y.

Binomin tai binomin muodosta voimme siirtyä polaarimuotoon:

Kulma φ on se, jonka segmentti r muodostaa vaaka-akselin tai kuvitteellisen akselin kanssa. Sitä kutsutaan kompleksilukuargumentiksi. Tällä tavoin:

Argumentilla on äärettömiä arvoja ottaen huomioon, että joka kerta käännyttäessä, jonka arvo on 2π radiaani, r on taas samassa paikassa. Tällä yleisellä tavalla z: n argumentti, jota merkitään Arg (z), ilmaistaan ​​seuraavasti:

Kun k on kokonaisluku ja sitä käytetään osoittamaan käännettyjen kierrosten lukumäärä: 2, 3, 4…. Kyltti osoittaa pyörimissuunnan, jos se on myötäpäivään tai vastapäivään.

Kuva 4. Kompleksiluvun polaariesitys kompleksitasossa. Lähde: Wikimedia Commons.

Ja jos haluamme siirtyä polaarimuodosta binomiaalimuotoon, käytämme trigonometrisiä suhteita. Edellisestä kuvasta voidaan nähdä, että:

x = r cos φ

y = r sin φ

Tällä tavalla z = r (cos φ + i sin φ)

Mikä lyhennetään näin:

z = r cis φ

Esimerkkejä monimutkaisista numeroista

Seuraavat kompleksiluvut annetaan binomimuodossa:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Ja nämä tilatun parin muodossa:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Lopuksi tämä ryhmä annetaan polaarisessa tai trigonometrisessä muodossa:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315 °

Mihin tarkoitukseen ne ovat?

Kompleksilukujen hyödyllisyys ylittää alussa esitetyn kvadraattisen yhtälön ratkaisemisen, koska ne ovat välttämättömiä tekniikan ja fysiikan aloilla, etenkin:

- Sähkömagneettisten aaltojen tutkimus

-Vaihtovirran ja jännitteen analyysi

- Kaikenlaisten signaalien mallintaminen

- Suhteellisuusteoria, jossa aika oletetaan kuvitteelliseksi suuruudeksi.

Monimutkaiset numerooperaatiot

Monimutkaisilla numeroilla pystymme suorittamaan kaikki toiminnot, jotka tehdään oikeilla. Joitakin on helpompi tehdä, jos numerot tulevat binomimuodossa, kuten summaus ja vähennys. Sen sijaan kertolasku ja jakaminen ovat yksinkertaisempia, jos ne suoritetaan polaarimuodossa.

Katsotaan esimerkkejä:

- Esimerkki 1

Lisää z ₁ = 2 + 5i ja z ₂ = -3 -8i

Ratkaisu

Oikeat osat lisätään erikseen kuvitteellisista osista:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Esimerkki 2

Kerrotaan z ₁ = 4 cis 45º ja z ₂ = 5 cis 120º

Ratkaisu

Voidaan osoittaa, että kahden polaarisen tai trigonometrisen muodon kompleksimäärän tulos saadaan:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

Tämän perusteella:

z ₁. z ₂ = (4 x 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

hakemus

Monimutkaisten lukujen yksinkertainen sovellus on löytää kaikki polynomiyhtälön juuret, kuten artikkelin alussa esitetty.

Yhtälön x ² - 10x + 34 = 0 tapauksessa käyttämällä ratkaisemiskaavaa saamme:

Siksi ratkaisut ovat:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Viitteet

1. Earl, R. Monimutkaiset numerot. Palautettu: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematiikka 1.. Hajautettu. CO-BO-lehdet.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematiikan aiheiden valinta. Monfort-julkaisut.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Monimutkaiset numerot. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org