KOKONAISLUKUT: OMINAISUUDET, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Kokonaisluvut ovat joukko hyödyllisiä numeroita laskea esineitä täydellinen päässeiden ja ei. Laskea myös ne, jotka ovat tietyllä referenssipaikalla toisella ja toisella.

Myös kokonaislukuilla voit suorittaa vähennyslaskun tai eron numeron ja sitä suuremman toisen välillä, tulos tullaan selvittämään esimerkiksi velaksi. Ansiot erotetaan toisistaan ​​+ ja - -merkeillä.

Kuva 1. Koko numeroiden numerorivi. Lähde: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Siksi kokonaislukujoukko sisältää seuraavat:

-Positiiviset kokonaisluvut, joita kirjoitetaan + -merkin edessä tai yksinkertaisesti ilman merkkiä, koska myös niiden ymmärretään olevan positiivisia. Esimerkiksi: +1, +2, + 3… ja niin edelleen.

-0, jossa merkillä ei ole merkitystä, koska ei ole merkitystä lisätä sitä vähentääksesi sitä tietystä määrästä. Mutta 0 on erittäin tärkeä, koska se on referenssi kokonaislukuille: toisella puolella ovat positiiviset ja toisella negatiiviset, kuten kuvassa 1 nähdään.

- Negatiiviset kokonaisluvut, jotka on aina kirjoitettavamerkin edessä, - koska niiden kanssa erotetaan erät, kuten velat ja kaikki ne, jotka ovat viitteen toisella puolella. Esimerkkejä negatiivisista kokonaisluvuista ovat: -1, -2, -3… ja sen jälkeen.

Kuinka kokonaislukuja esitetään?

Alussa edustamme kokonaislukuja asetetulla merkinnällä: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, eli luettelot ja järjestetty. Mutta erittäin hyödyllinen esitys on numerorivin käyttämä esitys. Tämä vaatii yleensä vaakasuoran viivan piirtämisen, jolle 0 on merkitty ja jaettu samoihin osiin:

Kuva 2. Kokonaislukujen esitys numerorivillä. Oikealta 0 ovat positiivisia kokonaislukuja ja 0 vasemmalle negatiivisia. Lähde: F. Zapata.

Negatiivit menevät vasemmalle nolla ja positiiviset menevät oikealle. Numerorivin nuolet osoittavat, että numerot jatkavat äärettömyyteen. Mikä tahansa kokonaisluku on aina mahdollista löytää suurempi tai toinen pienempi.

Kokonaisluku absoluuttinen arvo

Kokonaislukujen absoluuttinen arvo on luvun ja välinen etäisyys. Ja etäisyydet ovat aina positiivisia. Siksi negatiivisen kokonaisluvun absoluuttinen arvo on luku ilman sen miinusmerkkiä.

Esimerkiksi -5: n absoluuttinen arvo on 5. Absoluuttinen arvo merkitään viivoilla seuraavasti:

-5- = 5

Sen visualisoimiseksi lasketaan vain numerorivin välilyönnit välillä -5: stä 0: een. Positiivisen kokonaisluvun absoluuttinen arvo on esimerkiksi sama - + 3- = 3, koska sen etäisyys nollasta on 0 3 välilyöntiä:

Kuva 3. Kokonaisluvun absoluuttinen arvo on aina positiivinen määrä. Lähde: F. Zapata.

ominaisuudet

- Kokonaislukujoukko on merkitty Z: ksi, ja se sisältää luonnollisten lukujen joukon N, niiden alkioiden ollessa ääretön.

-Koko luku ja sitä seuraava (tai sitä edeltävä luku) erotetaan aina yhtenäisyydessä. Esimerkiksi, kun 5 tulee, tulee 6, jolloin 1 on ero niiden välillä.

- Jokaisella kokonaisluvulla on edeltäjä ja seuraaja.

- Jokainen positiivinen kokonaisluku on suurempi kuin 0.

-Negatiivinen kokonaisluku on aina alle 0 ja mikä tahansa positiivinen luku. Otetaan esimerkiksi luku -100, tämä on vähemmän kuin 2, 10 ja 50. Mutta se on myös alle -10, -20 ja -99 ja se on suurempi kuin -200.

-0: lla ei ole merkkejä, koska se ei ole negatiivinen eikä positiivinen.

- Kokonaislukuilla voit suorittaa samat toiminnot, jotka tehdään luonnollisilla numeroilla, nimittäin: yhteenlasku, vähennys, kertolasku, voimaannuttaminen ja enemmän.

- Tiettyä kokonaislukua x vastapäätä oleva kokonaisluku on –x ja kokonaisluvun summa sen vastakkaisella on 0:

x + (-x) = 0.

Operaatiot kokonaisluvuilla

- Summa

-Jos lisättävillä numeroilla on sama merkki, niiden absoluuttiset arvot lisätään ja tulos sijoitetaan merkillä, joka lisäyksillä on. Tässä muutama esimerkki:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Jos luvut ovat eri merkkiä, absoluuttiset arvot vähennetään (korkeimmasta pienimmästä) ja tulos asetetaan korkeimman absoluuttisen arvon numeron merkille seuraavasti:

a) (-8) + (21) = 21-8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Kokonaislukujen summan ominaisuudet

-Summa on kommutatiivinen, joten lisäysten järjestys ei muuta summaa. Olkoon a ja b kaksi kokonaislukua, on totta, että a + b = b + a

-0 on kokonaislukujen summan neutraali elementti: a + 0 = a

- Jokainen kokonaisluku, joka on lisätty vastakkaiseen arvoon, on 0. + a: n vastakkaisuus on –a, ja päinvastoin, –a: n vastakohta on + a. Siksi: (+ a) + (-a) = 0.

Kuva 2. Merkkien sääntö kokonaislukujen lisäämiseksi. Lähde: Wikimedia Commons.

- Vähennys

Kokonaislukujen vähentämiseksi on noudatettava tätä sääntöä: vähennys on yhtä suuri kuin numeron lisääminen sen vastakkaisella tavalla. Olkoon a ja b kaksi numeroa, sitten:

a - b = a + (-b)

Oletetaan esimerkiksi, että sinun on tehtävä seuraava toimenpide: (-3) - (+7), sitten:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Kertominen

Kokonaislukujen kertominen seuraa tiettyjä merkkejä koskevia sääntöjä:

-Kaksi numeroa, joissa on sama merkki, tuote on aina positiivinen.

-Kun kaksi numeroa, joilla on eri merkit, kerrotaan, tulos on aina negatiivinen.

-Tuotteen arvo on yhtä suuri kuin vastaavien absoluuttisten arvojen kertominen.

Välittömästi esimerkkejä, jotka selventävät edellä mainittua:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Kokonaislukukertoimien ominaisuudet

- Moninkertaistaminen on kommutatiivinen. Olkoon a ja b kaksi kokonaislukua, on totta, että: ab = ba, joka voidaan ilmaista myös:

- Kertomuksen neutraali elementti on 1. Olkoon a kokonaisluku, siis a.1 = 1

-Jokainen kokonaisluku kerrottuna 0 on yhtä suuri kuin 0: a.0 = 0

Jakeluomaisuus

Kertominen noudattaa jako-ominaisuutta lisäyksen suhteen. Jos a, b ja c ovat kokonaislukuja, niin:

a. (b + c) = ab + ac

Tässä on esimerkki tämän ominaisuuden soveltamisesta:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12-33 = 12 + (-33) = -21

Empowerment

-Jos kanta on positiivinen, operaation tulos on aina positiivinen.

-Kun pohja on negatiivinen, jos eksponentti on tasainen, tulos on positiivinen. ja jos eksponentti on pariton, tulos on negatiivinen.

- Jako

Jakamisessa sovelletaan samoja merkkisääntöjä kuin kertolaskuissa:

-Kun jaetaan kaksi kokonaismäärää samaa merkkiä, tulos on aina positiivinen.

-Kun kaksi kokonaislukua, joilla on erilaiset merkit, jaetaan, osamäärä on negatiivinen.

Esimerkiksi:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Tärkeää: jako ei ole kommutatiivinen, toisin sanoen a ÷ b ≠ b ÷ a ja kuten aina, jako 0: lla ei ole sallittua.

- Voimaantuminen

Olkoon kokonaisluku ja haluamme nostaa sen eksponenttiin n, niin meidän on kerrottava a itsenäisesti n kertaa, kuten alla on esitetty:

a ⁿ = aaaa….a

Harkitse myös seuraavaa ottaen huomioon, että n on luonnollinen luku:

-Jos a on negatiivinen ja n on tasainen, tulos on positiivinen.

-Kun a on negatiivinen ja n on pariton, se johtaa negatiiviseen lukuun.

-Jos a on positiivinen ja n on parillinen tai pariton, positiivinen kokonaisluku johtaa aina.

- Jokainen kokonaisluku, joka nostetaan arvoon 0, on yhtä suuri kuin 1: a ⁰ = 1

- Jokainen numero, joka on nostettu arvoon 1, on yhtä suuri kuin luku: a ¹ = a

Oletetaan esimerkiksi, että haluamme löytää (–3) ⁴, niin kerrotaan (-3) neljä kertaa itsestään, seuraavasti: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Toinen esimerkki, myös negatiivisella kokonaisluvulla, on:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Korkean tason voimien tuote

Oletetaan, että kaksi yhtä suureen perustaan ​​kuuluvaa voimaa on, jos kerromme ne, saamme toisen voiman samalla pohjalla, jonka eksponentti on annettujen eksponenttien summa:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Yhtä perusvoimaa käyttävä osamäärä

Kun jaetaan tasaisen kannan voimia, tuloksena on teho, jolla on sama kanta, jonka eksponentti on annettujen eksponenttien vähennys:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Tässä on kaksi esimerkkiä, jotka selventävät näitä seikkoja:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

esimerkit

Katsotaanpa yksinkertaisia ​​esimerkkejä näiden sääntöjen soveltamiseksi, muistaen, että positiivisten kokonaislukujen tapauksessa merkki voidaan luopua:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Muurahainen liikkuu kuvan 1 numeroviivaa pitkin. Pisteestä x = +3 lähtien se tekee seuraavat liikkeet:

-Siirtää 7 yksikköä oikealle

-Nyt palautat 5 yksikköä vasemmalle

-Kävele vielä 3 yksikköä vasemmalle.

-Hän palaa taaksepäin ja siirtää 4 yksikköä oikealle.

Missä muurahainen on kiertueen lopussa?

Ratkaisu

Kutsutaan siirtymiä D. Oikealla puolella heille annetaan positiivinen merkki ja vasemmalle negatiivinen merkki. Tällä tavalla ja alkaen arvosta x = +3 meillä on:

-Ensimmäinen D: x ₁ = +3 + 7 = +10

Second D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Kolmas D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Suunta D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Kun muurahainen lopettaa kävelynsä, se on asennossa x = +6. Eli se on 6 yksikköä 0: n oikealla puolella numeroviivalla.

- Harjoitus 2

Ratkaise seuraava toimenpide:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Ratkaisu

Tämä toimenpide sisältää ryhmittelymerkit, jotka ovat suluissa, hakasulkeissa ja hakasulkeissa. Ratkaisessasi sinun on ensin huolehdittava suluista, sitten kiinnikkeistä ja viimeisenä kiinnikkeistä. Toisin sanoen sinun on työskenneltävä sisältäpäin.

Tässä tehtävässä piste edustaa kertolaskua, mutta jos numeron ja sulujen tai muun symbolin välillä ei ole pistettä, se ymmärretään myös tuotteeksi.

Resoluution alapuolella askel askeleelta värit toimivat ohjeena seurata sulkujen pienentämisen tulosta, jotka ovat sisimpiä ryhmittelysymboleita:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1-4]} = {52}. {- 3} = -156

- Harjoitus 3

Ratkaise ensimmäisen asteen yhtälö:

12 + x = 30 + 3x

Ratkaisu

Termit on ryhmitelty tasa-arvon vasemmalle puolelle tuntemattomia ja oikealle numeerisia termejä:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Viitteet

1. Carena, M. 2019. Yliopistoa edeltävä matematiikan käsikirja. Litoralin kansallinen yliopisto.
2. Figuera, J. 2000. 7. luokan matematiikka. CO-BO-lehdet.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematiikan aiheiden valinta. Monfort-julkaisut.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Koko numerot. Palautettu: Cimanet.uoc.edu.