KUVALLISET NUMEROT: OMINAISUUDET, SOVELLUKSET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Kuvitteellinen numerot ovat ne, jotka ratkaista yhtälö, jossa tuntematon, nostettu neliö on yhtä suuri kuin negatiivinen reaaliluku. Kuvitteellinen yksikkö on i = √ (-1).

Yhtälössä: z ² = - a, z on kuvitteellinen luku, joka ilmaistaan ​​seuraavasti:

z = √ (-a) = i√ (a)

Olla positiivinen reaaliluku. Jos a = 1, niin z = i, missä i on kuvitteellinen yksikkö.

Kuva 1. Monimutkainen taso, joka näyttää joitain reaalilukuja, joitain kuvitteellisia lukuja ja joitain komplekseja lukuja. Lähde: F. Zapata.

Yleensä puhdas kuvitteellinen luku z ilmaistaan ​​aina muodossa:

z = y⋅i

Missä y on reaaliluku ja i on kuvitteellinen yksikkö.

Aivan kuten reaaliluvut esitetään rivillä, jota kutsutaan todelliseksi viivaksi, samalla tavalla kuvitteelliset numerot esitetään kuvitteellisella rivillä.

Kuvitteellinen viiva on aina ortogonaalinen (90 asteen muoto) todelliseen viivaan nähden ja nämä kaksi viivaa määrittävät Cartesian-tason, jota kutsutaan kompleksitasoksi.

Kuviossa 1 esitetään monimutkainen taso ja siinä esitetään joitain reaalilukuja, joitain kuvitteellisia lukuja ja myös joitakin kompleksilukuja:

X ₁, X ₂, X ₃ ovat reaalilukuja

Y ₁, Y ₂, Y ₃ ovat kuvitteellisia numeroita

Z ₂ ja Z ₃ ovat kompleksilukuja

Luku O on todellinen nolla ja se on myös kuvitteellinen nolla, joten alkuperä O on kompleksinen nolla, joka ilmaistaan:

0 + 0i

ominaisuudet

Kuvitteellisten numeroiden joukko on merkitty:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., Minä,…., 2i,…., 3i, ……}

Ja voit määritellä joitain toimintoja tästä numeerisesta joukosta. Näistä toiminnoista ei aina saada kuvitteellista lukua, joten tarkastellaan niitä hiukan yksityiskohtaisemmin:

Lisää ja vähennä kuvitteellinen

Kuvitteelliset numerot voidaan lisätä ja vähentää toisistaan, jolloin saadaan uusi kuvitteellinen luku. Esimerkiksi:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Kuvitteellisen tuotteen tuote

Kun yhden kuvitteellisen numeron tuote tuotetaan toisen kanssa, tulos on reaaliluku. Suoritetaan seuraava toimenpide sen tarkistamiseksi:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Ja kuten voimme nähdä, -6 on todellinen luku, vaikka se on saatu kertomalla kaksi puhdasta kuvitteellista numeroa.

Toisen kuvitteellisen todellisen luvun tulos

Jos reaaliluku kerrotaan i: llä, tulos on kuvitteellinen luku, joka vastaa 90 asteen kiertoa vastapäivään.

Ja se on, että olen ² vastaa kahden peräkkäisen kierrosta 90 astetta, mikä vastaa kertomalla -1, joka on, i ² = -1. Se näkyy seuraavassa kaaviossa:

Kuva 2. Kertolasku kuvitteellisella yksiköllä i vastaa 90 astetta vastapäivään. Lähde: wikimedia commons.

Esimerkiksi:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Kuvitteellisen voimaannuttaminen

Voit määritellä kuvitteellisen luvun tehostamisen kokonaislukuisiksi eksponentiksi:

i ¹ = i

i ² = IXI = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = IXI ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Yleensä meillä on, että i ⁿ = i ^ (n mod 4), missä mod on jäljellä oleva jako n: n ja 4: n välillä.

Negatiivinen kokonaislukuvahvistus voidaan myös tehdä:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Yleensä kuvitteellinen luku b⋅i, joka on nostettu voimaan n, on:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Joitakin esimerkkejä ovat seuraavat:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Oikean ja kuvitteellisen luvun summa

Kun lisäät todellisen luvun kuvitteellisella numerolla, tulos ei ole todellinen eikä kuvitteellinen, se on uuden tyyppinen numero, jota kutsutaan kompleksiluvuksi.

Jos esimerkiksi X = 3,5 ja Y = 3,75i, niin tulos on kompleksiluku:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Huomaa, että summattuna todellista ja kuvitteellista osaa ei voida ryhmitellä toisiinsa, joten kompleksiluvulla on aina todellinen ja kuvitteellinen osa.

Tämä toimenpide laajentaa reaalilukujoukon laajimpaan monimutkaisiin numeroihin.

Sovellukset

Ranskalaisten matemaatikko René Descartes (1596-1650) ehdotti kuvitteellisten numeroiden nimeä pilkkaamiseksi tai erimielisyyteen vuosisadan italialaisen matemaatikon Raffaelle Bombellin tekemästä ehdotuksesta.

Muut suuret matemaatikot, kuten Euler ja Leibniz, tukivat Descartesia tästä erimielisyydestä ja kutsuivat kuvitteellisia numeroita amfibianumeroiksi, jotka revittiin olemisen ja mitään välillä.

Kuvitteellisten numeroiden nimi pysyy nykyään, mutta niiden olemassaolo ja merkitys ovat erittäin todellisia ja tunnettavia, koska ne esiintyvät luonnollisesti monilla fysiikan aloilla, kuten:

- Suhteellisuusteoria.

- Sähkömagnetismissa.

-Kvanttimekaniikka.

Harjoitukset kuvitteellisilla numeroilla

- Harjoitus 1

Löydä seuraavan yhtälön ratkaisut:

z ² + 16 = 0

Ratkaisu

z ² = -16

Meillä on neliöjuuri molemmissa jäsenissä:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Toisin sanoen alkuperäisen yhtälön ratkaisut ovat:

z = + 4i oz = -4i.

- Harjoitus 2

Löydä tulos kuvitteellisen yksikön nostamisesta voimaan 5 vähennettynä kuvitteellisen yksikön vähentämällä voimalle -5.

Ratkaisu

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Harjoitus 3

Löydä seuraavan toimenpiteen tulos:

(3i) ³ + 9i

Ratkaisu

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Harjoitus 4

Löydä ratkaisut seuraavasta kvadraattisesta yhtälöstä:

(-2x) ² + 2 = 0

Ratkaisu

Yhtälö järjestetään uudelleen seuraavasti:

(-2x) ² = -2

Sitten otetaan molempien jäsenten neliöjuuri

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Sitten ratkaisemme x: lle saadaksesi lopulta:

x = ± √2 / 2 i

Toisin sanoen on olemassa kaksi mahdollista ratkaisua:

x = (√2 / 2) i

Tai tämä:

x = - (√2 / 2) i

- Harjoitus 5

Etsi Z: n arvo, jonka määrittelee:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Ratkaisu

Tiedämme, että negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri on kuvitteellinen luku, esimerkiksi √ (-9) on yhtä suuri kuin √ (9) x √ (-1) = 3i.

Toisaalta √ (-4) on yhtä suuri kuin √ (4) x √ (-1) = 2i.

Joten alkuperäinen yhtälö voidaan korvata:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Harjoitus 6

Löydä Z: n arvo, joka saadaan seuraavasta kahden kompleksiluvun jakautumisesta:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Ratkaisu

Lausekkeen numerointilaite voidaan ottaa huomioon seuraavalla ominaisuudella:

Niin:

Z = / (3 + i)

Tuloksena olevaa lauseketta yksinkertaistetaan alla, jättäen

Z = (3 - i)

Viitteet

1. Earl, R. Monimutkaiset numerot. Palautettu: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematiikka 1.. Hajautettu. CO-BO-lehdet.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematiikan aiheiden valinta. Monfort-julkaisut.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Kuvitteellinen numero. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org