IRRATIONAALISET NUMEROT: HISTORIA, OMINAISUUDET, LUOKITTELU, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Irrationaaliluvut ovat ne, joiden ekspressio on ääretön desimaalia ilman toistuva kuvio, minkä vuoksi niitä ei voida saadaan päässä suhde minkä tahansa kahden kokonaisluvun.

Tunnetuimpia irrationaalisia lukuja ovat:

Kuva 1. Ylhäältä alaspäin seuraavat irrationaaliset numerot: pi, Eulerin luku, kultainen suhde ja kaksi neliöjuuria. Lähde: Pixabay.

Niistä epäilemättä π (pi) on tunnetuin, mutta niitä on paljon enemmän. Kaikki ne kuuluvat reaalilukujoukkoon, joka on numeerinen joukko, joka ryhmittelee rationaaliset ja irrationaaliset numerot.

Kuvan 1 ellipsit osoittavat, että desimaalit jatkuvat toistaiseksi, tapahtuu kuitenkin, että tavallisten laskurien tila sallii vain muutaman näytön.

Jos tarkastelemme tarkkaan, kun teemme osamäärän kahden kokonaisluvun välillä, saamme desimaalin rajoitetuilla lukuilla tai jos ei, äärettömillä lukuilla, joissa yksi tai useampi toistuu. No, niin ei tapahdu irrationaalisten numeroiden kanssa.

Irrationaalisten lukujen historia

Suuri muinainen matemaatikko Pythagoras, syntynyt vuonna 582 eKr. Samosissa, Kreikassa, perusti Pythagoran ajatuskoulun ja löysi kuuluisan lauseen, joka kantaa hänen nimeään. Meillä on se täällä vasemmalla (babylonialaiset tiesivät sen jo kauan ennen).

Kuva 2. Pythagoran lause, jota sovellettiin kolmioon, jonka sivut ovat yhtä suuret. Lähde: Pixabay / Wikimedia Commons.

No, kun Pythagoras (tai luultavasti hänen opetuslapsensa) sovelsi lausetta oikeaan kolmioon, jonka sivut olivat yhtä kuin 1, hän löysi irrationaalisen luvun √2.

Hän teki sen tällä tavalla:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Ja hän huomasi heti, että tämä uusi luku ei tullut kahden muun tuolloin tunnetun luonnollisen luvun välisestä suhteesta.

Siksi hän kutsui sitä irrationaaliseksi, ja löytö aiheutti suurta ahdistusta ja hämmennystä Pythagoralaisten keskuudessa.

Irrationaalisten lukujen ominaisuudet

-The asettanut kaikki irrationaaliluvut merkitään kirjaimella I ja joskus Q * tai Q ^C. Irrationaalisten lukujen I tai Q * ja rationaalisten lukujen Q välinen liitto johtaa reaalilukujen joukkoon R.

- Irrationaalisin numeroin voidaan suorittaa tunnetut aritmeettiset operaatiot: summaaminen, vähentäminen, kertolasku, jakaminen, voimaannuttaminen ja enemmän.

- Jakoa 0: lla ei myöskään ole määritelty irrationaalisten lukujen välillä.

- Summa ja irrationaalisten lukujen välinen tulos ei ole välttämättä toinen irrationaalinen luku. Esimerkiksi:

√2 x √8 = √16 = 4

Ja 4 ei ole irrationaalinen luku.

-Jos rationaalisen luvun ja irrationaalisen luvun summa antaa kuitenkin irrationaalisen tuloksen. Tällä tavoin:

1 + √2 = 2.41421356237…

-Ratsionaalisen luvun, joka eroaa nollasta nolla-luvulla, tuotto on myös irrationaalinen. Katsotaanpa tätä esimerkkiä:

2 x √2 = 2,828427125…

-Irationaalisen käänteinen johtaa toiseen irrationaaliseen lukuun. Kokeillaan joitain:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Nämä numerot ovat mielenkiintoisia, koska ne ovat myös tunnettujen kulmien joidenkin trigonometristen suhteiden arvoja. Suurin osa trigonometrisistä suhteista on irrationaalisia lukuja, mutta on myös poikkeuksia, kuten sin 30º = 0,5 = ½, mikä on rationaalista.

-Summassa kommutatiiviset ja assosiatiiviset ominaisuudet täyttyvät. Jos a ja b ovat kaksi irrationaalista lukua, tämä tarkoittaa, että:

a + b = b + a.

Ja jos c on toinen irrationaalinen luku, niin:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Korotuksen jakautuva ominaisuus lisäyksen suhteen on toinen tunnettu ominaisuus, joka pätee myös irrationaalisiin lukuihin. Tässä tapauksessa:

a. (b + c) = ab + ac

- Irrationaalisella a on päinvastainen: -a. Kun ne lisätään yhteen, tulos on 0:

a + (- a) = 0

-Kahden eri rationaalin välillä on ainakin yksi irrationaalinen luku.

Irrationaalisen numeron sijainti todellisella linjalla

Oikea viiva on vaakaviiva, jossa todelliset numerot sijaitsevat, joista irrationaaliset numerot ovat tärkeä osa.

Löytääksesi irrationaalisen luvun oikealta riviltä, ​​geometrisessa muodossa, voimme käyttää Pythagoran lauseen, viivaimen ja kompassin.

Esimerkiksi aiomme etsiä √5 oikealle viivalle, jolle piirrämme oikean kolmion sivuilla x = 2 ja y = 1 kuvan osoittamalla tavalla:

Kuva 3. Menetelmä irrationaalisen luvun löytämiseksi oikealle riville. Lähde: F. Zapata.

Pythagoran lauseen mukaan tällaisen kolmion hypoteenus on:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Nyt kompassi sijoitetaan pisteellä 0, jossa on myös yhden oikean kolmion kärkistä. Kompassikynän pisteen tulisi olla kärjessä A.

Piirretään kehäkaari, joka leikkaa todelliseen viivaan. Koska kehän keskipisteen ja sen minkä tahansa pisteen välinen etäisyys on säde, joka on yhtä suuri kuin √5, leikkauspiste on myös kaukana √5 keskustasta.

Kaaviosta voidaan nähdä, että √5 on välillä 2 - 2,5. Laskin antaa meille likimääräisen arvon seuraavista:

√5 = 2.236068

Ja niin, rakentamalla kolmio, jolla on sopivat sivut, voidaan löytää muita irrationaalisia, kuten √7 ja muut.

Irrationaalisten lukujen luokittelu

Irrationaaliset numerot luokitellaan kahteen ryhmään:

-Algebraic

-Transcendental tai transsendenttinen

Algebralliset numerot

Algebralliset numerot, jotka saattavat olla irrationaalisia tai eivät, ovat polynomiyhtälöiden ratkaisuja, joiden yleinen muoto on:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Esimerkki polynomiyhtälöstä on neliöllinen yhtälö:

x ³ - 2x = 0

On helppo osoittaa, että irrationaalinen luku √2 on yksi tämän yhtälön ratkaisuista.

Transsendenttiset numerot

Toisaalta, transssendentit luvut, vaikka ne ovat irrationaalisia, eivät koskaan nouse ratkaisuksi polynomiyhtälöön.

Sovellettavassa matematiikassa yleisimmin havaitut transsendentit luvut ovat π johtuen sen suhteesta kehään ja lukuun e tai Eulerin lukuun, joka on luonnollisten logaritmien perusta.

Harjoittele

Harmaa neliö on sijoitettu mustalle neliölle kuvan osoittamaan sijaintiin. Musta neliön pinta-ala tiedetään olevan 64 cm ². Kuinka paljon kummankin neliön pituudet ovat?

Kuva 4. Kaksi neliötä, joista haluamme löytää sivujen pituuden. Lähde: F. Zapata.

Vastaa

Sellaisen neliön pinta-ala on:

A = L ²

Koska mustan neliön pinta-ala on 64 cm ², sen sivun on oltava 8 cm.

Tämä mittaus on sama kuin harmaan neliön diagonaali. Sovellettaessa Pythagoran lauseen tälle diagonaalille ja muistettaessa, että neliön sivut ovat samat, meillä on:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Missä L _g on harmaan neliön sivu.

Siksi: 2L _g ² = 8 ²

Neliöjuuren käyttäminen tasa-arvon molemmille puolille:

L _g = (8 / √2) cm

Viitteet

1. Carena, M. 2019. Yliopistoa edeltävä matematiikan käsikirja. Litoralin kansallinen yliopisto.
2. Figuera, J. 2000. Matematiikka 9.. Asteen. CO-BO-lehdet.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Koulutusportaali. Irrationaaliset numerot ja niiden ominaisuudet. Palautettu osoitteesta: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Irrationaaliset numerot. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.