ALKULUVUT: OMINAISUUDET, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Alkulukuja, jota kutsutaan myös prime absoluuttinen, ovat ne luonnollisia lukuja, jotka ovat vain jaollinen itsensä ja 1. Tähän ryhmään numeroita, kuten 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja monet plus.

Sen sijaan yhdistelmäluku on jaollinen itsestään, yhdellä ja ainakin yhdellä muulla numerolla. Meillä on esimerkiksi 12, joka on jaettavissa 1, 2, 4, 6 ja 12. Tavanomaisesti 1 ei sisälly alkulukujen tai yhdisteiden luetteloon.

Kuva 1. Jotkut alkuluvut. Lähde: Wikimedia Commons.

Tunnuslukujen tiedot ovat peräisin muinaisista ajoista; muinaiset egyptiläiset käyttivät niitä jo ja heidät tiedettiin varmasti jo kauan sitten.

Nämä luvut ovat erittäin tärkeitä, koska mitä tahansa luonnollista lukua voidaan edustaa alkulukujen tuloksena, tämä esitys on ainutlaatuinen paitsi tekijöiden järjestyksessä.

Tämä tosiasia on täysin osoitettu lauseessa, jota kutsutaan aritmeettisen peruslauseeksi, jossa todetaan, että luvut, jotka eivät ole alkulukuja, koostuvat välttämättä numeroiden tuloksista, jotka ovat.

Alkulukujen ominaisuudet

Tässä ovat alkulukujen pääominaisuudet:

-Neitä on ääretön, koska riippumatta siitä, kuinka suuri alkuluku on, voit aina löytää suuremman.

-Jos alkuluku p ei jaa tarkalleen toista lukua a, niin sanotaan, että p ja a ovat alukkeet toisilleen. Kun tämä tapahtuu, molemmilla on ainoa yhteinen jakaja, joka on 1.

Ei ole välttämätöntä, että a on ehdoton alkuluku. Esimerkiksi 5 on alkuluku, ja vaikka 12 ei ole, molemmat numerot ovat alkupisteitä toisilleen, koska molemmilla on 1 yhteinen jakaja.

-Kun alkuluku p jakaa luvun n voiman, se jakaa myös n. Tarkastellaan 100, joka on voima 10, erityisesti 10 ². Tapahtuu, että 2 jakaa sekä 100 että 10.

-Kaikki alkuluvut ovat parittomia paitsi 2, siksi sen viimeinen numero on 1, 3, 7 tai 9. 5 ei sisälly, koska vaikka se on pariton ja alkuluku, se ei ole koskaan toisen alkuluvun lopullinen luku. Itse asiassa kaikki luvut, jotka päättyvät viiteen, ovat tämän kerrannaisia, joten ne eivät ole alkulukuja.

-Jos p on kahden luvun ab tulon alkulähde ja jakaja, p jakaa yhden niistä. Esimerkiksi alkuluku 3 jakaa tulon 9 x 11 = 99, koska 3 on jakaja 9.

Kuinka tietää, onko numero alkuluku

Ensisijaisuus on ensisijaisuudelle annettu nimi. No, ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat (1601-1665) löysi tavan tarkistaa luvun alkukanta ns. Pienessä Fermat-lauseessa, joka kuuluu seuraavasti:

"Kun alkuluku on p ja mahdollinen luonnollinen luku on suurempi kuin 0, on totta, että ^p - a on p: n monikerta, kunhan p on alke".

Voimme vahvistaa tämän käyttämällä pieniä lukuja, esimerkiksi oletetaan, että p = 4, joka jo tiedämme, ei ole alkuluku ja jo = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Lukua 1290 ei voida jakaa tarkalleen neljällä, joten 4 ei ole alkuluku.

Tehdään testi nyt p = 5: llä, joka on prime ja ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766-6 = 7760

7760 on jaollinen viidellä, koska mikä tahansa luku, joka päättyy numeroon 0 tai 5, on. Itse asiassa 7760/5 = 1554. Koska Fermatin pieni lause pitää paikkansa, voimme varmistaa, että 5 on alkuluku.

Lauseen kautta tapahtuva todistaminen on tehokasta ja suoraa pienillä numeroilla, joissa operaatio on helppo suorittaa, mutta mitä tehdä, jos meitä pyydetään selvittämään suuren luvun primaalisuus?

Tässä tapauksessa lukumäärä jaetaan peräkkäin kaikkien pienempien alkulukujen kesken, kunnes tarkka jako löytyy tai osamäärä on pienempi kuin jakaja.

Jos jokin jako on tarkka, se tarkoittaa, että luku on yhdistelmä ja jos osamäärä on pienempi kuin jakaja, se tarkoittaa, että luku on alkuluku. Käytämme sitä käytännössä ratkaisussa harjoituksessa 2.

Tavat löytää alkuluku

Alkulukuja on äärettömiä, eikä niiden määrittämiseen ole yhtä ainoaa kaavaa. Tarkasteltaessa joitain alkulukuja, kuten nämä:

3, 7, 31, 127…

On havaittu, että ne ovat muodossa 2 ⁿ - 1, n = 2, 3, 5, 7, 9… Varmistamme tämän:

2 ² - 1 = 4-1 = 3; 2 ³ - 1 = 8-1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32-1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128-1 = 127

Mutta emme voi varmistaa, että yleensä 2 ⁿ - 1 on ensisijainen, koska on joitain n-arvoja, joille se ei toimi, esimerkiksi 4:

2 ⁴ - 1 = 16-1 = 15

Ja luku 15 ei ole alkuluku, koska se päättyy viiteen. Kuitenkin yksi suurimmista tunnetuista alkioista, jotka on löydetty tietokonelaskelmilla, on muodossa 2 ⁿ - 1 seuraavilla:

n = 57 885 161

Mersennen kaava vakuuttaa meille, että 2 ^p - 1 on aina prime, kunhan p on myös prime. Esimerkiksi 31 on prime, joten on varmaa, että 2 ³¹ - 1 on myös prime:

2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647

Kaavan avulla voit kuitenkin määrittää vain joitain alkulukuja, ei kaikkia.

Eulerin kaava

Seuraava polynomi mahdollistaa alkulukujen löytämisen edellyttäen, että n on välillä 0 - 39:

P (n) = n ² + n + 41

Myöhemmin ratkaistujen harjoitusten osassa on esimerkki sen käytöstä.

Eratosthenesin seula

Eratosthenes oli fyysikko ja matemaatikko antiikin Kreikasta, joka asui III vuosisadalla eKr. Hän kehitti graafisen menetelmän löytääkseen alkuluvut, jotka voimme toteuttaa käytännössä pienillä lukuilla, sitä kutsutaan Eratosthenes-seulaksi (seula on kuin seula).

-Numerot sijoitetaan taulukkoon kuten animaatiossa.

-Parilliset luvut poistetaan sitten, paitsi 2, jonka tiedämme olevan ensisijainen. Kaikki muut ovat tämän kerrannaisia, eivätkä siksi ole prime.

- Myös 3: n, 5: n, 7: n ja 11: n kerrannaiset on merkitty, lukuun ottamatta niitä kaikkia, koska tiedämme, että ne ovat ensisijaisia.

- 4, 6, 8, 9 ja 10: n kerrannaiset on jo merkitty, koska ne ovat yhdistelmiä ja siksi joidenkin ilmoitettujen alkulukujen kerrannaisia.

-Vihdoin numerot, jotka jäävät merkitsemättä, ovat ensisijaisia.

Kuva 2. Eratosthenes-seulan animaatio. Lähde: Wikimedia Commons.

Harjoitukset

- Harjoitus 1

Käytä Euler-polynomia alkulukuihin, etsi 3 numeroa, jotka ovat suurempia kuin 100.

Ratkaisu

Tämä on polynomi, jonka Euler ehdotti löytää alkuluvut, joka toimii arvoille n välillä 0 - 39.

P (n) = n ² + n + 41

Kokeilun ja virheen perusteella valitsemme arvon n, esimerkiksi n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Koska n = 8 tuottaa alkuluvun, joka on suurempi kuin 100, arvioimme sitten polynomin arvoille n = 9 ja n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Harjoitus 2

Selvitä, ovatko seuraavat numerot alkulukuja:

a) 13

b) 191

Ratkaisu

Tämä 13 on tarpeeksi pieni käyttämään Fermatin pientä lausetta ja laskimen apua.

Käytämme a = 2, jotta numerot eivät ole liian suuria, vaikkakin a = 3, 4 tai 5 voidaan käyttää:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 on jaollinen 2: lla, koska se on tasainen, joten 13 on alkuluku. Lukija voi vahvistaa tämän tekemällä saman testin a = 3: lla.

Ratkaisu b

191 on liian iso todistaakseen lauseen ja yhteisen laskimen avulla, mutta voimme löytää jaon kunkin alkuluvun välillä. Jätämme jakamatta 2: lla, koska 191 ei ole tasainen eikä jako ole tarkka tai jako on pienempi kuin 2.

Yritämme jakaa kolmella:

191/3 = 63 666…

Ja se ei anna tarkkaa, eikä osamäärä ole pienempi kuin jakaja (63 666… on suurempi kuin 3)

Yritämme siten jakaa 191 ensimmäisen jakson 5, 7, 11, 13 välillä. Tarkkaa jakoa ei saavuteta eikä jako-osaa pienempi jako. Kunnes se jaetaan 17: llä:

191/17 = 11, 2352…

Koska se ei ole tarkka ja 11,2352… on alle 17, luku 191 on alkuluku.

Viitteet

1. Baldor, A. 1986. Aritmeettinen. Painos ja jakelu Codex.
2. Prieto, C. Alkuluvut. Palautettu: paginas.matem.unam.mx.
3. Alkulukujen ominaisuudet. Palautettu: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Ensisijaiset numerot: kuinka löytää ne Eratosthenes-seulalla. Palautettu: smartick.es.
5. Wikipedia. Alkuluku. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.