OIKEAT LUVUT: HISTORIA, ESIMERKIT, OMINAISUUDET, TOIMINNOT - MATEMATIIKKA - 2026

Todellinen määrä muodostavat numeerisen sarjan, joka sisältää luonnolliset luvut, kokonaislukujen, järkevä ja irrationaalinen. Ne on merkitty symbolilla ℝ tai yksinkertaisesti R: llä ja niiden laajuus tieteessä, tekniikassa ja taloustieteessä on sellainen, että puhuttaessa numerosta on itsestään selvää, että se on todellinen luku.

Oikeita lukuja on käytetty muinaisista ajoista lähtien, vaikka niille ei annettu tätä nimeä. Siitä hetkestä lähtien, kun Pythagoras kehitti kuuluisan lauseensa, syntyi numeroita, joita ei voitu saada luonnollisten lukujen tai kokonaislukujen osina.

Kuva 1. Venn-kaavio, joka näyttää kuinka reaalilukujoukko sisältää muut numerojoukot. Lähde> Wikimedia Commons.

Esimerkkejä numeroista ovat √2, √3 ja π. Näitä lukuja kutsutaan irrationaaliksi toisin kuin rationaalisia lukuja, jotka tulevat kokonaislukumääristä. Siksi oli välttämätöntä numeerinen joukko, joka kattaa molemmat numeroluokat.

Termin "todellinen luku" loi suuri matemaatikko René Descartes (1596-1650) erottaakseen kahden tyyppiset juuret, joita voi syntyä polynomiyhtälön ratkaisemisesta.

Jotkut näistä juurista voivat olla jopa negatiivisten lukujen juuria, Descartes kutsui näitä "kuvitteellisiksi numeroiksi" ja ne, joita ei ollut, olivat todellisia lukuja.

Nimellisarvo pysyi ajan myötä, jolloin syntyi kaksi suurta numeerista joukkoa: reaaliluvut ja kompleksiluvut, suurempi joukko, joka sisältää reaaliluvut, kuvitteelliset numerot ja ne, jotka ovat osittain todellisia ja osittain kuvitteellisia.

Oikeusluvujen kehitys jatkoi kulkuaan, kunnes vuonna 1872 matemaatikko Richard Dedekind (1831-1936) määritteli virallisesti todellisten lukujen joukon ns. Dedekind-leikkausten avulla. Hänen työnsä yhteenveto julkaistiin artikkelissa, joka näki valon samana vuonna.

Esimerkkejä todellisista numeroista

Seuraavassa taulukossa on esimerkkejä todellisista lukuista. Tässä joukossa on osajoukot luonnolliset numerot, kokonaisluvut, rationaaliset ja irrationaaliset. Mikä tahansa määrä näistä sarjoista on sinänsä reaaliluku.

Siksi 0, negatiivit, positiivit, murto-osat ja desimaalit ovat todellisia lukuja.

Kuva 2. Esimerkkejä reaalilukuista ovat luonnollisia, kokonaislukuja, rationaalisia, irrationaalisia ja transsendenttejä. Lähde: F. Zapata.

Oikeiden lukujen esittäminen oikealla rivillä

Oikeat numerot voidaan esittää oikealla rivillä R kuvan osoittamalla tavalla. Ei ole välttämätöntä, että 0 on aina läsnä, mutta on kätevää tietää, että negatiiviset reaalit ovat vasemmalla ja positiiviset oikealla. Siksi se on erinomainen viitekohta.

Oikealla rivillä otetaan asteikko, jossa kokonaislukut löytyvät:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Nuoli osoittaa, että viiva ulottuu äärettömyyteen. Mutta se ei ole kaikki, millä tahansa tarkastellulla aikavälillä löydämme myös aina äärettömiä reaalilukuja.

Oikeat luvut esitetään järjestyksessä. Aluksi on olemassa kokonaislukujärjestys, jossa positiiviset ovat aina suurempia kuin 0, kun taas negatiiviset ovat vähemmän.

Tämä järjestys pidetään todellisten lukujen sisällä. Seuraavat epätasa-arvot esitetään esimerkkinä:

a) -1 / 2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Kuva 3. - Todellinen viiva. Lähde: Wikimedia Commons.

Oikeiden lukujen ominaisuudet

-Realiluvut sisältävät luonnolliset numerot, kokonaisluvut, rationaaliluvut ja irrationaaliset numerot.

-Lisäyksen kommutatiivinen ominaisuus täyttyy: lisäysten järjestys ei muuta summaa. Jos a ja b ovat kaksi todellista lukua, on aina totta, että:

a + b = b + a

-0 on summan neutraali elementti: a + 0 = a

-Summasta assosiaatioomaisuus on toteutunut. Jos a, b ja c ovat reaalilukuja: (a + b) + c = a + (b + c).

-Todellisen luvun vastakohta on -a.

-Lahennus määritellään vastakkaisuuden summana: a - b = a + (-b).

-Tuotteen kommutatiivinen ominaisuus täyttyy: tekijöiden järjestys ei muuta tuotetta: ab = ba

-Tuotteessa käytetään myös assosiatiivista ominaisuutta: (ab).c = a. (Bc)

-1 on kertolaskun neutraali elementti: a.1 = a

- Kertolaskun jakautuva ominaisuus on voimassa lisäyksen suhteen: a. (b + c) = ab + ac

-Jako 0: lla ei ole määritelty.

- Jokaisella todellisella numerolla a, paitsi 0, on kertova käänteinen ^-1 siten, että aa ^-1 = 1.

-Jos a on reaaliluku: a ⁰ = 1 ja a ¹ = a.

- Oikean luvun absoluuttinen arvo tai moduuli on mainitun luvun ja 0: n välinen etäisyys.

Operaatiot oikeilla numeroilla

Oikeiden lukujen avulla voit suorittaa operaatiot, jotka tehdään muille numerojoukkoille, mukaan lukien summaaminen, vähentäminen, kertoaminen, jakaminen, voimaannuttaminen, säteily, logaritmit ja paljon muuta.

Kuten aina, jakoa 0: lla ei ole määritelty, ei myöskään negatiivisten lukujen tai 0: n logaritmeja, vaikka on totta, että log 1 = 0 ja että lukujen 0: n ja 1: n logaritmit ovat negatiivisia.

Sovellukset

Oikeiden lukujen sovellukset kaikenlaisiin tilanteisiin ovat erittäin erilaisia. Oikeat luvut ilmestyvät vastauksina moniin tarkka-, tietotekniikan, tekniikan, taloustieteen ja yhteiskuntatieteiden ongelmiin.

Kaikenlaiset suuruudet ja määrät, kuten etäisyydet, ajat, voimat, äänen voimakkuus, raha ja monet muut, ilmaistaan ​​todellisina lukuina.

Puhelinsignaalien, videon kuvan ja äänen siirtoa, ilmastointilaitteen, lämmittimen tai jääkaapin lämpötilaa voidaan hallita digitaalisesti, mikä tarkoittaa fyysisten suureiden muuntamista numeerisiksi sekvensseiksi.

Sama tapahtuu pankkitapahtuman tekemisessä Internetin kautta tai pikaviestien käytön yhteydessä. Oikeat luvut ovat kaikkialla.

Harjoitus ratkaistu

Aiomme harjoituksilla nähdä, kuinka nämä numerot toimivat tavanomaisissa tilanteissa, joita kohtaamme päivittäin.

Harjoitus 1

Posti vastaanottaa vain sellaisia ​​paketteja, joiden pituus ja ympärysmitta eivät ylitä 108 tuumaa. Siksi, jotta näytetty paketti hyväksytään, on täytettävä, että:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Voiko 6 tuumaa leveä, 8 tuumaa korkea ja 5 jalkaa pitkä paketti sen läpi?

b) Entä sellainen, joka mittaa 2 x 2 x 4 jalkaa ³ ?

c) Mikä on korkein hyväksyttävä korkeus pakkaukselle, jonka pohja on neliö ja mitat 9 x 9 tuumaa ² ?

Vastaa

L = 5 jalkaa = 60 tuumaa

x = 6 tuumaa

y = 8 tuumaa

Ratkaistava toimenpide on:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) tuumaa = 60 + 2 x 14 tuumaa = 60 + 28 tuumaa = 88 tuumaa

Paketti hyväksytään.

Vastaus b

Tämän paketin mitat ovat pienemmät kuin paketin a), joten molemmat tekevät sen läpi.

Vastaus c

Tässä paketissa:

x = L = 9 tuumaa

On huomattava, että:

9 + 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2v ≤ 81

ja <40,5 tuumaa

Viitteet

1. Carena, M. 2019. Yliopistoa edeltävä matematiikan käsikirja. Litoralin kansallinen yliopisto.
2. Diego, A. Oikeat numerot ja niiden ominaisuudet. Palautettu: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematiikka 9.. Asteen. CO-BO-lehdet.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematiikka laskennalle. 5th. Painos. Cengagen oppiminen.