TRANSSENDENTTISET NUMEROT: MITÄ NE OVAT, KAAVAT, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Transsendenttiluku ovat ne, jotka eivät voi saatu tuloksena polynomiyhtälön. Transsendenttisen luvun vastakohta on algebrallinen luku, joka on tyyppiä olevan polynomiyhtälön ratkaisuja:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Kun kertoimet a _n, _n-1,….. a ₂, a ₁, a ₀ ovat rationaalisia lukuja, joita kutsutaan polynomin kertoimiksi. Jos luku x on ratkaisu edelliseen yhtälöön, niin luku ei ole transsendentti.

Kuva 1. Kaksi numeroa, joilla on suuri merkitys tieteessä, on transsendenttiset numerot. Lähde: publicdomainpictures.net.

Analysoimme muutamia lukuja ja katsomme, ovatko ne transsendenttejä vai eivät:

a) 3 ei ole transsendentti, koska se on ratkaisu x - 3 = 0.

b) -2 ei voi olla transsendentti, koska se on ratkaisu x + 2 = 0.

c) ⅓ on ratkaisu 3x - 1 = 0

d) Yhtälön x ² - 2x + 1 = 0 ratkaisu on √2 -1, joten tämä luku määritelmältään ei ole transsendentti.

e) Kumpikaan ei ole √2, koska se on yhtälön x ² - 2 = 0 tulos. Ruuduttamalla √2 saadaan 2, joka vähennetään 2: sta on nolla. Joten √2 on irrationaalinen luku, mutta se ei ole transsendentti.

Mitkä ovat ylittäviä lukuja?

Ongelmana on, että niiden saamiseksi ei ole yleistä sääntöä (sanomme tietä myöhemmin), mutta tunnetuimpia ovat numero pi ja Neper-luku, joita merkitään vastaavasti: π ja e.

Luku π

Luku π ilmenee luonnollisesti havaitsemalla, että ympyrän kehän P ja sen halkaisijan D välinen matemaattinen osamäärä antaa aina saman numeron, kutsutaan pi: ksi riippumatta siitä onko kyse pienestä vai suuresta ympyrästä:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Tämä tarkoittaa, että jos mittayksikkönä pidetään kehän halkaisijaa, kaikkien niiden suhteen, suuret tai pienet, kehä on aina P = 3,14… = π, kuten kuvan 2 animaatiosta voidaan nähdä.

Kuva 2. Ympyrän kehän pituus on pi kertaa halkaisijan pituus, pi on noin 3,1416.

Useampien desimaalien määrittämiseksi on tarpeen mitata P ja D tarkemmin ja laskea sitten jako, joka on tehty matemaattisesti. Johtopäätöksenä on, että kertoimen desimaalilla ei ole loppua ja ne eivät toistu koskaan, joten luku π on transsendenttisen lisäksi myös irrationaalinen.

Irrationaalinen luku on luku, jota ei voida ilmaista kahden kokonaisen numeron jakautumisena.

Tiedetään, että jokainen transsendentti luku on irrationaalinen, mutta ei ole totta, että kaikki irrationaaliset numerot ovat transsendentteja. Esimerkiksi √2 on irrationaalinen, mutta se ei ole transsendentti.

Kuva 3. Transsendenttiset luvut ovat irrationaalisia, mutta päinvastoin ei ole totta.

Luku e

Transsendentti luku e on luonnollisten logaritmien perusta ja sen desimaaliluvutus on:

ja ≈ 2 718281828459045235360….

Jos halusit kirjoittaa luvun e tarkalleen, olisi tarpeen kirjoittaa ääretön desimaali, koska jokainen transsendentti luku on irrationaalista, kuten aiemmin sanottiin.

E: n ensimmäiset kymmenen numeroa on helppo muistaa:

2,7 1828 1828, ja vaikka näyttää siltä, ​​että se noudattaa toistuvaa mallia, tätä ei saavuteta yli yhdeksän desimaalin tarkkuudella.

E-muodollisempi määritelmä on seuraava:

Tämä tarkoittaa, että e: n tarkka arvo saadaan suorittamalla tässä kaavassa ilmoitettu toimenpide, kun luonnollinen luku n taipuu äärettömyyteen.

Tämä selittää sen, miksi voimme saada vain e-arvioita, koska riippumatta siitä, kuinka suuri numero n on sijoitettu, suurempi n löytyy aina.

Tarkastellaan omia arvioita:

-Kun n = 100, sitten (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, joka tuskin vastaa ensimmäistä desimaalia e: n "todellisen" arvon kanssa.

-Jos valitset n = 10 000, sinulla on (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815, mikä vastaa e: n "tarkkaa" arvoa kolmen ensimmäisen desimaalin tarkkuudella.

Tätä prosessia olisi noudatettava äärettömästi e: n "todellisen" arvon saamiseksi. En usko, että meillä on aikaa tehdä se, mutta kokeillaan vielä yhtä:

Käytämme n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2 7182682372

Siinä on vain neljä desimaalia, jotka vastaavat tarkkaksi katsottua arvoa.

Tärkeä asia on ymmärtää, että mitä korkeampi n: n arvo valitaan laskettaessa e _n, sitä lähempänä se on todellista arvoa. Mutta sillä todellisella arvolla on vain, kun n on ääretön.

Kuva 4. Graafisesti esitetään, kuinka korkeampi n-arvo on, sitä lähempänä e: tä, mutta tarkan arvon n saavuttamiseksi on oltava ääretön.

Muut tärkeät numerot

Näiden kuuluisten numeroiden lisäksi on myös muita transsendentteja numeroita, esimerkiksi:

- 2 ^√2

- Champernownen luku pohjassa 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

- Champernownen luku kannessa 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Game-luku γ tai Euler-Mascheroni-vakio:

y ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Mikä saadaan tekemällä seuraava laskelma:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Sillä kun n on erittäin suuri. Gamma-numeron tarkan arvon saamiseksi olisi välttämätöntä, että laskelmat tehdään n-äärettömyydellä. Jotain samanlaista kuin mitä teimme yllä.

Ja on paljon enemmän transsendentteja lukuja. Suuri Venäjällä syntynyt matemaatikko Georg Cantor, joka asui vuosina 1845 - 1918, osoitti, että transsendenttien lukujen joukko on paljon suurempi kuin algebrallisten lukujen joukko.

Kaavat, joissa transsendenttinen luku π näkyy

Ympäristön kehä

P = π D = 2 π R, missä P on kehä, D halkaisija ja R kehän säde. On muistettava, että:

-Korkeuden halkaisija on pisin segmentti, joka yhdistää saman kaksi pistettä ja joka kulkee aina sen keskipisteen läpi,

-Säde on puoli halkaisijaa ja on segmentti, joka kulkee keskustasta reunaan.

Ympyrän alue

A = π R ² = ¼ π D ²

Pallon pinta

S = 4 πR2 .

Kyllä. Vaikka pallo ei ehkä näytä siltä, ​​pallon pinta on sama kuin neljän ympyrän, joiden säde on sama kuin pallon.

Pallon tilavuus

V = 4/3 π R ³

Harjoitukset

- Harjoitus 1

”EXÓTICA” -pizzeriassa on pizzat, joiden halkaisija on pieni: 30 cm, keskimäärin 37 cm ja suuret 45 cm. Poika on erittäin nälkäinen ja hän tajusi, että kaksi pientä pizzaa maksavat saman kuin yksi iso. Mikä on hänelle parempi, jos ostaa kaksi pientä pizzat tai yhden suuren pizzan?

Kuva 5.- Pizzan pinta-ala on verrannollinen säteen neliöön, pi on suhteellisuusvakio. Lähde: Pixabay.

Ratkaisu

Mitä suurempi pinta-ala, sitä suurempi pizzan määrä on, tästä syystä suuren pizzan pinta-ala lasketaan ja verrataan kahden pienen pizzan pinta-alaan:

Suuren pizzan pinta-ala = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Pienen pizzan pinta-ala = ¼ π d ² = ¼ ⋅3,1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Siksi kahden pienen pizzan pinta-ala on

2 x 706,86 = 1413,72 cm ².

On selvää: sinulla on enemmän pizzaa ostaa yhden suuren kuin kaksi pientä.

- Harjoitus 2

”EXÓTICA” -pizzeriassa myydään myös puolipallomainen pizza, jonka säde on 30 cm, samaan hintaan kuin suorakaiteen muotoinen, jonka koko on 30 x 40 cm. Kumman valitset?

Kuva 6. - Puolipallon pinta on kahdesti pohjan pyöreä pinta. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu

Kuten edellisessä osassa mainittiin, pallon pinta on neljä kertaa saman halkaisijan ympyrän pinta, joten halkaisijaltaan 30 cm: n pallonpuoliskolla on:

30 cm: n puolipallomainen pizza: 1413,72 cm ² (kahdesti saman halkaisijan ympyrä)

Suorakulmainen pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ².

Puolipallomaisella pizzalla on suurempi ala.

Viitteet

1. Fernández J. Luku e. Alkuperä ja uteliaisuudet. Palautettu osoitteesta: soymatematicas.com
2. Nauti matematiikasta. Eulerin numero. Palautettu osoitteesta: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematiikka 1.. Hajautettu. CO-BO-lehdet.
4. García, M. Numero e peruslaskennassa. Palautettu: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI-numero. Palautettu osoitteesta: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transsendenttiset numerot. Palautettu osoitteesta: wikipedia.com