NOLLAKULMA: MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Null kulma on sellainen, jonka toimenpide 0, sekä asteina ja radiaaneina tai toisen järjestelmän kulmamittausta. Siksi siitä puuttuu leveys tai aukko, kuten kahden rinnakkaisen viivan väliin muodostettu.

Vaikka sen määritelmä kuulostaa riittävän yksinkertaiselta, nollakulma on erittäin hyödyllinen monissa fysiikan ja tekniikan sovelluksissa, sekä navigoinnissa ja suunnittelussa.

Kuva 1. Auton nopeuden ja kiihtyvyyden välillä on nollakulma, joten auto menee nopeammin. Lähde: Wikimedia Commons.

On fyysisiä suureita, jotka on kohdistettava yhdensuuntaisesti tiettyjen vaikutusten saavuttamiseksi: jos auto liikkuu suorassa linjassa moottoritiellä ja nopeusvektorin v ja kiihtyvyysvektorin a välillä on 0º, auto liikkuu nopeammin, mutta jos auto jarruttaa, sen kiihtyvyys on vastakkainen nopeuteensa (katso kuva 1).

Seuraava kuva esittää erityyppisiä kulmia, mukaan lukien nollakulma oikealle. Kuten voidaan nähdä, 0º kulmasta puuttuu leveys tai aukko.

Kuva 2. Kulmatyypit, mukaan lukien nollakulma. Lähde: Wikimedia Commons. Óriás.

Esimerkkejä nollakulmista

Rinnakkaisviivojen tiedetään muodostavan nollakulma toistensa kanssa. Kun sinulla on vaakasuora viiva, se on yhdensuuntainen Cartesian koordinaattijärjestelmän x-akselin kanssa, joten sen kaltevuus suhteessa siihen on 0. Toisin sanoen vaakaviivoilla on nolla kaltevuus.

Kuva 3. Vaakaviivoilla on nolla kaltevuus. Lähde: F. Zapata.

Myös nollakulman trigonometriset suhteet ovat 0, 1 tai ääretön. Siksi nollakulma on läsnä monissa fyysisissä tilanteissa, joihin liittyy operaatioita vektoreilla. Nämä syyt ovat:

-sin 0º = 0

-kos 0 ° = 1

-tg 0º = 0

-sek 0º = 1

-sukko 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Ja niistä on hyödyllistä analysoida joitain esimerkkejä tilanteista, joissa nollakulman läsnäololla on keskeinen rooli:

- nollakulman vaikutukset fyysisiin suuruuksiin

Vektori lisäys

Kun kaksi vektoria ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen kulma on nolla, kuten yllä olevasta kuvasta 4a nähdään. Tässä tapauksessa kummankin summa suoritetaan sijoittamalla yksi toisensa jälkeen ja summavektorin suuruus on lisäysten magnitudien summa (kuva 4b).

Kuva 4. Rinnakkaisvektorien summa, tässä tapauksessa niiden välinen kulma on nollakulma. Lähde: F. Zapata.

Kun kaksi vektoria ovat yhdensuuntaisia, niiden välinen kulma on nolla, kuten yllä olevasta kuvasta 4a nähdään. Tässä tapauksessa kummankin summa suoritetaan sijoittamalla yksi toisensa jälkeen ja summavektorin suuruus on lisäysten magnitudien summa (kuva 4b)

Vääntömomentti tai vääntömomentti

Vääntömomentti tai vääntömomentti aiheuttaa rungon pyörimisen. Se riippuu käytetyn voiman suuruudesta ja siitä, kuinka sitä käytetään. Erittäin edustava esimerkki on kuvion jakoavain.

Parhaan kääntövaikutuksen saavuttamiseksi voima kohdistetaan kohtisuoraan jakoavaimen kahvaan joko ylös tai alas, mutta kiertoa ei odoteta, jos voima on samansuuntainen kahvan kanssa.

Kuva 5. Kun asennon ja voimavektoreiden välinen kulma on nolla, vääntömomenttia ei tuoteta, eikä siksi ole kehruutehostetta. Lähde: F. Zapata.

Matemaattisesti vääntömomentti τ määritellään vektorituotteen ristituotteeksi kuvion 5 vektorien r (sijaintivektori) ja F (vektorivoima) välillä:

τ = r x F

Vääntömomentin suuruus on:

τ = rF sin θ

Θ on r: n ja F: n välinen kulma. Kun sin θ = 0, vääntömomentti on nolla, tässä tapauksessa θ = 0º (tai myös 180º).

Sähkökentän virtaus

Sähkökenttävirta on skalaarimäärä, joka riippuu sähkökentän voimakkuudesta sekä sen pinnan suuntauksesta, jonka läpi se kulkee.

Kuviossa 6 on alueen A pyöreä pinta, jonka läpi sähkökenttälinjat E kulkevat. Pinnan suuntauksen antaa normaali vektori n. Vasemmalla puolella kenttä ja normaali vektori muodostavat mielivaltaisen akuutin kulman θ, keskellä ne muodostavat nollakulman toistensa kanssa ja oikealla ovat kohtisuorassa.

Kun E ja n ovat kohtisuorassa, kenttäviivat eivät ylitä pintaa ja siksi vuo on nolla, kun taas E: n ja n välinen kulma on nolla, viivat ylittävät pinnan kokonaan.

Sähkökenttävuon osoittaminen kreikkalaisella kirjaimella Φ (lue ”fi”), sen määritelmä yhtenäiselle kentälle kuten kuvassa, näyttää tältä:

Φ = E • n A

Kummankin vektorin keskellä oleva piste osoittaa pistetuotteen tai skalaarisen tuotteen, joka on vaihtoehtoisesti määritelty seuraavasti:

Φ = E • n A = EAcosθ

Lihavoidut ja nuolet kirjaimen yläpuolella ovat resursseja erottaa vektori ja sen suuruus, joka on merkitty normaalilla kirjaimilla. Koska cos 0 = 1, vuo on suurin, kun E ja n ovat yhdensuuntaiset.

Kuva 6. Sähkökenttävirta riippuu pinnan ja sähkökentän suunnasta. Lähde: F. Zapata.

Harjoitukset

- Harjoitus 1

Kaksi voimaa P ja Q vaikuttavat samanaikaisesti pistekohteeseen X, molemmat voimat muodostavat alun perin kulman θ niiden välillä. Mitä tapahtuu syntyvän voiman suuruudelle, kun θ laskee nollaan?

Kuva 7. Kehoon vaikuttavien kahden voiman välinen kulma pienenee, kunnes se peruutetaan, jolloin syntyvän voiman suuruus saavuttaa maksimiarvonsa. Lähde: F. Zapata.

Ratkaisu

Tuloksena olevan voiman Q + P suuruus kasvaa vähitellen, kunnes se on maksimi, kun Q ja P ovat täysin yhdensuuntaiset (kuva 7 oikealla).

- Harjoitus 2

Ilmoita, onko nollakulma ratkaisu seuraavasta trigonometrisesta yhtälöstä:

Ratkaisu

Trigonometrinen yhtälö on sellainen, jossa tuntematon on osa trigonometrisen suhteen argumenttia. Ehdotetun yhtälön ratkaisemiseksi on tarkoituksenmukaista käyttää kaavaa kaksoiskulman kosiniin:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Koska tällä tavalla vasemmanpuoleisesta argumentista tulee x 2x: n sijaan. Niin:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Toisaalta cos ² x + sin ² x = 1, joten:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Termi cos ² x peruuntuu ja pysyy:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Nyt tehdään seuraava muuttujan muutos: sinx = u ja yhtälöstä tulee:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Kenen ratkaisut ovat: u = 0 ja u = -4. Palauttamalla muutos, meillä olisi kaksi mahdollisuutta: sin x = 0 ja sinx = -4. Tämä viimeinen ratkaisu ei ole toteuttamiskelpoinen, koska minkä tahansa kulman sini on välillä -1 ja 1, joten meillä on ensimmäinen vaihtoehto:

sin x = 0

Siksi x = 0º on ratkaisu, mutta toimii myös mikä tahansa kulma, jonka sini on 0, joka voi olla myös 180º (π radiaanit), 360º (2 π radiaani) ja vastaavat negatiivit.

Trigonometrisen yhtälön yleisin ratkaisu on: x = kπ missä k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k kokonaisluku.

Viitteet

1. Baldor, A. 2004. Lento- ja avaruusgeometria trigonometrialla. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Sarja: Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Nide 3. Hiukkasjärjestelmät. Toimittanut Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Sarja: Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Volume 5. Sähköinen vuorovaikutus. Toimittanut Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Kulmatyypit. Palautettu osoitteesta: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometria ja analyyttinen geometria. McGraw Hill Interamericana.