YKSIULOTTEISET AALLOT: MATEMAATTINEN LAUSEKE JA ESIMERKIT - FYYSINEN - 2026

Yksi- ulotteinen aallot ovat ne, jotka etenevät vain yhteen suuntaan, riippumatta siitä, onko värähtely tapahtuu samaan suuntaan lisääminen tai ei. Hyvä esimerkki näistä on aalto, joka kulkee kireän kireän kielen läpi.

Poikittaisessa tasoaallossa hiukkaset värähtelevät pystysuunnassa (ne nousevat ja putoavat, ks. Punainen nuoli kuvassa 1), mutta se on yksiulotteinen, koska häiriö kulkee vain yhteen suuntaan keltaisen nuolen seurauksena.

Kuva 1: Kuva edustaa yhden ulotteen aaltoa. Huomaa, että harjanteet ja laaksot muodostavat viivat toistensa kanssa ja kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden. Lähde: itse tehty.

Yksiulotteiset aallot esiintyvät melko usein arjessa. Seuraavassa osassa kuvataan joitain esimerkkejä niistä ja myös aaltoista, jotka eivät ole yhden ulottuvuuden erojen selkeäksi määrittämiseksi.

Esimerkkejä yhden ulottuvuuden aalloista ja ei-yhden ulottuvuuden aalloista

Yksiulotteiset aallot

Tässä on joitain esimerkkejä helposti ulottuvista yhden ulottuvuuden aalloista:

- Äänipulssi, joka kulkee suoran palkin läpi, koska se on häiriö, joka leviää koko tankoa pitkin.

- Aalto, joka kulkee vesikanavan läpi, vaikka vesipinnan siirtymä ei olisi samansuuntainen kanavan kanssa.

- Aallot, jotka leviävät pinnalla tai kolmiulotteisen tilan läpi, voivat myös olla yhden ulottuvuuden, kunhan niiden aallorintamat ovat tasoja keskenään ja kulkevat vain yhteen suuntaan.

Ei-yhden ulottuvuuden aallot

Esimerkki ei-yksiulotteisesta aallosta löytyy aaltoista, jotka muodostuvat liikkumattoman veden pinnalle, kun kivi pudotetaan. Se on kaksiulotteinen aalto, jossa on lieriömäinen aaltopinta.

Kuva 2. Kuva edustaa esimerkkiä siitä, mitä yksiulotteista aaltoa EI OLE. Huomaa, että kuoret ja laaksot muodostavat ympyröitä ja etenemissuunta on säteittäisesti ulospäin, se on sitten pyöreä kaksiulotteinen aalto. Lähde: Pixabay.

Toinen esimerkki ei-yksiulotteisesta aallosta on ääniaaltto, jonka sähinkäinen tuottaa räjähtäen tietyllä korkeudella. Tämä on kolmiulotteinen aalto, jonka pallomaiset aallot rintamalla ovat.

Yksiulotteisen aallon matemaattinen ilmaisu

Yleisin tapa ilmaista vaimennusta etenevä yhden ulotteen aalto xy-akselin positiivisessa suunnassa nopeudella v on matemaattisesti:

Tässä lausekkeessa y edustaa häiriötä asemassa x hetkellä t. Aallon muoto annetaan funktion f avulla. Esimerkiksi kuvassa 1 esitetty aaltofunktio on: y (x, t) = cos (x - vt) ja aaltokuva vastaa hetkeä t = 0.

Tällaista aaltoa, jota kuvataan kosinus- tai sinifunktiolla, kutsutaan harmoniseksi aaltoksi. Vaikka se ei ole ainoa olemassa oleva aaltomuoto, se on erittäin tärkeä, koska mikä tahansa muu aalto voidaan esittää harmonisten aaltojen superpositiona tai summana. Se on tunnettu Fourier-lause, jota käytetään niin laajasti kaikenlaisten signaalien kuvaamiseen.

Kun aalto liikkuu x-akselin negatiivisessa suunnassa, muuta yksinkertaisesti argumentti v arvoksi -v, jättäen:

Kuvio 3 näyttää vasemmalle kulkevan aallon animaation: se on muoto, jota kutsutaan Lorentzian-funktioksi, ja sen matemaattinen lauseke on:

Tässä esimerkissä etenemisnopeus on v = 1, - yksi tilayksikkö jokaiselle aikayksikölle.

Kuva 3. Esimerkki Lorentzian aallosta, joka kulkee vasemmalle nopeudella v = 1. Lähde: Valmistaja F. Zapata Geogebran kanssa.

Yksiulotteinen aaltoyhtälö

Aaltoyhtälö on osittainen johdannainen yhtälö, jonka ratkaisu on tietysti aalto. Se määrittelee matemaattisen suhteen sen tilallisen osan ja sen ajallisen osan välillä, ja sillä on seuraava muoto:

Toiminut esimerkki

Seuraava on yleinen lauseke y (x, t) harmoniselle aallolle:

a) Kuvaile parametrien A, k, ω ja θo fyysinen merkitys.

b) Mitä merkkejä ± -merkeillä on kosiniargumentissa?

c) Varmista, että annettu lauseke on todellakin ratkaisu edellisen osan aaltoyhtälöön, ja löydä etenemisnopeus v.

Ratkaisu)

Aallon ominaisuudet löytyvät seuraavista parametreistä:

Toinen johdannainen suhteessa t: ∂ ² ja / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Nämä tulokset korvataan aaltoyhtälöön:

Sekä A että kosinus ovat yksinkertaistettuja, koska ne esiintyvät tasa-arvon molemmilla puolilla ja kosinin argumentti on sama, joten lauseke supistuu seuraavaan:

Mikä mahdollistaa v: n yhtälön saamisen suhteessa ω ja k:

Viitteet

1. E-opetus. Yhdenulotteisten harmonisten aaltojen yhtälö. Palautettu osoitteesta: e-ducativa.catedu.es
2. Fysiikan kulma. Aaltokurssit. Palautettu osoitteesta: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Aallot ja kvanttifysiikka. Sarja: Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Toimittanut Douglas Figueroa. Simon Bolivar University. Caracas Venezuela.
4. Fysiikan laboratorio. Aallon liike. Palautettu osoitteesta: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Luento 21: Yksiulotteinen aaltoyhtälö: D'Alembertin ratkaisu. Palautettu: ubc.ca.
6. Aaltoyhtälö. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com