ORTOPEEDRI: KAAVAT, ALUE, TILAVUUS, DIAGONAALI, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2026

Orthohedron on volymetrinen tai kolmiulotteinen geometrinen kuvio, joka on tunnettu siitä, kuusi suorakulmainen pinnat, niin että vastakkaisten pintojen ovat yhdensuuntaisissa tasoissa ja ovat identtisiä tai yhteneviä suorakulmioita. Toisaalta tietyn pinnan vierekkäiset pinnat ovat tasossa, jotka ovat kohtisuorassa alkuperäisen pinnan tasoon nähden.

Ortopedonia voidaan pitää myös suorakulmaisena pohjana olevan ortogonaalisena prismana, jossa yhteisen reunan vieressä olevien kahden pinnan tasojen muodostamat kaareutuvat kulmat ovat 90 astetta. Kahden pinnan välinen kaksikulmainen kulma mitataan pintojen leikkauskohdassa heille yhteisen kohtisuoran tason kanssa.

Kuva 1. Ortopeedri. Lähde: F. Zapata ja Geogebra.

Samoin ortoedroni on suorakulmainen suuntaissärmiö, koska näin suuntaissärmi määritellään kuuden pinnan, jotka ovat rinnakkain kaksi kerrallaan, tilavuuskuvana.

Missä tahansa suuntaissärmiössä pinnat ovat suuntakuvioita, mutta suorakulmaisessa suuntaissärmiössä pintojen on oltava suorakaiteen muotoisia.

Ortoedron osat

Monihalkaisijan osat, kuten ortoedroni, ovat:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Ortopeedron yhden pinnan kahden reunan välinen kulma on yhdenmukainen diched-kulman kanssa, jonka muodostavat sen kaksi muuta pintaa kunkin reunan vieressä muodostaen suorakulman. Seuraava kuva selventää kutakin konseptia:

Kuva 2. Ortoedron osat. Lähde: F. Zapata ja Geogebra.

-Ortopeedrilla on yhteensä 6 pintaa, 12 reunaa ja 8 kärkeä.

- Kaikkien kahden reunan välinen kulma on suora kulma.

- Kaksoiskulma minkä tahansa kahden pinnan välillä on myös oikea.

-Kussakin pinnassa on neljä kärkeä ja jokaisessa kärjessä on kolme keskenään ortogonaalista pintaa.

Ortopedronikaavat

alue

Ortoedronin pinta tai ala on sen pintojen pinta-alojen summa.

Jos kolmella reunalla, jotka kohtaavat kärjessä, on mitat a, b ja c, kuten kuvassa 3 esitetään, niin etusivulla on alue c⋅b ja alapinnalla on myös alue c⋅b.

Sitten kahdella sivupinnalla on alue a areab molemmilla. Ja lopuksi lattia- ja kattopinnoilla on tienenc-alue.

Kuva 3. Mitat a, b, c. Sisäinen diagonaali D ja ulkoinen diagonaali d.

Kaikkien kasvojen alueen lisääminen antaa:

Yhteisen tekijän ottaminen ja ehtojen tilaaminen:

tilavuus

Jos ortoedronia pidetään prismana, niin sen tilavuus lasketaan seuraavasti:

Tässä tapauksessa mittojen c ja a lattiaa pidetään suorakulmaisena pohjana, joten pohjan pinta-ala on c⋅a.

Korkeus ilmaistaan ​​reunojen pituudella b, joka on kohtisuora sivujen a ja c pintoihin nähden.

Kertomalla pohjan pinta-ala (a⋅c) korkeudella b saadaan ortoedronin tilavuus V:

Sisäinen diagonaali

Ortopeedrissa on kahden tyyppisiä diagonaaleja: ulkoiset ja sisemmät.

Ulkoiset diagonaalit ovat suorakaiteen muotoisia pintoja, kun taas sisäiset diagonaalit ovat segmenttejä, jotka yhdistyvät kahteen vastakkaiselle kärjelle, ymmärtämällä vastakkaisille kärkille, joilla ei ole mitään reunaa.

Ortopeedrissa on neljä sisäistä diagonaalia, jotka kaikki ovat yhtä suuret. Sisäisten diagonaalien pituus voidaan saada soveltamalla Pythagoran lausetta oikeille kolmioille.

Ortoedronin lattiapinnan ulkoisen diagonaalin pituus d täyttää Pythagora-suhteen:

d ² = a ² + c ²

Samoin mitan D sisähalkaisija täyttää Pythagora-suhteen:

D ² = d ² + b ².

Yhdistämällä kaksi aikaisempaa ilmaisua:

D ² = a ² + c ² + b ².

Lopuksi ortopeedron minkä tahansa sisäisen diagonaalin pituus saadaan seuraavalla kaavalla:

D = √ (a ² + b ² + c ²).

esimerkit

- Esimerkki 1

Tiilet rakentavat ortopeedron muotoisen säiliön, jonka sisämitat ovat: 6 mx 4 m pohjassa ja 2 m korkeudessa. Se kysyy:

a) Määritä säiliön sisäpinta, jos sen yläosa on täysin avoin.

b) Laske säiliön sisätilan tilavuus.

c) Selvitä sisäviiran pituus.

d) Mikä on säiliön tilavuus litroissa?

Ratkaisu

Otetaan suorakulmaisen pohjan mitat a = 4 m ja c = 6 m ja korkeus b = 2 m

Ortoedronin pinta-ala, jolla on annetut mitat, saadaan seuraavasta suhteesta:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Tarkoittaen:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ²) = 2 (44 m ²) = 88 m ²

Edellinen tulos on suljetun ortoedronin pinta-ala, jolla on annetut mitat, mutta koska se on säiliö, jonka yläosa on täysin peittämätön, säiliön sisäseinämien pinnan saamiseksi, puuttuvan kannen pinta-ala on vähennettävä, joka on:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ².

Lopuksi säiliön sisäpinta on: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ².

Ratkaisu b

Säiliön sisätilavuus ilmaistaan ​​ortopeedron tilavuudesta säiliön sisätilojen mitoista:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³.

Ratkaisu c

Oktaedron sisäläpimitta, jonka mitat ovat säiliön sisäpuolella, on pituus D, joka lasketaan:

√ (a ² + b ² + c ²) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ²)

Suorittamalla ilmoitetut toiminnot meillä on:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ²) = √ (56 m ²) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Ratkaisu d

Säiliön tilavuuden laskemiseksi litroissa on välttämätöntä tietää, että kuutiometrin tilavuus on yhtä suuri kuin litran tilavuus. Se oli aiemmin laskettu tilavuutena kuutiometreinä, mutta se on muunnettava kuutiometriä kohti ja sitten litroiksi:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4 800 dm ³ = 4 800 l

- Harjoitus 2

Lasi-akvaario on kuutiomainen ja sivun pituus 25 cm. Määritä pinta-ala m ², tilavuus litroina ja sisäviiran pituus senttimetreinä.

Kuva 4. Kuutiomainen lasiakvaario.

Ratkaisu

Pinta-ala lasketaan käyttämällä samaa ortopeedrikaavaa, mutta ottaen huomioon, että kaikki mitat ovat identtiset:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1250 cm ²

Kuution tilavuus lasketaan:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Sisäisen diagonaalin pituus D on:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Viitteet

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Palautettu osoitteesta: youtube.com.
2. Calculation.cc. Harjoitukset ja ratkaisut alueiden ja tilavuuksien ongelmat. Palautettu: calculo.cc.
3. Salvador R. Pyramid + ortodroni GEOGEBRA: lla (IHM). Palautettu osoitteesta: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com