PYÖREÄT PERMUTAATIOT: TODISTE, ESIMERKKEJÄ, RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ - DUDAS - 2026

Pyöreä permutaatiot ovat erilaisia ryhmittymiä kaikkien osien joukko, kun ne on järjestetty piireissä. Tämän tyyppisessä permutaatiossa järjestys on tärkeä ja elementtejä ei toisteta.

Oletetaan esimerkiksi, että haluat tietää erillisten numeroiden taulukkojen lukumäärän yhdestä neljään sijoittamalla jokaisen numeron yhteen rombin kärkeen. Nämä olisivat yhteensä 6 järjestelyä:

Ei pidä sekoittaa sitä, että numero yksi on rombin yläasennossa kaikissa tapauksissa kiinteänä asennona. Pyöreitä permutaatioita ei muuta taulukon kierto. Seuraavat ovat yhden tai saman permutaation:

Esittely ja kaavat

Esimerkissä romauksen kärkipaikoissa sijaitsevista erilaisista 4-numeroisista pyöreistä ryhmistä voidaan löytää seuraavien joukko (6):

1- Mikä tahansa neljästä numerosta pidetään lähtökohtana missä tahansa kärjessä ja etenee seuraavaan kärkeen. (sillä ei ole väliä, käännetäänkö sitä myötäpäivään vai vastapäivään)

2 - Toisen kärkipisteen valitsemiseksi on jäljellä 3 vaihtoehtoa, sitten kolmannen kärkipisteen valitsemiseksi on 2 vaihtoehtoa, ja tietenkin neljättä kärkipistettä on vain yksi valintavaihtoehto.

3- Siten pyöreiden permutaatioiden lukumäärä, jota merkitään (4 - 1) P (4 - 1), saadaan valintavaihtoehtojen tuloksella kussakin asennossa:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 erilaista 4-numeroista pyöreää ryhmää.

Yleensä ympyränmuotoisten permutaatioiden lukumäärä, joka voidaan saavuttaa sarjan kaikilla n elementillä, on:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Huomaa, että (n - 1)! Sitä kutsutaan n-tekijäksi ja lyhentaa kaikkien lukujen tulosta numerosta (n - 1) numeroon yksi, mukaan lukien.

esimerkit

Esimerkki 1

Kuinka monella eri tavalla kuuden ihmisen täytyy istua pyöreän pöydän ääressä?

Haluat löytää useita tapoja, joilla 6 ihmistä voi istua pyöreän pöydän ympärillä.

Ei tapaa istua = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Istumistapojen lukumäärä = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 eri tapaa

Esimerkki 2

Kuinka monella eri tavalla 5 ihmisen on paikannettava itsensä viisikulmion kärkiin?

Montako tapaa, joilla viittä ihmistä voidaan sijoittaa viisikulmion kunkin kärkeen, etsitään.

Ei sijaintitapoja = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Sijaintitapojen lukumäärä = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 eri tapaa

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Jalokivikauppias hankkii 12 erilaista jalokiviä sijoittaakseen ne kellonaikoihin, joita hän valmistaa Euroopan maan kuninkaallisen talon puolesta.

a) Kuinka monella eri tavalla hänen on järjestettävä kivet kellonaikaan?

b) Kuinka monta eri muotoa sillä on, jos klo 12 mennessä oleva kivi on ainutlaatuinen?

c) Kuinka monta erilaista muotoa, jos kivi klo 12 on ainutlaatuinen ja kivit muissa kolmessa pääpisteessä, kello 3, 6 ja 9; Onko olemassa kolme erityistä kiveä, jotka voidaan vaihtaa, ja loput tuntia on osoitettu muista kiveistä?

ratkaisut

a) Tarvitaan useita tapoja järjestää kaikki kivet kellon kehälle. toisin sanoen ympyränmuotoisten järjestelyjen lukumäärä, joka sisältää kaikki saatavilla olevat kivet.

Järjestelyjen lukumäärä kellolla = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Kellossa olevien korjausten lukumäärä = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Järjestelyjen lukumäärä kellossa = 39976800 eri muotoa

b) Hän ihmettelee, kuinka monta erilaista tilaustapaa on olemassa tietäen, että kello 12 olevan kahvan kivi on ainutlaatuinen ja kiinteä; toisin sanoen pyöreiden järjestelyjen lukumäärä, joka sisältää jäljellä olevat 11 kiveä.

Järjestelyjen lukumäärä kellolla = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Kellossa olevien korjausten lukumäärä = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Järjestelyjen lukumäärä kellossa = 3 628 800 eri muotoa

c) Lopuksi etsitään useita tapoja tilata kaikki kivet lukuun ottamatta kiinni kello 12 olevaa kiveä, 3, 6 ja 9 kiveä, joissa on 3 kiveä toisiinsa osoitettaviksi; eli 3! järjestelymahdollisuudet ja niiden pyöreiden järjestelyjen lukumäärä, joihin kuuluu jäljellä olevat 8 kiveä.

Kellossa olevien korjausten lukumäärä = 3! * = 3! * (8–1)!

Järjestelyjen lukumäärä kellossa = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Järjestelyjen lukumäärä kellossa = 241920 eri muotoa

- Harjoitus 2

Yrityksen ohjauskomitea koostuu kahdeksasta jäsenestä ja he kokoontuvat soikeaan pöytään.

a) Kuinka monta erilaista järjestelyä pöydän ympärillä komitealla on?

b) Oletetaan, että puheenjohtaja istuu pöydän kärjessä missä tahansa valiokunnan järjestelyssä. Kuinka monta erilaista järjestelyä muulla valiokunnalla on?

c) Oletetaan, että varapuheenjohtaja ja sihteeri istuvat molemmilla puolilla presidenttiä missä tahansa komitean järjestelyssä. Kuinka monta erilaista järjestelyä muulla komitealla on?

ratkaisut

a) Haluamme löytää useita eri tapoja järjestää 12 komitean jäsentä soikeaan pöytään.

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = 39976800 erilaista lomaketta

b) Koska komitean puheenjohtaja sijaitsee kiinteässä paikassa, etsitään useita tapoja järjestää jäljellä olevat 11 komitean jäsentä soikeaan pöytään.

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = 3 628 800 erilaista lomaketta

c) Presidentti on kiinteässä asemassa ja sivuille on varapuheenjohtaja ja sihteeri, jolla on kaksi järjestelymahdollisuutta: oikealla varapuheenjohtaja ja vasemmalla sihteeri tai vasemmalla varapuheenjohtaja ja oikealla sihteeri. Sitten haluat löytää useita eri tapoja järjestää jäljellä olevat 9 komitean jäsentä soikeaan pöytään ja kerrota varapuhemiehen ja sihteerin kahdella järjestelymuodolla.

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = 2 * = 2 *

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Valiokuntien järjestelyjen lukumäärä = 80640 erilaista lomaketta

Viitteet

1. Boada, A. (2017). Permutaation käyttö toistamalla kokeiden opettamisena. Vivat Academia -lehti. Palautettu osoitteesta researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Todennäköisyys ja tilastot. Sovellukset ja menetelmät. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Tilastollisia menetelmiä ei sovelleta yhteiskuntatieteisiin. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Tilastot. Neljäs toim. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Niin, Ka. (2007). Todennäköisyys ja tilastot insinööreille ja tutkijoille. Kahdeksas toim. Pearson Educationin kansainvälinen Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Yritystoimintaa ja taloutta koskevat tilastotiedot. Kolmas toim. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutaatio. Palautettu osoitteesta en.wikipedia.org.