PERMUTAATIOT ILMAN TOISTOA: KAAVAT, TODISTEET, HARJOITUKSET, ESIMERKIT - DUDAS - 2026

Permutaatio ilman toistoa n alkion on eri ryhmien eri elementtejä, jotka voidaan saada ei toistamalla mitä tahansa elementtiä, vain muuttamalla järjestystä sijoittaminen elementtejä.

Permutaatioiden lukumäärän selvittämiseksi ilman toistoa käytetään seuraavaa kaavaa:

Pn = n!

Mikä laajennettu olisi Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Joten edellisessä käytännön esimerkissä sitä sovellettaisiin seuraavasti:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 erilaista 4-numeroista numeroa.

Nämä ovat yhteensä 24 taulukkoa: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Kuten voidaan nähdä, toistamista ei tapahdu missään tapauksessa, koska se on 24 eri numeroa.

Esittely ja kaavat

24 Järjestelyt neljästä eri kuvasta

Aiomme analysoida tarkemmin esimerkkiä 24 erilaisesta 4-numeroisesta järjestelystä, jotka voidaan muodostaa numeron 2468 numeroilla. Järjestelyjen lukumäärä (24) voidaan tietää seuraavasti:

Ensimmäisen numeron valitsemiseksi on 4 vaihtoehtoa, jolloin toinen vaihtoehto valitaan kolmesta vaihtoehdosta. Kaksi numeroa on jo asetettu ja kolmannen numeron valitsemiseksi on jäljellä 2 vaihtoehtoa. Viimeisessä numerossa on vain yksi valintavaihtoehto.

Siksi permutaatioiden lukumäärä, merkitty P4: llä, saadaan valintavaihtoehtojen tuloksena kussakin asennossa:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 erilaista 4-numeroista numeroa

Yleensä eri permutaatioiden tai järjestelyjen lukumäärä, jotka voidaan suorittaa tietyn joukon kaikilla n elementillä, on:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Lauseke n! sitä kutsutaan n: ksi tekijäksi ja tarkoittaa kaikkien luonnollisten lukujen, jotka sijaitsevat luvun n ja ensimmäisen, välissä, mukaan lukien molemmat.

12 asettelua kahdesta eri kuvasta

Oletetaan nyt, että haluat tietää permutaatioiden tai kaksinumeroisten numeroiden lukumäärän, joka voidaan muodostaa numeron 2468 numeroilla.

Nämä olisivat yhteensä 12 järjestelyä: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Voit valita ensimmäisen numeron neljällä vaihtoehdolla, jolloin toinen numero valitaan kolmesta numerosta. Siksi 4 numeron permutaatioiden lukumäärä, jotka otetaan kaksi kerrallaan ja merkitty 4P2: lla, saadaan valintavaihtoehtojen tuloksena kussakin sijainnissa:

4P2 = 4 * 3 = 12 erilaista 2-numeroista numeroa

Yleensä eri permutaatioiden tai järjestelyjen lukumäärä, jotka voidaan suorittaa n: n r-elementillä tietyssä joukossa, on:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Yllä oleva lauseke katkaistaan ​​ennen n !. Täyttää n! siitä meidän pitäisi kirjoittaa:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Lisättävät tekijät puolestaan ​​edustavat tekijää:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Täten, n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Täältä

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

esimerkit

Esimerkki 1

Kuinka monta eri 5-kirjaimista kirjainyhdistelmää voidaan rakentaa sanan KEY kirjaimilla?

Haluamme löytää 5 kirjaimesta koostuvien eri kirjainyhdistelmien lukumäärän, joka voidaan rakentaa sanan KEY 5 kirjaimella; toisin sanoen viiden kirjaimen ryhmien lukumäärä, joka sisältää kaikki sanassa KEY käytettävissä olevat kirjaimet.

Lukumäärä 5 kirjainta = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 erilaista 5-kirjaimista kirjainyhdistelmää.

Ne olisivat: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… korkeintaan 120 erilaista kirjainyhdistelmää.

Esimerkki 2

Sinulla on 15 numeroitua palloa ja haluat tietää kuinka monta erilaista 3 pallojen ryhmää voidaan rakentaa 15 numeroidulla kuulilla?

Haluat löytää lukumäärän ryhmiä, joista 3 palloa voidaan tehdä 15 numeroidulla pallalla.

3 pallojen ryhmien lukumäärä = 15P3 = 15! / ((15 - 3)!

3 pallojen ryhmien lukumäärä = 15 * 14 * 13 = 2730 3 pallojen ryhmää

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Hedelmämyymälässä on näyttelyosasto, joka koostuu rivistä osastoista, jotka sijaitsevat sisääntuloaulassa tiloihin. Yhdessä päivässä vihanneskauppa ostaa: appelsiinit, banaanit, ananat, päärynät ja omenat.

a) Kuinka monella eri tavalla sinun on tilattava näyttelyosasto?

b) Kuinka monta eri tapaa tilaat tilauksen, jos sait mainittujen hedelmien (5) lisäksi vastaan ​​sinä päivänä: mangot, persikat, mansikat ja viinirypäleet (4)?

a) Haluamme löytää useita eri tapoja tilata kaikki näytön rivillä olevat hedelmät; toisin sanoen viiden hedelmätuotteen järjestelyjen lukumäärä, joka kattaa kaikki tuona päivänä myytävissä olevat hedelmät.

Jalustan järjestelyjen lukumäärä = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Jalustan järjestelyjen lukumäärä = 120 tapaa esitellä jalustaa

b) Haluamme löytää määrän erilaisia ​​tapoja tilata kaikki hedelmät näyttöriviltä, ​​jos lisättäisiin 4 ylimääräistä tuotetta; toisin sanoen 9 hedelmätuotteen järjestelyjen lukumäärä, joka kattaa kaikki tuona päivänä myytävissä olevat hedelmät.

Jalustan järjestelyjen lukumäärä = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Jalustan järjestelyjen lukumäärä = 362 880 tapaa esitellä jalustaa

Harjoitus 2

Pienessä ruokakaupassa on tontti, jossa on tarpeeksi tilaa 6 ajoneuvon pysäköintiin.

a) Kuinka monta eri tapaa ajoneuvojen tilaamiseen tontista voidaan valita?

b) Oletetaan, että hankitaan vierekkäinen tontti, jonka mitat sallivat pysäköidä 10 ajoneuvoa. Kuinka monta erilaista ajoneuvojen järjestelymuotoa voidaan nyt valita?

a) Haluamme löytää useita tapoja tilata kuusi ajoneuvoa, jotka voidaan sijoittaa tonttiin.

Kuuden ajoneuvon järjestelyjen lukumäärä = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Kuuden ajoneuvon järjestelyjen lukumäärä = 720 eri tapaa järjestää 6 ajoneuvoa tonttiin.

b) Haluamme löytää useita eri tapoja tilata 10 ajoneuvoa, jotka voidaan sijoittaa tonttiin tontin laajennuksen jälkeen.

10 ajoneuvon järjestelyjen lukumäärä = P10 = 10!

Ajoneuvojen järjestelyjen lukumäärä = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Kymmenen ajoneuvon järjestelyjen lukumäärä = 3 628 800 eri tapaa tilata 10 ajoneuvoa tontista.

Harjoitus 3

Kukkakaupassa on kuusi eriväristä kukkaa kukkalippujen tekemiseksi kansakunnista, joilla on vain 3 väriä. Jos tiedetään, että värien järjestys on tärkeä lippuissa, a) Kuinka monta eri lippua 3 väristä voidaan tehdä kuuden saatavilla olevan värin kanssa?

b) Myyjä ostaa kukkia, joissa on 2 lisäväria, jo jokaisella 6: lla värillisellä lipulla, nyt kuinka monta eri väristä lippua voidaan tehdä?

c) Koska sinulla on 8 väriä, päätät laajentaa lippuvalikoimaasi. Kuinka monta eri 4-väristä lippua voit tehdä?

d) Kuinka monta kahdesta väristä?

a) Haluamme löytää 3 eri värin lippujen määrän, jotka voidaan tehdä valitsemalla 6 saatavilla olevista väreistä.

Ei 3-värisiä lippuja = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Kolmiväristen lippujen lukumäärä = 6 * 5 * 4 = 120 lippua

b) Haluat löytää 3 eri värin lippujen määrän, jotka voidaan tehdä valitsemalla kahdeksasta saatavilla olevasta väristä.

Lukumäärä 3-värisiä lippuja = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Kolmiväristen lippujen lukumäärä = 8 * 7 * 6 = 336 lippua

c) On laskettava niiden neliväristen lippujen lukumäärä, jotka voidaan valmistaa valitsemalla kahdeksasta saatavilla olevasta väristä.

4-väristen lippujen lukumäärä = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

4-väristen lippujen lukumäärä = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 lippua

d) Haluat määrittää, kuinka monta eri kaksiväristä lippua voidaan tehdä valitsemalla kahdeksasta saatavilla olevasta väristä.

2-väristen lippujen lukumäärä = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

2-väristen lippujen lukumäärä = 8 * 7 = 56 lippu

Viitteet

1. Boada, A. (2017). Permutaation käyttö toistamalla kokeiden opettamisena. Vivat Academia -lehti. Palautettu osoitteesta researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Todennäköisyys ja tilastot. Sovellukset ja menetelmät. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Tilastollisia menetelmiä ei sovelleta yhteiskuntatieteisiin. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Tilastot. Neljäs toim. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Niin, Ka. (2007). Todennäköisyys ja tilastot insinööreille ja tutkijoille. Kahdeksas toim. Pearson Educationin kansainvälinen Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Yritystoimintaa ja taloutta koskevat tilastotiedot. Kolmas toim. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutaatio. Palautettu osoitteesta en.wikipedia.org.