KUPERA MONIKULMIO: MÄÄRITELMÄ, ELEMENTIT, OMINAISUUDET, ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Kupera monikulmio on geometrinen kuvio sisältyvät tasossa, joka on tunnettu siitä, koska sen kaikki diagonaalit sen sisä- ja sen kulmat mitata vähemmän kuin 180 °. Sen ominaisuuksia ovat muun muassa seuraavat:

1) Se koostuu n peräkkäisestä segmentistä, joissa viimeinen segmentistä liittyy ensimmäiseen. 2) Mikään segmenteistä ei leikkaa niin, että raja ympäröi sisä- ja ulkoaluetta. 3) Jokainen kulma sisustusalueella on ehdottomasti pienempi kuin tasokulma.

Kuva 1. Polygons 1, 2 ja 6 ovat kuperat. (Valmistaja Ricardo Pérez).

Yksinkertainen tapa määrittää, onko monikulmio kupera vai ei, on harkita yhden sivunsa läpi kulkevaa linjaa, joka määrittelee kaksi puolitasoa. Jos jokaisessa yhden sivun läpi kulkevassa linjassa monikulmion muut sivut ovat samassa puolitasossa, niin se on kupera monikulmio.

Monikulmion elementit

Jokainen monikulmio koostuu seuraavista elementeistä:

- Sivut

- Huiput

Sivut ovat kumpikin peräkkäisistä segmenteistä, jotka muodostavat monikulmion. Monikulmiossa yhdelläkään sitä muodostavista segmenteistä ei voi olla avoin pää, siinä tapauksessa olisi monikulmioinen viiva, mutta ei monikulmio.

Pisteet ovat kahden peräkkäisen segmentin liitoskohdat. Monikulmiossa huippujen lukumäärä on aina yhtä suuri kuin sivujen lukumäärä.

Jos monikulmion kaksi sivua tai segmentti leikkaavat, sinulla on ristissä oleva monikulmio. Risteytyskohtaa ei pidetä kärkipisteenä. Ristikulmio on ei-kupera monikulmio. Tähtipoligonit ovat poikkipoligoneja, joten ne eivät ole kuperia.

Kun monikulmion kaikki sivut ovat samanpituisia, niin meillä on normaali monikulmio. Kaikki säännölliset polygonit ovat kuperat.

Kupera ja ei-kupera monikulmio

Kuvio 1 esittää useita monikulmioita, osa niistä on kupera ja osa niistä ei. Analysoidaan niitä:

Numero 1 on kolmipuolinen monikulmio (kolmio) ja kaikki sisäkulmat ovat alle 180º, joten se on kupera monikulmio. Kaikki kolmiot ovat kuperia monikulmioita.

Numero 2 on nelisivuinen monikulmio (nelikulmainen), jossa mikään sivu ei leikkaa ja jokainen sisäkulma on alle 180º. Se on sitten kupera monikulmio, jolla on neljä sivua (kupera nelikulmainen).

Toisaalta numero 3 on monikulmio, jolla on neljä sivua, mutta yksi sen sisäkulmista on suurempi kuin 180º, joten se ei täytä kupevuusolosuhteita. Eli se on ei-kupera nelipuolinen monikulmio, jota kutsutaan koveraksi nelikulmaiseksi.

Numero 4 on monikulmio, jossa on neljä segmenttiä (sivut), joista kaksi leikkaa. Neljä sisäkulmaa on alle 180º, mutta koska kaksi sivua leikkaavat sen, se on ei-kupera ristikkäin monikulmio (ristissä nelikulmainen).

Toinen tapaus on numero 5. Tämä on monikulmio, jolla on viisi sivua, mutta koska yksi sen sisäkulmista on suurempi kuin 180º, meillä on silloin kovera monikulmio.

Lopuksi numerolla 6, jolla on myös viisi sivua, on kaikki sisäkulmat alle 180º, joten se on kupera monikulmio, jolla on viisi sivua (kupera viisikulma).

Kuperan monikulmion ominaisuudet

1- Poikittainen monikulmio tai yksinkertainen monikulmio jakaa tason, joka sisältää sen, kahteen alueeseen. Sisäinen alue ja ulompi alue, monikulmio on raja näiden kahden alueen välillä.

Mutta jos monikulmio on lisäksi kupera, niin meillä on sisätilojen alue, joka on yksinkertaisesti kytketty, mikä tarkoittaa, että ottamalla kaksi pistettä sisäalueelta, sen voi aina yhdistää segmentti, joka kuuluu kokonaan sisäalueelle.

Kuva 2. Kupera monikulmio on yksinkertaisesti kytketty, kun taas kovera ei ole. (Valmistaja Ricardo Pérez).

2- Jokaisen kuperan monikulmion sisäkulma on pienempi kuin tasokulma (180º).

3 - Kaikki kuperan monikulmion sisäpisteet kuuluvat aina kahteen peräkkäisen kärjen läpi kulkevan viivan määrittelemään puolitasoon.

4- Kuperalla monikulmion alueella kaikki diagonaalit ovat kokonaan sisemmän monikulmaisen alueen sisällä.

5- Kuperan monikulmion sisäpisteet kuuluvat kokonaan kuperaan kulma sektoriin, joka määritetään kunkin sisäkulman avulla.

6- Jokainen monikulmio, jonka kaikki kärkipisteet ovat kehällä, on kupera monikulmio, jota kutsutaan sykliseksi monikulmioksi.

7- Jokainen syklinen monikulmio on kupera, mutta jokainen kupera monikulmio ei ole syklinen.

8- Mikä tahansa ylittämätön monikulmio (yksinkertainen monikulmio), jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä, on kupera ja tunnetaan säännöllisenä monikulmiona.

Diagonaalit ja kulmat kuperissa polygoneissa

9- N-puolisen kuperan monikulmion diagonaalien kokonaismäärä N lasketaan seuraavalla kaavalla:

N = ½ n (n - 3)

Todistus: Kuperissa monikulmiossa, jossa kunkin kärkipisteen n puolta on, piirretään n - 3 diagonaalia, koska itse kärki ja kaksi vierekkäistä jätetään pois. Koska kärkipisteitä on n, piirretään yhteensä n (n - 2) diagonaalia, mutta jokainen diagonaali piirrettiin kahdesti, joten diagonaalien lukumäärä (ilman toistoa) on n (n-2) / 2.

10- N-puolisen kuperan monikulmion sisäkulmien summa S lasketaan seuraavasta suhteesta:

S = (n - 2) 180 °

esimerkit

Esimerkki 1

Syklinen kuusikulmio on monikulmio, jolla on kuusi sivua ja kuusi huippua, mutta kaikki kärjet ovat samalla kehällä. Jokainen syklinen monikulmio on kupera.

Syklinen kuusikulmio.

Esimerkki 2

Määritä normaalin kulmion sisäkulmien arvo.

Ratkaisu: Enegon on 9-puolinen monikulmio, mutta jos se on myös säännöllinen, kaikki sen sivut ja kulmat ovat samat.

9-puolisen monikulmion kaikkien sisäkulmien summa on:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Mutta yhtä suureen α on 9 sisäistä kulmaa, joten seuraavan tasa-arvon on täytyttävä:

S = 9 a = 1260 °

Mistä seuraa, että säännöllisen enegonin kunkin sisäkulman mitta α on:

a = 1260º / 9 = 140º