ARCHIMEDES-PERIAATE: KAAVA, TODISTE, SOVELLUKSET - FYYSINEN - 2026

Arkhimedeen " periaate todetaan, että elin on upotettu kokonaan tai osittain, pystysuoraan ylöspäin voima kutsutaan työntövoima, joka on painoa vastaava tilavuuden syrjäytyneen nesteen elimistöön.

Jotkut esineet kelluvat vedessä, osa uppoaa ja osa osittain veden alla. Rantapallon upottamiseksi on tarpeen pyrkiä, koska heti havaitaan se voima, joka yrittää palauttaa sen pinnalle. Sen sijaan metalli pallo uppoaa nopeasti.

Kuva 1. Kelluvat ilmapallot: Archimedes-periaate toiminnassa. Lähde: Pixabay.

Toisaalta upotetut esineet näyttävät kevyemmiltä, ​​siksi nesteen kohdistama voima painoa vastapäätä. Mutta se ei aina pysty kompensoimaan painovoimaa. Ja vaikka veden kanssa on selvempää, kaasut kykenevät myös tuottamaan tämän voiman niihin upotettuihin esineisiin.

Historia

Syrakusan Archimedes (287–212 eKr.) Oli se, jonka täytyi löytää tämä periaate, koska se oli yksi historian suurimmista tutkijoista. He sanovat, että Syrakusan kuningas Hiero II määräsi kultasepän tekemään hänelle uuden kruunun, jonka hän antoi hänelle tietyn määrän kultaa.

Arkhimedes

Kun kuningas sai uuden kruunun, se oli oikein painoinen, mutta hän epäili, että kultaseppä oli pettänyt hänet lisäämällä hopeata kullan sijasta. Kuinka hän pystyi todistamaan sen tuhouttamatta kruunua?

Hiero kutsui Archimedesia, jonka maine tutkijana oli tunnettu, auttamaan häntä ratkaisemaan ongelma. Legenda kertoo, että Archimedes oli uppoutunut kylpyammeeseen löydettyään vastauksen, ja sellaisena hänen tunteensa oli, että hän juoksi alasti Syrakusan kaduilla etsiäkseen kuninkaata ja huusi "eureka", joka tarkoittaa "löysin hänet".

Mitä Archimedes löysi? No, kun otat kylpyammeen, kylpyammeen vedenkorkeus nousi, kun hän meni sisään, mikä tarkoittaa, että upotettu ruumis syrjäyttää tietyn määrän nestettä.

Ja jos hän upotti kruunun veteen, tämän piti myös syrjäyttää tietty määrä vettä, jos kruunu oli tehty kullasta, ja toisen, jos kruunu oli tehty metalliseoksesta hopealla.

Kaava

Nopeusvoima, johon Archimedesin periaate viittaa, tunnetaan hydrostaattisena työntövoimana tai kelluvana voimana, ja kuten olemme sanoneet, se on yhtä suuri kuin nestetilavuuden paino, jonka vartalo siirtää upotettaessa.

Siirtynyt tilavuus on yhtä suuri kuin kokonaan tai osittain upotetun esineen tilavuus. Koska minkä tahansa paino on mg ja nesteen massa on tiheys x tilavuus, joka ilmaisee työntövoiman suuruuden B: na, matemaattisesti meillä on:

B = m _neste xg = nesteen tiheys x upotettu tilavuus x painovoima

B = ρ _neste x V _upotettu xg

Missä kreikkalainen kirjain ρ ("rho") tarkoittaa tiheyttä.

Näennäinen paino

Esineiden paino lasketaan käyttämällä tuttua mg-lauseketta, mutta asiat tuntuvat kevyemmiltä veteen upotettaessa.

Kohteen näennäispaino on se, joka sillä on, kun se upotetaan veteen tai muuhun nesteeseen ja kun se tunnetaan, voidaan saada epäsäännöllisen esineen, kuten kuningas Hieron kruunun, tilavuus, kuten jäljempänä esitetään.

Tätä varten se upotetaan kokonaan veteen ja kiinnitetään dynamometriin kiinnitettyyn naruun - instrumenttiin, joka on varustettu jousella, jota käytetään voimien mittaamiseen. Mitä suurempi esineen paino, sitä suurempi jousen venymä, joka mitataan laitteistolla varustetulla asteikolla.

Kuva 2. Upotetun esineen näkyvä paino. Lähde: F. Zapata.

Newtonin toisen lain soveltaminen tietäen, että esine on levossa:

ΣF _y = B + T - W = 0

Näennäispaino W _a on jännityksen jono T: ssä:

Koska työntövoima kompensoi painon, koska nesteosa on levossa, niin:

Tästä lausekkeesta seuraa, että työntövoima johtuu sylinterin yläpinnan ja alapinnan välisestä paine-erosta. Koska W = mg = ρ neste. V. g, sen on:

Mikä on tarkalleen ilmaisu edellisessä osassa mainitulle työntövoimalle.

Sovellukset

Archimedesin periaate esiintyy monissa käytännön sovelluksissa, joista voidaan mainita:

- Aerostaattinen ilmapallo. Joka, koska sen keskimääräinen tiheys on pienempi kuin ympäröivän ilman tiheys, kelluu siinä työntövoiman vuoksi.

- Laivat. Laivojen runko on vettä raskaampaa. Mutta jos otetaan huomioon koko runko ja sen sisällä oleva ilma, kokonaismassan ja tilavuuden välinen suhde on pienempi kuin veden, ja tästä syystä laivat kelluvat.

- Pelastusliivit. Kevyistä ja huokoisista materiaaleista valmistetut ne kykenevät kellumaan, koska massa-tilavuussuhde on alhaisempi kuin vedessä.

- Kellua sulkeaksesi vesisäiliön täyttöhanan. Se on suuren määrän ilmalla täytetty pallo, joka kelluu veden päällä, mikä aiheuttaa työntövoiman - kerrottuna vivutehosteella - sulkemaan vesisäiliön täyttöhanan korkin, kun se on saavuttanut tason. kaikki yhteensä.

esimerkit

Esimerkki 1

Legenda kertoo, että kuningas Hiero antoi kultajalle tietyn määrän kultaa kruunun valmistamiseksi, mutta epäluottava hallitsija ajatteli, että kultaseppä olisi huijannut asettamalla kruunun sisään vähemmän kultaa arvokkaan metallin. Mutta kuinka hän voisi tietää hävittämättä kruunua?

Kuningas uskoi ongelman Archimedesiin ja ratkaisua etsiessään hän löysi kuuluisan periaatteensa.

Oletetaan, että korona painaa ilmassa 2,10 kg-f ja veteen upotettuna 1,95 kg-f. Onko tässä tapauksessa petoksia vai ei?

Kuva 5. Kuningas Heronin kruunun vapaa ruumiin kaavio. Lähde: F. Zapata

Voimien kaavio on esitetty yllä olevassa kuvassa. Nämä voimat ovat: kruunun paino P, työntövoima E ja köyden jännitys T, joka roikkuu asteikosta.

Tiedetään, että P = 2,10 kg-f ja T = 1,95 kg-f, on edelleen määritettävä työntövoiman suuruus E:

Toisaalta Archimedesin periaatteen mukaan työntövoima E vastaa veden painoa, joka on siirretty kruunun käyttämästä tilasta, toisin sanoen veden tiheys ja kruunun tilavuus painon kiihtyvyydestä johtuen:

Mistä kruunun tilavuus voidaan laskea:

Kruunun tiheys on vedessä olevan kruunun massan ja sen tilavuuden välinen osamäärä:

Puhtaan kullan tiheys voidaan määrittää samanlaisella menettelyllä ja tulos on 19300 kg / m ^ 3.

Vertailemalla kahta tiheyttä on selvää, että kruunu ei ole puhdasta kultaa!

Esimerkki 2

Tietojen ja esimerkin 1 tuloksen perusteella on mahdollista määrittää, kuinka paljon kulta varastai kultasepän siinä tapauksessa, että osa kullasta on korvattu hopealla, jonka tiheys on 10 500 kg / m ^ 3.

Me kutsumme kruunun tiheydeksi ρc, ρo kullan tiheydeksi ja ρ _p hopean tiheydeksi.

Kruunun kokonaismassa on:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Kruunun kokonaistilavuus on hopean tilavuus plus kullan tilavuus:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Korvaa massan yhtälössä:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

Eli kullan tilavuus Vo, joka sisältää kruunun kokonaistilavuudesta V, on:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0,00015 m ^ 3 (14 000–10 500) / (19300–10500) = 0,00005966 m ^ 3

Kruunun sisältämän kullan painon löytämiseksi kerrotaan Vo kullan tiheydellä:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Koska kruunun massa on 2,10 kg, tiedämme, että kultaseppä varasti 0,94858 kg kultaa ja korvasi hopealla.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Valtava heliumpallo pystyy pitämään ihmisen tasapainossa (nousematta ylös tai alas).

Oletetaan, että ihmisen paino plus kori, köydet ja ilmapallo on 70 kg. Mikä on heliumin tilavuus, jotta sitä tapahtuu? Kuinka iso ilmapallo pitäisi olla?

Ratkaisu

Oletetaan, että työntövoima syntyy pääasiassa heliumin tilavuudesta ja että muiden komponenttien työntövoima on erittäin pieni verrattuna heliumin, joka vie paljon enemmän tilaa, työntövoimaan.

Tässä tapauksessa se vaatii heliumin määrän, joka pystyy tuottamaan 70 kg: n työntövoiman + heliumin paino.

Kuva 6. Vapaa runkokaavio heliumilla täytetystä palloista. Lähde: F. Zapata.

Työntövoima on heliumin tilavuuden ja heliumin tiheyden sekä painovoiman kiihtyvyyden tulos. Tämän työntämisen on kompensoitava heliumin paino plus kaikkien muiden paino.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

josta päätellään, että V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Eli 65,4 m ^ 3 heliumia tarvitaan ilmakehän paineessa, jotta se voi nousta.

Jos oletetaan pallomainen maapallo, voimme löytää sen säteen tilavuudesta ja pallon säteestä:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Mistä R = 2,49 m. Toisin sanoen, se vaatii halkaisijaltaan 5 m: n pallo, joka on täytetty heliumilla.

Harjoitus 2

Materiaalit, joiden tiheys on pienempi kuin vesi, leijuu siinä. Oletetaan, että sinulla on polystyreeniä (valkoinen korkki), puuta ja jääkuutioita. Niiden tiheydet kilogrammoina kuutiometriä kohti ovat vastaavasti: 20, 450 ja 915.

Selvitä, mikä osuus kokonaistilavuudesta on veden ulkopuolella ja kuinka korkea se on veden pinnan yläpuolella, ottaen veden tiheydeksi 1000 kiloa kuutiometriä kohti.

Ratkaisu

Kelluvuus tapahtuu, kun ruumiin paino on yhtä suuri kuin veden aiheuttama työntövoima:

E = Mg

Kuva 7. Osittain upotetun esineen vapaa runkokaavio. Lähde: F. Zapata.

Paino on kehon tiheys Dc kerrottuna sen tilavuudella V ja painovoiman kiihtyvyydellä g.

Työntövoima on Archimedesin periaatteen mukaisesti siirretyn nesteen paino ja se lasketaan kertomalla veden tiheys D upotetulla tilavuudella V 'ja painovoiman kiihtyvyydellä.

Tuo on:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Mikä tarkoittaa, että upotettu tilavuusosuus on yhtä suuri kuin ruumiin tiheyden ja veden tiheyden välinen osamäärä.

Toisin sanoen jäljellä oleva tilavuusosa (V '' / V) on

Jos h on ylityskorkeus ja L kuution puoli, tilavuusosuus voidaan kirjoittaa muodolla

Joten tilattujen materiaalien tulokset ovat:

Polystyreeni (valkoinen korkki):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% vedestä

Puu:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% vedestä

ice:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% vedestä

Viitteet

1. Bauer, W. 2011. Fysiikka tekniikan ja tieteiden aloille. Nide 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Perusteet ja sovellukset. Ensimmäinen painos. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Sarja: Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Osa 4: Nesteet ja termodynamiikka. Toimittanut Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Nesteiden mekaniikka ja hydrauliikka. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fysiikan perusteet. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fysiikka: Käsitteet ja sovellukset. 7. painos. McGraw Hill.