MONINKERTAINEN PERIAATE: LASKENTATEKNIIKAT JA ESIMERKIT - MATEMATIIKKA - 2025

Kerrottavat periaate on tekniikka, jota käytetään ratkaisemaan laskenta ongelmia löytää ratkaisu ilman listata elementtejä. Se tunnetaan myös yhdistelmäanalyysin perusperiaatteena; se perustuu peräkkäiseen kertolaskuun sen määrittämiseksi, miten tapahtuma voi tapahtua.

Tämän periaatteen mukaan jos päätös (d ₁) voidaan tehdä n tavalla ja toinen päätös (d ₂) voidaan tehdä m tavalla, päätösten d ₁ ja d ₂ tekemiskeinojen kokonaismäärä on yhtä suuri kerrotaan luvusta n _* m. Periaatteen mukaan jokainen päätös tehdään peräkkäin: tapojen lukumäärä = N _{1 *} N ₂ … _* N _x tapoja.

esimerkit

Esimerkki 1

Paula aikoo mennä elokuviin ystäviensä kanssa ja valita vaatteet, joita hän käyttää, erotan 3 puserot ja 2 hame. Kuinka monella tapaa Paula voi pukeutua?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa Paulan on tehtävä kaksi päätöstä:

d ₁ = Valitse kolmesta puserosta = n

d ₂ = Valitse 2 hameesta = m

Tällä tavoin Paulalla on n _* m päätöksiä tehdä tai erilaisia ​​pukeutumistapoja.

n _* m = 3 _* 2 = 6 päätöstä.

Kertolaskuperiaate syntyy puukaavion tekniikasta, joka on kaavio, joka kuvaa kaikkia mahdollisia tuloksia, niin että jokainen voi tapahtua rajallisen monta kertaa.

Esimerkki 2

Mario oli hyvin janoinen, joten hän meni leipomolle ostamaan mehua. Luis käy hänen luonaan ja kertoo hänelle, että sitä on kahta kokoa: iso ja pieni; ja neljä makua: omena, appelsiini, sitruuna ja rypäle. Kuinka monella tapaa Mario voi valita mehu?

Ratkaisu

Kaaviosta voidaan nähdä, että Mariolla on kahdeksan erilaista tapaa valita mehu ja että, kuten kertolaskuperiaatteessa, tämä tulos saadaan kertomalla n _* m. Ainoa ero on, että tämän kaavion avulla voit nähdä, miten Mario valitsee mehu.

Toisaalta, kun mahdollisten tulosten lukumäärä on erittäin suuri, on käytännöllisempää käyttää kertolaskuperiaatetta.

Laskentatekniikat

Laskentatekniikat ovat menetelmiä, joita käytetään suorien laskelmien tekemiseen, ja siten tietää, kuinka monta mahdollista järjestelyä tietyn joukon elementeillä voi olla. Nämä tekniikat perustuvat useisiin periaatteisiin:

Lisäysperiaate

Periaatteessa todetaan, että jos kahta tapahtumaa m ja n ei voida esiintyä samanaikaisesti, ensimmäisen tai toisen tapahtuman tapaantumismäärä on m + n summa:

Muotojen lukumäärä = m + n… + x erilaista muotoa.

esimerkki

Antonio haluaa matkan, mutta ei päätä mihin määränpäähän; Eteläisen matkailuviraston alueella he tarjoavat sinulle tarjouksen matkustaa New Yorkiin tai Las Vegasiin, kun taas itäinen matkailuvirasto suosittelee matkustamista Ranskaan, Italiaan tai Espanjaan. Kuinka monta eri matkavaihtoehtoa Antonio tarjoaa sinulle?

Ratkaisu

Eteläisen matkailuviraston kanssa Antonilla on 2 vaihtoehtoa (New York tai Las Vegas), kun taas itäisen matkailuviraston kanssa hänellä on 3 vaihtoehtoa (Ranska, Italia tai Espanja). Eri vaihtoehtojen lukumäärä on:

Vaihtoehtojen lukumäärä = m + n = 2 + 3 = 5 vaihtoehtoa.

Permutaation periaate

Kyse on kaikkien tai joidenkin elementtien, jotka muodostavat sarjan, tilaamisesta, jotta voidaan helpottaa kaikkien elementtien kanssa mahdollisesti järjestettävien järjestelyjen laskemista.

N: n eri elementin permutaatioiden lukumäärä, kokonaisuutena ottaen, esitetään seuraavasti:

_n P _n = n!

esimerkki

Neljä ystävää haluaa ottaa kuvan ja tietää kuinka monella eri tavalla ne voidaan järjestää.

Ratkaisu

Haluat tietää joukon kaikkia mahdollisia tapoja, joilla 4 henkilöä voidaan sijoittaa ottamaan kuva. Siten sinun on:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 eri muotoa.

Jos n käytettävissä olevan elementin permutaatioiden lukumäärä otetaan joukosta r-elementteistä koostuvia ryhmiä, se esitetään seuraavasti:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

esimerkki

Luokkahuoneessa on 10 paikkaa. Jos 4 opiskelijaa käy luokassa, kuinka monella eri tavalla opiskelijat voivat täyttää tehtävät?

Ratkaisu

Meillä on, että tuolien kokonaismäärä on 10, ja niistä käytetään vain 4. Annettua kaavaa käytetään määrittämään permutaatioiden lukumäärä:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 tapaa täyttää paikat.

Joissain tapauksissa jotkut joukon käytettävissä olevista elementeistä toistetaan (ne ovat samat). Kaikkia elementtejä ottavien taulukkojen lukumäärän laskemiseksi käytetään seuraavaa kaavaa:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

esimerkki

Kuinka monta eri neljää kirjainta voidaan muodostaa sanasta "susi"?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa on 4 elementtiä (kirjainta), joista kaksi on täsmälleen samat. Annettua kaavaa soveltamalla tiedetään, kuinka monta eri sanaa johtaa:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 erilaista sanaa.

Yhdistelmäperiaate

Kyse on kaikkien tai joidenkin elementtien, jotka muodostavat sarjan, järjestämisestä ilman erityistä tilausta. Esimerkiksi, jos sinulla on XYZ-järjestely, se on identtinen muun muassa ZXY-, YZX-, ​​ZYX-järjestelyjen kanssa; tämä johtuu siitä, että huolimatta siitä, että ne eivät ole samassa järjestyksessä, kunkin järjestelyn elementit ovat samat.

Kun jotkut elementit (r) otetaan joukosta (n), yhdistämisperiaate annetaan seuraavalla kaavalla:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

esimerkki

Kaupassa he myyvät 5 erityyppistä suklaata. Kuinka monella eri tavalla voidaan valita 4 suklaata?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa 4 suklaata on valittava viidestä tyypistä, joita ne myyvät kaupassa. Niiden valintajärjestyksellä ei ole merkitystä, ja lisäksi suklaatyyppi voidaan valita enemmän kuin kahdesti. Kaavaa soveltaen sinun on:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 eri tapaa valita 4 suklaata.

Kun joukon (n) kaikki elementit (r) otetaan, yhdistelmäperiaate annetaan seuraavalla kaavalla:

_n C _{n =} n!

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Siellä on baseball-joukkue, jossa on 14 jäsentä. Kuinka monella tapaa 5 paikkaa voidaan osoittaa pelille?

Ratkaisu

Sarja koostuu 14 elementistä ja haluat määrittää 5 erityistä sijaintia; eli järjestys on tärkeä. Permutaatiokaavaa käytetään silloin, kun n käytettävissä olevaa elementtiä otetaan joukosta r: n muodostamat joukot.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Missä n = 14 ja r = 5. Se korvataan kaavassa:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 tapaa määrittää 9 pelipaikkaa.

Harjoitus 2

Jos 9-vuotias perhe menee matkalle ja ostaa lippuja peräkkäisillä paikoilla, kuinka monella eri tavalla he voivat istua?

Ratkaisu

Se on noin 9 elementtiä, jotka vievät 9 paikkaa peräkkäin.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 erilaista istumistapaa.

Viitteet

1. Hopkins, B. (2009). Resurssit diskreetin matematiikan opettamiseen: luokkaprojektit, historiamoduulit ja artikkelit.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskreetti matematiikka. Pearson koulutus,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Äärellinen ja erillinen matematiikan ongelmanratkaisija. Tutkimus- ja koulutusyhdistyksen toimittajat.
4. Padró, FC (2001). Diskreetti matematiikka. Politec. Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Soveltavien tieteiden matematiikka. Reverte.