EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS: KAAVA JA YHTÄLÖT, OMINAISUUDET, ESIMERKIT - DUDAS - 2026

Ehdollinen todennäköisyys on mahdollisuus esiintymisen tietyn tapahtuman, koska toinen tapahtuu ehtona. Nämä lisätiedot voivat (tai eivät ehkä) muuttaa käsitystä siitä, että jotain tapahtuu.

Voimme esimerkiksi kysyä itseltämme: "Mikä on todennäköisyys, että tänään sataa, koska se ei ole saanut kaksi päivää?" Tapahtuma, jolle haluamme tietää todennäköisyyden, on, että sataa tänään, ja vastauksen ehdollisena pitävä lisätieto on, että ”se ei ole saanut kaksi päivää”.

Kuvio 1. Todennäköisyys, että tänään sataa, koska eilen satoi, on myös esimerkki ehdollisesta todennäköisyydestä. Lähde: Pixabay.

Olkoon todennäköisyystila koostu- malla Ω (näytetila), ℬ (satunnaiset tapahtumat) ja P (kunkin tapahtuman todennäköisyys) plus events: een kuuluvat tapahtumat A ja B.

Ehdollinen todennäköisyys, että A esiintyy, kun otetaan huomioon, että B tapahtui, jota kutsutaan P (A│B), määritellään seuraavasti:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ja B) / P (B)

Missä: P (A) on A: n esiintymisen todennäköisyys, P (B) on tapahtuman B todennäköisyys ja eroaa nollasta, ja P (A∩B) on A: n ja B: n leikkauksen todennäköisyys, ts., todennäköisyys, että molemmat tapahtumat tapahtuvat (yhteinen todennäköisyys).

Tämä on ilmaus Bayesin lauseesta, jota sovellettiin kahteen tapahtumaan, jonka englantilainen teologi ja matemaatikko Thomas Bayes ehdotti vuonna 1763.

ominaisuudet

-Kaikki ehdolliset todennäköisyydet ovat välillä 0 ja 1:

0 <P (A│B) ≤ 1

- Todennäköisyys, että tapahtuma A tapahtuu, ottaen huomioon mainitun tapahtuman tapahtuvan, on selvästi 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Jos kaksi tapahtumaa ovat yksinomaisia, ts. Tapahtumia, jotka eivät voi tapahtua samanaikaisesti, ehdollisena todennäköisyytenä, että yksi niistä tapahtuu, on 0, koska leikkaus on nolla:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Jos B on A: n osajoukko, ehdollisen todennäköisyyden arvo on myös 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Tärkeä

P (A│B) ei yleensä ole yhtä suuri kuin P (B│A), joten meidän on oltava varovaisia, ettet vaihda tapahtumia etsittäessä ehdollista todennäköisyyttä.

Kertomuksen yleinen sääntö

Monta kertaa haluat löytää yhteisen todennäköisyyden P (A∩B) ehdollisen todennäköisyyden sijasta. Sitten seuraavan lauseen kautta meillä on:

P (A∩B) = P (A ja B) = P (A│B). P (B)

Lause voidaan laajentaa kolmeen tapahtumaan A, B ja C:

P (A∩B∩C) = P (A ja B ja C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Ja myös erilaisille tapahtumille, kuten A ₁, A ₂, A ₃ ja enemmän, se voidaan ilmaista seuraavasti:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n) = P (A ₁). P (A ₂ ~ A ₁). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││ A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

Kun kyse on tapahtumista, jotka tapahtuvat peräkkäin ja eri vaiheissa, on kätevää järjestää data kaavioon tai taulukkoon. Tämän avulla on helpompi visualisoida vaihtoehtoja saavuttaa pyydetty todennäköisyys.

Esimerkkejä ovat puukaavio ja varataulukko. Yhden niistä voit rakentaa toisen.

Esimerkkejä ehdollisesta todennäköisyydestä

Katsotaanpa joitain tilanteita, joissa yhden tapahtuman todennäköisyydet muuttuvat toisen tapahtuessa:

- Esimerkki 1

Makeakaupassa myydään kahden tyyppisiä kakkuja: mansikka ja suklaa. Rekisteröimällä molempien sukupuolten 50 asiakkaan mieltymykset määritettiin seuraavat arvot:

-27 naista, joista 11 mieluummin mansikkakakkua ja 16 suklaata.

-23 miestä: 15 valitse suklaata ja 8 mansikkaa.

Todennäköisyys, että asiakas valitsee suklaakakun, voidaan määrittää soveltamalla Laplacen sääntöä, jonka mukaan minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on:

P = suotuisten tapahtumien lukumäärä / tapahtumien kokonaismäärä

Tässä tapauksessa 50: stä asiakkaasta yhteensä 31 suosii suklaata, joten todennäköisyys olisi P = 31/50 = 0,62. Eli 62% asiakkaista suosii suklaakakkua.

Mutta olisiko erilainen, jos asiakas on nainen? Tämä on ehdollisen todennäköisyyden tapaus.

Valmiustaulukko

Tällaista ennakoitaulukkoa käyttämällä kokonaisarvot näytetään helposti:

Sitten havaitaan suotuisat tapaukset ja Laplacen sääntöä sovelletaan, mutta määrittelemme ensin tapahtumat:

-B on "naisasiakas" -tapahtuma.

-A on "mieluummin suklaakakku" -tapahtuma naisena.

Menemme sarakkeeseen, jonka otsikko on "naiset", ja siellä näemme, että kokonaisarvo on 27.

Sitten suotavaa tapausta haetaan "suklaa" -riviltä. Näitä tapahtumia on 16, joten todennäköisyys on suoraan:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% naisasiakkaista suosii suklaakakkua.

Tämä arvo vastaa, kun verrataan sitä ehdollisen todennäköisyyden alun perin annettuan määritelmään:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Varmistamme, että käytämme Laplacen sääntöä ja taulukon arvoja:

P (B) = 27/50

P (A ja B) = 16/50

Missä P (A ja B) on todennäköisyys, että asiakas suosii suklaata ja on nainen. Nyt arvot korvataan:

P (A│B) = P (A ja B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Ja on todistettu, että tulos on sama.

- Esimerkki 2

Tässä esimerkissä sovelletaan kertolaskua. Oletetaan, että kaupassa on kolmen kokoisia housuja: pieniä, keskikokoisia ja suuria.

Mikä on todennäköisyys erottaa kaksi niistä ja jos molemmat ovat pieniä, jos erässä on yhteensä 24 housua, joita on 8 jokaisessa koossa ja kaikkia on sekoitettu, sekoitetaan?

On selvää, että todennäköisyys pienten housujen poistamiseen ensimmäisellä yrityksellä on 8/24 = 1/3. Nyt toinen erottaminen on ehdollinen ensimmäiselle tapahtumalle, koska housut poistettaessa ei enää ole 24 vaan 23. Ja jos pienet housut poistetaan, niitä on 7 sijaan 8.

Tapahtuma A vetää yhden pienen housun, kun hän on vetänyt toisen jo ensimmäisessä kokeessa. Ja tapahtuma B on pienten housujen ensimmäinen kerta. Täten:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Lopuksi, käyttämällä kertolaskua:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Harjoitus ratkaistu

Kaupallisten lentojen täsmällisyyttä koskevassa tutkimuksessa on saatavana seuraavat tiedot:

-P (B) = 0,83, on todennäköisyys, että kone nousee ajoissa.

-P (A) = 0,81, on todennäköisyys laskeutua ajallaan.

-P (B∩A) = 0.78 on todennäköisyys, että lento saapuu ajoissa lentoonlähdön aikana.

Sitä pyydetään laskemaan:

a) Mikä on todennäköisyys, että lentokone laskeutuu ajoissa, koska se nousi ajoissa?

b) Onko yllä mainittu todennäköisyys sama kuin todennäköisyys, että jätit ajoissa, jos onnistuit laskeutumaan ajoissa?

c) Ja lopuksi: mikä on todennäköisyys, että se saapuu ajoissa, koska se ei lähtenyt ajoissa?

Kuva 2. Kaupallisten lentojen täsmällisyys on tärkeä, koska viivästykset aiheuttavat miljoonien dollarien menetyksiä. Lähde: Pixabay.

Ratkaisu

Kysymykseen vastaamiseksi käytetään ehdollisen todennäköisyyden määritelmää:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A ja B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Ratkaisu b

Tässä tapauksessa määritelmän tapahtumat vaihdetaan:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A ja B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Huomaa, että tämä todennäköisyys eroaa hieman edellisestä, kuten aiemmin huomautimme.

Ratkaisu c

Todennäköisyys olla poistumatta ajallaan on 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, kutsumme sitä P (B ^C), koska se on täydentävä tapahtuma, joka lähtee ajoissa. Ehdollinen todennäköisyys on:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A ja B ^C) / P (B ^C)

Toisaalta:

P (A∩B ^C) = P (lasku ajoissa) - P (lasku oikeaan aikaan ja lentoon ajoissa) = 0,81-0,78 = 0,03

Tässä tapauksessa pyydetty ehdollinen todennäköisyys on:

P (A│B ^C) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Viitteet

1. Canavos, G. 1988. Todennäköisyys ja tilastot: Sovellukset ja menetelmät. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Todennäköisyys ja tilastotiede tekniikan ja tieteen suhteen. 8. päivä. Painos. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum-sarja: todennäköisyys. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Todennäköisyyden teoria. Toimituksellinen Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Tekniikan ja tieteiden todennäköisyys ja tilastot. Pearson.
6. Wikipedia. Ehdollinen todennäköisyys. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.