POLYTROPINEN PROSESSI: OMINAISUUDET, SOVELLUKSET JA ESIMERKIT - FYYSINEN - 2026

Polytrooppinen prosessi on termodynaaminen prosessi, joka tapahtuu, kun suhde paineen P ja tilavuus V antama PV ⁿ pidetään vakiona. Eksponentti n on reaaliluku, yleensä nollan ja äärettömyyden välillä, mutta joissakin tapauksissa se voi olla negatiivinen.

N-arvoa kutsutaan polytropiaindeksi ja on tärkeätä huomata, että polytrooppisen termodynaamisen prosessin aikana mainitun indeksin on oltava kiinteä arvo, muuten prosessia ei pidetä polytropisena.

Kuva 1. Polytrooppisen termodynaamisen prosessin ominaisyhtälö. Lähde: F. Zapata.

Polytrooppisten prosessien ominaispiirteet

Joitakin polytrooppisten prosessien tyypillisiä tapauksia ovat:

- Isoterminen prosessi (vakiolämpötilassa T), jossa eksponentti on n = 1.

- Isobarinen prosessi (vakiopaineessa P), tässä tapauksessa n = 0.

- Isohorinen prosessi (vakiona tilavuudella V), jolle n = + ∞.

- Adiabaattiset prosessit (vakiona S-entropiassa), joissa eksponentti on n = γ, missä γ on adiabaattinen vakio. Tämä vakio on jakelu lämpökapasiteetin välillä vakiopaineessa Cp jaettuna lämpökapasiteetilla vakiotilavuudessa Cv:

y = Cp / Cv

- Mikä tahansa muu termodynaaminen prosessi, joka ei ole yksi aiemmista tapauksista. mutta se, joka täyttää PV ⁿ = ctte: llä todellisen ja vakion polytrooppisen indeksin n, on myös polytropinen prosessi.

Kuva 2. Polytrooppisten termodynaamisten prosessien erityispiirteet. Lähde: Wikimedia Commons.

Sovellukset

Yksi polytrooppisen yhtälön pääsovelluksista on suljetun termodynaamisen järjestelmän tekemän työn laskeminen, kun se siirtyy alkuperäisestä tilasta lopputilaan kvasistaattisella tavalla, toisin sanoen tasapainotilojen peräkkäisen seurauksena.

Työskentely polytrooppisissa prosesseissa n: n eri arvoille

N ≠ 1: lle

Suljetun termodynaamisen järjestelmän suorittama mekaaninen työ W lasketaan lausekkeella:

W = ∫P.dV

Missä P on paine ja V on tilavuus.

Kuten polytrooppisessa prosessissa, paineen ja tilavuuden välinen suhde on:

Mekaaninen työ on tehty polytrooppisessa prosessissa, joka alkaa alkutilassa 1 ja päättyy lopputilaan 2. Kaikki tämä ilmenee seuraavasta lausekkeesta:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Korvaamalla vakioarvon arvo lausekkeessa saadaan:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁) / (1-n)

Jos työaine voidaan mallintaa ideaalikaasuksi, meillä on seuraava tilayhtälö:

PV = mRT

Missä m on ihanteellisen kaasun moolimäärä ja R on yleinen kaasuvakio.

Ihanteellinen kaasua, joka seuraa polytrooppinen prosessi, jolla on polytropy indeksi eri yhtenäisyyttä ja joka kulkee tilasta, jossa ensimmäinen lämpötila T ₁ toiseen tilaan, jossa lämpötila T ₂, työtä saadaan seuraavalla kaavalla:

W = m R (T ₂ - T ₁) / (1-n)

Kohdassa n → ∞

Edellisessä osassa saadun työn kaavan mukaan meillä on, että polytrooppisen prosessin työ, jolla on n = ∞, on nolla, koska työn ilmaisu on jaettu äärettömyyteen ja siksi tulos taipuu nollaan.

Toinen tapa saavuttaa tämä tulos on aloittaa suhteesta P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ, joka voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

(P ₁ / P ₂) = (V ₂ / V1) ⁿ

Kun jokaisessa jäsenessä on n. Juuri, saamme:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂) ^{(1 / n)}

Jos n → ∞, meillä on (V ₂ / V1) = 1, mikä tarkoittaa, että:

V ₂ = V ₁

Eli tilavuus ei muutu polytropisessa prosessissa n → with kanssa. Siksi tilavuusero dV mekaanisen työn integroinnissa on 0. Tämän tyyppisiä polytropisia prosesseja kutsutaan myös isohorisiksi prosesseiksi tai vakiotilavuusprosesseiksi.

N = 1: lle

Jälleen meillä on lauseke työn ilmaisu:

W = ∫P dV

Polytrooppisessa prosessissa, jossa n = 1, paineen ja tilavuuden välinen suhde on:

PV = vakio = C

Ratkaisemalla P edellisestä lausekkeesta ja korvaamalla saadaan työ siirtyä alkutilasta 1 lopputilaan 2:

Tarkoittaen:

W = C ln (V ₂ / V ₁).

Koska alku- ja lopputilat on määritetty hyvin, niin myös ctte. Tarkoittaen:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Lopuksi, meillä on seuraavat hyödylliset lausekkeet sellaisen suljetun polytrooppisen järjestelmän mekaanisen työn löytämiseksi, jossa n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Jos työaine koostuu m moolista ihanteellista kaasua, niin ihanteellisen kaasun tilayhtälöä voidaan käyttää: PV = mRT

Koska PV ₁ = ctte, tässä tapauksessa meillä on, että polytrooppinen prosessi, jonka arvo on n = 1, on prosessi vakiolämpötilassa T (isoterminen), joten työlle voidaan saada seuraavat lausekkeet:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁)

Kuva 3. Sulava jääpuikko, esimerkki isotermisestä prosessista. Lähde: Pixabay.

Esimerkkejä polytropisista prosesseista

- Esimerkki 1

Oletetaan, että sylinteri, jossa liikkuva mäntä on täytetty yhdellä kilogrammalla ilmaa. Alun perin ilma vie tilavuutta V ₁ = 0,2 m ³ paineessa P ₁ = 400 kPa. Polytrooppinen menetelmä seuraa n = γ = 1,4, jonka lopullinen tila on paineen P ₂ = 100 kPa. Määritä männän ilman suorittama työ.

Ratkaisu

Kun polytropiaindeksi on yhtä suuri kuin adiabaattinen vakio, tapahtuu prosessi, jossa työaine (ilma) ei vaihta lämpöä ympäristön kanssa, joten entropia ei myöskään muutu.

Ilmaa varten, diatominen ihanteellinen kaasu, meillä on:

y = Cp / Cv, jolloin Cp = (7/2) R ja Cv = (5/2) R

Niin:

y = 7/5 = 1,4

Polytrooppisen prosessin ilmaisun avulla ilmapinnan lopullinen tilavuus voidaan määrittää:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³.

Nyt meillä on ehdot soveltaa yllä saatua kaavaa työlle, joka on tehty polytrooppisessa prosessissa n ≠ 1: lle:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Korvaa meillä olevat sopivat arvot:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Esimerkki 2

Oletetaan, että sama sylinteri on esimerkissä 1, liikuttavalla mäntällä, joka on täytetty yhdellä kilogrammalla ilmaa. Alun perin ilma varaa tilavuuden V1 = 0,2 m ³ paineessa P1 = 400 kPa. Mutta toisin kuin edellisessä tapauksessa, ilma laajenee isotermisesti lopulliseen paineeseen P2 = 100 kPa. Määritä männän ilman suorittama työ.

Ratkaisu

Kuten aiemmin nähtiin, isotermiset prosessit ovat polytrooppisia prosesseja, joiden indeksi n = 1, joten on totta, että:

P1 V1 = P2 V2

Tällä tavalla lopullinen tilavuus voidaan helposti irrottaa, jotta saadaan:

V2 = 0,8 m ³

Sitten, käyttämällä aikaisemmin tapaukselle n = 1 saatua työlauseketta, saadaan aikaan, että männän ilman työ tässä prosessissa on:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400 000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Viitteet

1. Bauer, W. 2011. Fysiikka tekniikan ja tieteiden aloille. Nide 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodynamiikka. 7. painos. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Sarja: Fysiikka tiedelle ja tekniikalle. Osa 4: Nesteet ja termodynamiikka. Toimittanut Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Termodynamiikan ensimmäinen laki. Palautettu osoitteesta: culturac Scientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fysiikka tutkijoille ja tekniikoille: strateginen lähestymistapa. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fysiikan perusteet. 9. painos, Cengage-oppiminen.
7. Sevillan yliopisto. Lämpökoneet. Palautettu osoitteesta: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Polytropinen prosessi. Palautettu osoitteesta: wikiwand.com.