RISTITUOTE: OMINAISUUDET, SOVELLUKSET JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Ristitulo tai vektori tuote on tapa kertomalla kaksi tai useampia vektoreita. Vektoreita voidaan kertoa kolmella tapaa, mutta mikään niistä ei ole kertolasku sanan tavanomaisessa merkityksessä. Yksi näistä muodoista tunnetaan vektorituotteena, mikä johtaa kolmanteen vektoriin.

Ristituotteella, jota kutsutaan myös ristituotteeksi tai ulkoistuotteeksi, on erilaiset algebralliset ja geometriset ominaisuudet. Nämä ominaisuudet ovat erittäin hyödyllisiä, etenkin fysiikan tutkimuksen kannalta.

Määritelmä

Vektorituotteen muodollinen määritelmä on seuraava: Jos A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3) ovat vektoreita, niin A: n ja B: n vektorituote, jota kutsutaan nimellä AxB, on:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

AxB-merkinnästä johtuen sitä luetaan nimellä "ristin B".

Esimerkki ulomman tuotteen käytöstä on, että jos A = (1, 2, 3) ja B = (3, -2, 4) ovat vektoreita, niin käyttämällä vektorituotteen määritelmää meillä on:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Toinen tapa vektorituotteen ilmentämiseksi annetaan determinanttien merkinnällä.

Toisen kertaluvun determinantti lasketaan:

Siksi määritelmässä annettu ristituotteen kaava voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Tätä yksinkertaistetaan yleensä kolmannen asteen determinantiksi seuraavasti:

Jossa i, j ja k ovat vektoreita, jotka muodostavat perustan R ³.

Tätä tapaa ilmaista ristituote saadaan, edellinen esimerkki voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

ominaisuudet

Joitakin vektorituotteen ominaisuuksia ovat seuraavat:

Omaisuus 1

Jos A on jokin vektori R ³, meillä on:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Nämä ominaisuudet on helppo tarkistaa käyttämällä vain määritelmää. Jos A = (a1, a2, a3), meillä on:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jos i, j, k edustavat yksikön pohjan R ³, voimme kirjoittaa ne seuraavasti:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Joten meillä on seuraavat ominaisuudet totta:

Muistopaikkana seuraavaa ympyrää käytetään usein näiden ominaisuuksien muistamiseen:

Siinä on huomattava, että mikä tahansa vektori, joka itsessään antaa vektorin 0 tuloksena, ja loput tuotteet voidaan saada seuraavalla säännöllä:

Kahden peräkkäisen vektorin ristituote myötäpäivään antaa seuraavan vektorin; ja kun vastapäivään otetaan suuntaa, tulos on seuraava vektori negatiivisella merkillä.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voimme nähdä, että vektorituote ei ole kommutatiivinen; esimerkiksi huomioi vain, että ixj x jx i. Seuraava ominaisuus kertoo meille kuinka AxB ja BxA liittyvät yleensä toisiinsa.

Omaisuus 2

Jos A ja B ovat vektorit R ³, meillä on:

AxB = - (BxA).

Esittely

Jos A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3), ulkoisen tuotteen määritelmän mukaan meillä on:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Voimme myös nähdä, että tämä tuote ei ole assosiatiivinen seuraavan esimerkin kanssa:

ix (ixj) = ixk = - j, mutta (ixi) xj = 0xj = 0

Tästä voimme nähdä, että:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Omaisuus 3

Jos A, B, C ovat vektoreita R ³ ja r on reaaliluku, seuraava on totta:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Näiden ominaisuuksien ansiosta voimme laskea vektorituotteen käyttämällä algebran lakeja, mikäli järjestystä noudatetaan. Esimerkiksi:

Jos A = (1, 2, 3) ja B = (3, -2, 4), voidaan kirjoittaa ne kannalta kanoninen perusteella R ³.

Siten A = i + 2j + 3k ja B = 3i - 2j + 4k. Sitten, soveltamalla aiempia ominaisuuksia:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Ominaisuus 4 (kolminkertainen tuote)

Kuten alussa mainitsimme, vektorituotteen lisäksi on olemassa muita tapoja vektoreiden lisäämiseksi. Yksi näistä tavoista on skalaarituote tai sisäinen tuote, jota kutsutaan nimellä A ∙ B ja jonka määritelmä on:

Jos A = (a1, a2, a3) ja B = (b1, b2, b3), niin A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Ominaisuus, joka liittyy molempiin tuotteisiin, tunnetaan kolmois skalaarituotteena.

Jos A, B, ja C ovat vektorit R ³, niin A ∙ BXC = AxB ∙ C

Katsotaan esimerkiksi, että kun A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ja C = (- 5, 1, - 4), tämä ominaisuus täyttyy.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Toisaalta:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Toinen kolminkertainen tuote on Ax (BxC), joka tunnetaan kolmovektorituotteena.

Ominaisuus 5 (kolminkertainen vektorituote)

Jos A, B ja C ovat vektorit R ³, niin:

Akseli (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Katsotaan esimerkiksi, että kun A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ja C = (- 5, 1, - 4), tämä ominaisuus täyttyy.

Edellisestä esimerkistä tiedämme, että BxC = (- 18, - 22, 17). Lasketaan Ax (BxC):

Akseli (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Toisaalta meidän on:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Siksi meidän on

(A = C) B - (A = B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Kiinteistö 6

Se on yksi vektorien geometrisista ominaisuuksista. Jos A ja B ovat kaksi vektoria R ³ ja Θ on muodostettu kulma niiden välillä, niin:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), missä - ∙ - tarkoittaa vektorin moduulia tai suuruutta.

Tämän ominaisuuden geometrinen tulkinta on seuraava:

Olkoon A = PR ja B = PQ. Joten vektoreiden A ja B muodostama kulma on kolmion RQP kulma P, kuten seuraavassa kuvassa esitetään.

Siksi yhdensuuntaisen kuvan alue, jolla vierekkäin ovat PR ja PQ, on --A ---- B - sin (ϴ), koska voimme ottaa perustana --A-- ja sen korkeuden antaa --B - sin (ϴ).

Siksi voimme päätellä, että --AxB-- on mainitun suuntakuvan alue.

esimerkki

Kun otetaan huomioon seuraavat nelikulmion P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) ja S (5,7, –3), näytä, että mainittu nelikulmainen on suuntakaavio ja löydä sen alue.

Tätä varten määritetään ensin vektorit, jotka määrittävät nelikulman sivujen suunnan. Tämä on:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kuten voimme nähdä, A: lla ja C: llä on sama ohjainvektori, jota varten meillä molemmat ovat yhdensuuntaisia; sama tapahtuu B: n ja D.: n kanssa. Tästä syystä päättelemme, että PQRS on rinnakkaissuunnitelma.

Jotta tämän suuntaviivan pinta-ala saadaan, lasketaan BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Siksi neliö neliö on:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Voidaan päätellä, että rinnansuuntainen alue on 89: n neliöjuuri.

Kiinteistövälitys 7

Kaksi vektoria A ja B ovat rinnakkain R ³, jos ja vain jos AxB = 0

Esittely

On selvää, että jos A tai B ovat nollavektoria, on totta, että AxB = 0. Koska nollavektori on yhdensuuntainen minkä tahansa muun vektorin kanssa, ominaisuus on pätevä.

Jos kumpikaan näistä vektoreista ei ole nollavektori, meillä on, että niiden voimakkuudet ovat erilaisia ​​kuin nolla; eli molemmat --A-- ≠ 0 ja --B-- ≠ 0, joten meillä on --AxB-- = 0 jos ja vain jos sin (ϴ) = 0, ja tämä tapahtuu jos ja vain jos ϴ = π tai ϴ = 0.

Siksi voimme päätellä AxB = 0 jos ja vain jos ϴ = π tai ϴ = 0, mikä tapahtuu vain, kun molemmat vektorit ovat yhdensuuntaiset toistensa kanssa.

Omaisuus 8

Jos A ja B ovat kaksi vektorit R ³, niin AxB on kohtisuorassa sekä A ja B

Esittely

Muistelemme tätä todistusta varten, että kaksi vektoria ovat kohtisuorassa, jos A ∙ B on nolla. Lisäksi tiedämme, että:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, mutta AxA on yhtä suuri kuin 0. Siksi meillä on:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Tällä voidaan päätellä, että A ja AxB ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Vastaavasti meidän on:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Koska BxB = 0, meillä on:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Siksi AxB ja B ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden ja tällä ominaisuudella osoitetaan. Tämä on meille erittäin hyödyllistä, koska niiden avulla voimme määrittää tason yhtälön.

Esimerkki 1

Saa tason yhtälön, joka kulkee pisteiden P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ja R (2, 1, 3) läpi.

Olkoon A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) ja B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Sitten A = - i + 3j + k ja B = i - 2j + k. Näiden kolmen pisteen muodostaman tason löytämiseksi riittää, että löytää vektori, joka on normaali tasolle, joka on AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Tällä vektorilla ja ottamalla piste P (1, 3, 2) voimme määrittää tason yhtälön seuraavasti:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Siten meillä on, että tason yhtälö on 5x + 2y - z - 9 = 0.

Esimerkki 2

Etsi tason yhtälö, joka sisältää pisteen P (4, 0, - 2) ja joka on kohtisuora jokaiselle tasolle x - y + z = 0 ja 2x + y - 4z - 5 = 0.

Tietäen, että normaali vektori tasolle ax + + + cz + d = 0 on (a, b, c), saamme, että (1, -1,1) on normaali vektori x - y + z = 0 y (2,1, - 4) on normaali vektori, jolla on 2x + y - 4z - 5 = 0.

Siksi normaalin vektorin etsityn tason on oltava kohtisuorassa (1, -1,1) ja (2, 1, - 4): n kanssa. Tämä vektori on:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Sitten meillä on, että haettu taso on taso, joka sisältää pisteen P (4,0, - 2) ja jolla on vektori (3,6,3) normaalina vektorina.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Sovellukset

Suuntaissärmiön tilavuuden laskeminen

Sovelluksella, jolla on kolmo skalaarituote, on kyettävä laskemaan suuntaissärmiön tilavuus, jonka reunat annetaan vektoreilla A, B ja C kuvan osoittamalla tavalla:

Voimme päätellä tämän sovelluksen seuraavasti: Kuten aiemmin totesimme, vektori AxB on vektori, joka on normaali A: n ja B: n tasoon. Meillä on myös, että vektori - (AxB) on toinen vektori, joka on normaali kyseiselle tasolle.

Valitaan normaali vektori, joka muodostaa pienimmän kulman vektorilla C; Häviämättä yleisyyttä, olkoon AxB vektori, jonka kulma C: n kanssa on pienin.

Meillä on sekä AxB: llä että C: llä sama lähtökohta. Lisäksi tiedämme, että yhdensuuntaisen pilarin perusta, joka muodostaa suuntaissärmiön perustan, on --AxB--. Siksi, jos suuntaissärmiön korkeus on annettu h: lla, niin sen tilavuus on seuraava:

V = --AxB - h.

Toisaalta tarkastellaan pistetuotetta AxB: n ja C: n välillä, joka voidaan kuvata seuraavasti:

Trigonometrisillä ominaisuuksilla meillä on kuitenkin h = --C - cos (ϴ), joten meillä on:

Tällä tavalla meillä on se:

Yleisesti ottaen meillä on, että suuntaissärmiön tilavuus annetaan kolmoisskaalaarisen tuotteen AxB ∙ C absoluuttisella arvolla.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Kun pisteet P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ja S = (2, 6, 9), nämä pisteet muodostavat suuntaissipun, jonka reunat ne ovat PQ, PR ja PS. Määritä mainitun suuntaissärmiön tilavuus.

Ratkaisu

Jos otamme:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Käyttämällä kolminkertaista tuoteominaisuutta, meillä on:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.

Siksi meillä on, että mainitun suuntaissärmiön tilavuus on 52.

Harjoitus 2

Määritä suuntaissärmiön tilavuus, jonka reunat annetaan A = PQ, B = PR ja C = PS, missä pisteet P, Q, R ja S ovat (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) ja (2, 2, 5), vastaavasti.

Ratkaisu

Ensin on, että A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Laskemme AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Sitten lasketaan AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Siten päättelemme, että mainitun suuntaissärmiön tilavuus on 1 kuutioyksikkö.

Viitteet

1. Leithold, L. (1992). Laskenta analyyttisellä geometrialla. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., ja Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksiko: Manner.
3. Saenz, J. (toinen). Vektorilaskenta 1ed. Hypotenuusa.
4. Spiegel, MR (2011). Vektorianalyysi 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, pääosasto, ja Wright, W. (2011). Useiden muuttujien laskeminen 4ed. Mc Graw Hill.