- Merkittäviä tuotteita ja esimerkkejä
- Binomial neliö
- Konjugoitujen binomien tuote
- Tuote kahdesta binomimateriaalista, joilla on yhteinen termi
- Ruudullinen polynomi
- Binomial kuutioitu
- Kuutio kolminaisuudesta
- Ratkaistu merkittävien tuotteiden harjoituksia
- Harjoitus 1
- Ratkaisu
- Harjoitus 2
- Ratkaisu
- Viitteet
Merkittävä tuotteet ovat algebrallisia toiminta, milloin kertolaskuja polynomien ilmaistaan, jotka eivät tarvitse ratkaista perinteisesti, mutta sen avulla tiettyjen sääntöjen tulosten samaa löytyy.
Polynomit kerrotaan kyllä, siksi on mahdollista, että niillä on suuri määrä termejä ja muuttujia. Prosessin lyhentämiseksi käytetään merkittäviä tuotesääntöjä, jotka sallivat kertoamisen ilman, että tarvitsee käydä termiä kohti.
Merkittäviä tuotteita ja esimerkkejä
Jokainen merkittävä tuote on kaava, joka syntyy faktoroinnista, joka koostuu useiden termien, kuten binomi- tai trinomiaalien, polynomeista, joita kutsutaan tekijöiksi.
Tekijät ovat voiman perusta ja niillä on eksponentti. Kun kertoimet kerrotaan, eksponentit on lisättävä.
On olemassa useita merkittäviä tuotekaavoja, joitain käytetään enemmän kuin toisia, polynomien mukaan, ja ne ovat seuraavat:
Binomial neliö
Se on binomiaalin kertominen itse, ilmaistuna voimana, jolloin termit lisätään tai vähennetään:
on. Binomiaalisumman neliösumma : se on yhtä suuri kuin ensimmäisen aikavälin neliö, plus kaksinkertainen termien tuote, plus toisen aikavälin neliö. Se ilmaistaan seuraavasti:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Seuraavassa kuvassa näet kuinka tuote kehittyy yllä mainitun säännön mukaisesti. Tulosta kutsutaan täydellisen neliön trinomiksi.
Esimerkki 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Esimerkki 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8 a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2.
b. Ruudullinen vähennyslaskun binomiomaali : sovelletaan saman summan binomiaalisääntöä, vain tässä tapauksessa toinen termi on negatiivinen. Sen kaava on seuraava:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2.
Esimerkki 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Konjugoitujen binomien tuote
Kaksi binomialustaa konjugoidaan, kun kummankin toisella termällä on erilaiset merkit, ts. Ensimmäinen on positiivinen ja toinen negatiivinen tai päinvastoin. Se ratkaistaan neliöimällä kukin monomi ja vähentämällä. Sen kaava on seuraava:
(a + b) * (a - b)
Seuraava kuvio kehittää kahden konjugoidun binomin tuotetta, jossa havaitaan, että tulos on neliöiden ero.
Esimerkki 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2.
Tuote kahdesta binomimateriaalista, joilla on yhteinen termi
Se on yksi monimutkaisimmista ja harvemmin käytetyistä tuotteista, koska se on kahden binomin, jotka ovat yhteinen termi, kertolasku. Säännössä todetaan seuraavaa:
- Yhteisen termin neliö.
- Plussaa summa termit, jotka eivät ole yleisiä, ja kerro ne sitten yhteisellä termällä.
- Lisäksi summa niiden kertojen summasta, jotka eivät ole yleisiä.
Se esitetään kaavassa: (x + a) * (x + b) ja kehitetään kuvan osoittamalla tavalla. Tuloksena on epätäydellinen neliön trinomi.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15 x + 54.
On mahdollista, että toinen termi (eri termi) on negatiivinen ja sen kaava on seuraava: (x + a) * (x - b).
Esimerkki 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Voi myös olla, että molemmat eri termit ovat negatiivisia. Sen kaava on: (x - a) * (x - b).
Esimerkki 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33 b + 30.
Ruudullinen polynomi
Tässä tapauksessa on enemmän kuin kaksi termiä, ja sen kehittämiseksi kukin neliö tehdään ja lisätään kahdesti kertomalla yksi termi toisella; sen kaava on: (a + b + c) 2 ja operaation tulos on neliöinen trinomi.
Esimerkki 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial kuutioitu
Se on erittäin monimutkainen tuote. Sen kehittämiseksi binomiaali kerrotaan neliöllä seuraavasti:
on. Binomin kuutio summasta:
- Ensimmäisen kauden kuutio, plus kolminkertainen ensimmäisen kauden neliö toisen kerran.
- Plussaan ensimmäisen aikavälin kolminkertainen, toisen kerran ruudullinen.
- Plus toisen kauden kuutio.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3ab 2 + b 3.
Esimerkki 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Vähennyksen binäärikuutiota varten:
- Ensimmäisen kauden kuutio, josta vähennetään kolminkertaisesti ensimmäisen kauden ruudusta kertaa toisen.
- Plussaan ensimmäisen aikavälin kolminkertainen, toisen kerran ruudullinen.
- Vähennetään toisen kauden kuutio.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2)
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3.
Esimerkki 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Kuutio kolminaisuudesta
Se kehitetään kertomalla se neliöllä. Se on erittäin laaja huomattava tuote, koska sinulla on 3 termeä kuutioitu, plus kolme kertaa jokainen termi neliö, kerrottuna jokaisella termeellä plus kuusi kertaa kolmen termin tulo. Näkyy paremmalla tavalla:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Esimerkki 1
Ratkaistu merkittävien tuotteiden harjoituksia
Harjoitus 1
Laajenna seuraava binomiaalikuutio: (4x - 6) 3.
Ratkaisu
Muistaen, että binomiaalikuutio on yhtä suuri kuin ensimmäinen termi kuutio, miinus kolme kertaa ensimmäisen lauseen neliö ja toinen; plus ensimmäisen kolmen kolminkertainen kerta toisen ruudun kertaiseksi vähennettynä toisen kauden kuutiolla.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Harjoitus 2
Kehitä seuraava binomiaali: (x + 3) (x + 8).
Ratkaisu
On binomi, jossa on yhteinen termi, joka on x ja toinen termi on positiivinen. Kehittääksesi sitä, sinun on neliöitävä vain yhteinen termi, plus niiden termien summa, jotka eivät ole yleisiä (3 ja 8), ja kertoa ne sitten yhteisellä termällä plus summa niiden kertojen summa, jotka eivät ole yleisiä.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11 x + 24.
Viitteet
- Angel, AR (2007). Alkuperäinen algebra. Pearson koulutus,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
- Das, S. (toinen). Maths Plus 8. Iso-Britannia: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Alkeisyhdys- ja keskialgebra: Yhdistetty lähestymistapa. Florida: Cengage-oppiminen.
- Pérez, CD (2010). Pearson koulutus.