YHDISTÄVÄ OMINAISUUS: SUMMAUS, KERTOLASKU, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Liitännäisyys on lisäksi edustaa assosiatiivinen luonnetta lisäksi toiminnan erilaisia matemaattisia sarjaa. Siinä mainittujen joukkojen kolme (tai useampaa) elementti liittyvät toisiinsa, kutsutaan a, b ja c siten, että se on aina totta:

a + (b + c) = (a + b) + c

Tällä tavoin taataan, että tulos on sama riippumatta ryhmittelytavasta suorittaa operaatio.

Kuva 1. Käytä lisäyksen assosiatiivista ominaisuutta monta kertaa suorittaessa aritmeettisia ja algebrallisia toimintoja. (Piirustus: freepik Koostumus: F. Zapata)

Mutta on huomattava, että assosiatiivinen ominaisuus ei ole synonyymi kommutatiiviselle ominaisuudelle. Toisin sanoen tiedämme, että lisäysjärjestys ei muuta summaa tai että tekijöiden järjestys ei muuta tuotetta. Joten summalle voidaan kirjoittaa näin: a + b = b + a.

Assosiatiivisessa ominaisuudessa se on kuitenkin erilainen, koska lisättävien elementtien järjestys säilyy ja mikä muuttaa ensin suoritettavan operaation. Mikä tarkoittaa, että ensimmäisen (b + c) lisäämisellä ja a: n lisäämisellä tähän tulokseen ei ole merkitystä kuin sen, että aloitat lisäämällä -näppäimellä tulosteen lisäämiseen c.

Monet tärkeät toiminnot, kuten lisäys, ovat assosiatiivisia, mutta eivät kaikki. Esimerkiksi reaalilukujen vähentämisessä tapahtuu, että:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Jos a = 2, b = 3, c = 1, niin:

2– (3–1) ≠ (2–3) –1

0 ≠ -2

Kertomuksen assosiatiivinen ominaisuus

Kuten lisäykseen tehtiin, kertolaskun assosiatiivisessa ominaisuudessa todetaan seuraavaa:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Oikeiden lukujen joukon tapauksessa on helppo tarkistaa, että näin on aina. Esimerkiksi käyttämällä arvoja a = 2, b = 3, c = 1, meillä on:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Oikea luvut täyttävät sekä summauksen että kertolaskun assosiatiivisen ominaisuuden. Toisaalta, toisessa joukossa, kuten vektoreissa, summa on assosiatiivinen, mutta ristituote tai vektorituote ei ole.

Kertomuksen assosiatiivisen ominaisuuden sovellukset

Etuna toiminnoista, joissa assosiaatioomaisuus toteutetaan, on kyky ryhmitellä sopivimmalla tavalla. Tämä tekee ratkaisusta paljon helpompaa.

Oletetaan esimerkiksi, että pienessä kirjastossa on 3 hyllyä, joissa molemmissa 5 hyllyä. Jokaisessa hyllyssä on 8 kirjaa. Kuinka monta kirjaa siellä on?

Voimme suorittaa operaation näin: kirjoja yhteensä = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 kirjaa.

Tai näin: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 kirjaa.

Kuva 2. Kertomuksen assosiatiivisen ominaisuuden yksi sovellus on laskea kirjojen lukumäärä jokaisella hyllyllä. Kuvan luonut F. Zapata.

esimerkit

-Luonnollisten, kokonaislukuisten, rationaalisten, reaalisten ja kompleksisten lukujen joukkoissa summauksen ja kertomuksen assosioiva ominaisuus täyttyy.

Kuva 3. Oikea lukujen kohdalla lisäyksen assosiatiivinen ominaisuus täyttyy. Lähde: Wikimedia Commons.

-Polynomien suhteen niitä käytetään myös näissä operaatioissa.

- Vähennys-, jakamis- ja eksponentioperaatioissa assosiatiivista ominaisuutta ei pidä reaalilukujen tai polynomien suhteen.

-Matriisien tapauksessa assosiatiivinen ominaisuus täytetään lisäystä ja kertoamista varten, vaikka jälkimmäisessä tapauksessa kommutatiivisuus ei täyty. Tämä tarkoittaa, että ottaen huomioon matriisit A, B ja C, on totta, että:

(A x B) x C = A x (B x C)

Mutta… A x B ≠ B x A

Assosiatiivinen ominaisuus vektoreissa

Vektorit muodostavat erilaisen joukon kuin reaaliluvut tai kompleksiluvut. Vektorijoukolle määritetyt toiminnot ovat jonkin verran erilaisia: on olemassa summaus, vähennys ja kolme tuotetyyppiä.

Vektorien summa täyttää assosiatiivisen ominaisuuden, samoin kuin numerot, polynomit ja matriisit. Mitä tulee skalaarituotteisiin, vektoreihin skalaariin ja vektoreihin tehtyihin ristiin, jälkimmäinen ei täytä sitä, mutta skalaarituote, joka on toisenlainen vektoreiden välinen operaatio, täyttää sen, ottaen huomioon seuraavat:

-Skaalaarin ja vektorin tuote johtaa vektoriin.

-Ja kun skalaarisesti kerrotaan kaksi vektoria, skalaari syntyy.

Siksi, koska vektorit v, u ja w ja lisäksi skalaari λ, on mahdollista kirjoittaa:

- Vektorien summa: v + (u + w) = (v + u) + w

-Skaalaarituote: λ (v • u) = (λ v) • u

Jälkimmäinen on mahdollista, koska v • u on skalaari ja λ v on vektori.

Kuitenkin:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

Polynomien tekijänmuodostus termien ryhmittelyllä

Tämä sovellus on erittäin mielenkiintoinen, koska kuten aiemmin sanottiin, assosiatiivinen ominaisuus auttaa ratkaisemaan tiettyjä ongelmia. Monomiaalien summa on assosiatiivinen, ja sitä voidaan käyttää faktorointiin, kun ilmeinen yhteinen tekijä ei näy ensi silmäyksellä.

Oletetaan esimerkiksi, että sinua pyydetään tekijä: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Tällä polynomilla ei ole yhteistä tekijää, mutta katsotaan mitä tapahtuu, jos se ryhmitetään näin:

Ensimmäisellä sulkeella on yhteinen akselin ² tekijä:

Toisessa yleinen tekijä on 3:

Harjoitukset

- Harjoitus 1

Koulurakennuksessa on 4 kerrosta ja jokaisessa on 12 luokkahuonetta, joissa on 30 työpöytää. Kuinka monta työpöytää koululla on yhteensä?

Ratkaisu

Tämä ongelma ratkaistaan ​​soveltamalla kertolaskun assosiatiivista ominaisuutta, katsokaamme:

Työpöytäten kokonaismäärä = 4 kerrosta x 12 luokkahuonetta / lattia x 30 työpöytää = (4 x 12) x 30 työpöytä = 48 x 30 = 1440 työpöytä.

Tai jos haluat: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 työpöytää

- Harjoitus 2

Koska polynomit:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ^{3 - 5} x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Käytä lisäyksen assosiatiivista ominaisuutta löytääksesi A (x) + B (x) + C (x).

Ratkaisu

Voit ryhmitellä kaksi ensimmäistä ja lisätä kolmannen tulokseen:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Lisätään heti polynomi C (x):

+ = X ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Lukija voi varmistaa, että tulos on identtinen, jos se ratkaistaan ​​vaihtoehdolla A (x) +.

Viitteet

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matematiikka on hauskaa. Kommutatiivinen, yhdistävä ja jakelulaki. Palautettu osoitteesta: mathisfun.com.
3. Matematiikan varasto. Määritelmä yhdistyväinen omaisuus. Palautettu osoitteesta: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Lisäysten ja kertoimien assosiatiivinen ja kommutatiivinen ominaisuus (esimerkein). Palautettu osoitteesta: sciencing.com.
5. Wikipedia. Yhdistävä omaisuus. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.org.