ALGEBRAN LUKITUSOMINAISUUS: TODISTE, ESIMERKKEJÄ - MATEMATIIKKA - 2026

Lukko ominaisuus algebran on ilmiö, joka liittyy kaksi elementtejä asetettu toiminnan, jossa välttämätön edellytys on, että sen jälkeen, kun 2 elementit prosessoidaan mainittu operaatio, tulos kuuluu myös alustava joukko.

Esimerkiksi, jos otamme parilliset numerot joukkona ja summan operaationa, saamme lukituksen siitä joukosta summan suhteen. Tämä johtuu siitä, että 2 parillisen numeron summa tuottaa aina toisen parillisen numeron, täyttäen siten lukituksen edellytyksen.

Lähde: unsplash.com

ominaisuudet

Algebralliset tilat tai rungot, kuten rakenteet tai renkaat, määräävät monia ominaisuuksia. Lukko-ominaisuus on kuitenkin yksi tunnetuimmista perusalgebrossa.

Kaikki näiden ominaisuuksien sovellukset eivät perustu numeerisiin elementteihin tai ilmiöihin. Monia arjen esimerkkejä voidaan käyttää puhtaasta algebrallisesta-teoreettisesta lähestymistavasta.

Esimerkiksi voivat olla sellaisen maan kansalaiset, jolla on minkä tahansa tyyppisiä oikeussuhteita, kuten kaupallinen parisuhde tai avioliitto. Tämän operaation tai hallinnon jälkeen he ovat edelleen maan kansalaisia. Tällä tavoin kahden kansalaisen kansalaisuus- ja hallintotoimet muodostavat lukon.

Numeerinen algebra

Lukujen suhteen on monia näkökohtia, joita on tutkittu matematiikan ja algebran eri virroilla. Näistä tutkimuksista on syntynyt suuri joukko aksioomeja ja lauseita, jotka toimivat nykyaikaisen tutkimuksen ja työn teoreettisena perustana.

Jos työskentelemme numerojoukkojen kanssa, voimme luoda toisen kelvollisen määritelmän lukon ominaisuudelle. Sarjan A sanotaan olevan toisen joukon B lukko, jos A on pienin joukko, joka sisältää kaikki joukot ja toiminnot, jotka B sisältää.

Esittely

Lukitusnäyttöä sovelletaan elementteihin ja toimintoihin, jotka ovat läsnä reaalilukujen joukossa R

Olkoon A ja B kaksi numeroa, jotka kuuluvat joukkoon R, näiden elementtien sulkeminen määritetään jokaiselle R: n sisältämälle toiminnalle.

Summa

- Summa: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Tämä on algebrallinen tapa sanoa, että kaikille reaalilukuihin kuuluville A: lle ja B: lle A: n ja B: n summa on yhtä suuri kuin C, joka kuuluu myös todellisiin.

On helppo tarkistaa, onko tämä väite totta; riittää, kun suoritetaan summa minkä tahansa reaaliluvun välillä ja varmistetaan, kuuluuko tulos myös todellisiin lukuihin.

3 + 2 = 5 ° R

-2 + (-7) = -9 ° R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ° R

On havaittu, että lukitusedellytys täyttyy reaaliluville ja summalle. Tällä tavoin voidaan päätellä: Oikeiden lukujen summa on algebrallinen lukko.

kertolasku

- Kertominen: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C = R

Kaikille reaaleihin kuuluville A: lle ja B: lle meillä on, että A: n kertolasku B: llä on yhtä suuri kuin C, joka myös kuuluu reaaleihin.

Kun varmennetaan edellisen esimerkin samoilla elementeillä, havaitaan seuraavat tulokset.

3 x 2 = 6 ° R

-2 x (-7) = 14 ° R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Tämä on riittävä todiste johtopäätöksen tekemiseen: Oikeiden lukujen kertominen on algebrallinen lukko.

Tämä määritelmä voidaan laajentaa koskemaan kaikkia reaalilukujen toimintoja, vaikka löydämmekin joitain poikkeuksia.

Lähde: pixabay.com

Erityistapaukset R: ssä

jako

Ensimmäinen erityistapaus on jako, jossa havaitaan seuraava poikkeus:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Kaikille A: lle ja B: lle, jotka kuuluvat R: lle, meillä on, että A: n joukossa B ei kuulu realeihin vain ja vain jos B on nolla.

Tämä tapaus viittaa rajoitukseen, jota ei voida jakaa nolla-arvolla. Koska nolla kuuluu todellisiin lukuihin, seuraa, että: jako ei ole lukko toistoihin.

arkistointi

On myös tehostamisoperaatioita, erityisesti radikalisoitumisen operaatioita, joissa esitetään poikkeuksia radikaalin voiman tasaisesta indeksistä:

Kaikille A: lle, joka kuuluu reaaleihin, A: n n: nnen juuren kuuluu reaaleihin, jos ja vain jos A kuuluu positiivisiin reaaleihin, jotka on liitetty joukkoon, jonka ainoa elementti on nolla.

Tällä tavoin merkitään, että parilliset juuret koskevat vain positiivisia realia ja päätellään, että potentiaatio ei ole lukko R: ssä.

Logaritmi

Homologisella tavalla se voidaan nähdä logaritmiselle funktiolle, jota ei ole määritelty arvoille, jotka ovat pienemmät tai yhtä suuret kuin nolla. Voit tarkistaa, onko logaritmi R: n lukko, toimi seuraavasti:

Kaikille A, joka kuuluu reaaleihin, A: n logaritmi kuuluu reaaleihin, jos ja vain jos A kuuluu positiivisiin realeihin.

Jättämällä pois negatiiviset arvot ja nolla, jotka kuuluvat myös R: hen, voidaan todeta seuraavaa:

Logaritmi ei ole todellisten lukujen lukitus.

esimerkit

Tarkista lukitus luonnollisten lukujen summaamisen ja vähentämisen suhteen:

Summa N: ssä

Ensimmäinen asia on tarkistaa lukkojen olosuhteet annetun joukon eri elementeille. Jos havaitaan, että jokin elementti rikkoutuu olosuhteiden kanssa, lukon olemassaolo voidaan automaattisesti kieltää.

Tämä ominaisuus on totta kaikille A: n ja B: n mahdollisille arvoille, kuten seuraavissa toiminnoissa havaitaan:

1 + 3 = 4 ° N

5 + 7 = 12 ° N

1 000 + 10000 = 11 000 ∈ N

Lukon ehtoa rikkovia luonnollisia arvoja ei ole, joten päätellään:

Summa on lukko N: ssä.

Vähennä N: ssä

Etsitään luonnollisia elementtejä, jotka voivat rikkoa tilan A - B kuuluu alkuperäiskansoihin.

Käytössä on helppo löytää paria luonnollisia elementtejä, jotka eivät täytä lukituksen ehtoja. Esimerkiksi:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Tällä tavoin voimme päätellä, että:

Vähennys ei ole lukko luonnollisten lukujen joukolle.

Ehdotetut harjoitukset

1-Näytä, onko lukitusominaisuus täytetty rationaalilukujoukolle Q operaatioiden lisäämiselle, vähentämiselle, kertoamiselle ja jakamiselle.

2 - Selitä onko reaalilukujoukko kokonaislukujoukon lukko.

3-Määritä, mikä numeerisarja voi olla todellisten lukujen lukitus.

4-Todista lukon ominaisuus kuvitteellisten lukujoukkojen suhteen laskemalla, vähentämällä, kertomalla ja jakamalla.

Viitteet

1. Panoraama puhtaasta matematiikasta: Bourbakist-valinta. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebrallinen lukuteoria. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Meksikon kansallinen autonominen yliopisto, 1975.
3. Lineaarialgebra ja sen sovellukset. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebralliset rakenteet V: kehoteoria. Hector A. Merklen. Amerikan valtioiden organisaatio, pääsihteeristö, 1979.
5. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.