YHDISTELMÄSUHTEELLISUUS: SELITYS, KOLMEN YHDISTETYN SÄÄNNÖN HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Yhdistetty tai moninkertainen suhteellisuus on yli kahden suuruusluokan suhde, joka voidaan havaita suoraan ja käänteinen suhteellisuus datan ja tuntemattoman välillä. Tämä on edistyneempi versio yksinkertaisesta suhteellisuudesta, vaikka molemmissa menettelyissä käytetyt tekniikat ovat samanlaisia.

Esimerkiksi, jos 10 tonnin tavaroiden purkamiseen 3 tunnissa tarvitaan 7 henkilöä, yhdistetyn suhteellisuuden perusteella voidaan laskea kuinka monta ihmistä kestää 15 tonnin purkaminen 4 tunnissa.

Lähde: pixabay.com

Tähän kysymykseen vastaamiseksi on kätevää laatia arvotaulukko suuruusluokkien ja tuntemattomien tutkimiseksi ja suhteuttamiseksi.

Jatkamme analysointia kunkin suuruusluokan ja nykyisen tuntemattoman välisten suhteiden tyyppejä, mikä tässä tapauksessa vastaa työskentelevien ihmisten lukumäärää.

Kun tavaran paino kasvaa, samoin kuin sen purkamiseen vaaditaan ihmisiä. Tämän vuoksi painon ja työntekijöiden välinen suhde on suora.

Toisaalta työntekijöiden määrän kasvaessa työajat vähenevät. Tästä johtuen ihmisten ja työaikojen suhde on käänteinen.

Kuinka laskea yhdisteiden suhteellisuudet

Yllä olevien kaltaisten esimerkien ratkaisemiseksi käytetään enimmäkseen kolmen menetelmän yhdistelmäsääntöä. Tämä koostuu määrien ja tuntemattomien välisten suhteiden määrittämisestä ja tuotteen edustamisesta sitten fraktioiden välillä.

Alkuperäisen esimerkin suhteen arvotaulukoita vastaavat fraktiot on järjestetty seuraavasti:

Mutta ennen tuntemattoman ratkaisemista, käänteistä suhdetta vastaavat fraktiot on käännettävä. Mitkä tässä tapauksessa vastaavat muuttuvaa aikaa. Tällä tavoin ratkaistava toimenpide on:

Joiden ainoa ero on aikamuuttujaa 4/3 vastaavan murto-osan käännös. Jatkamme toimintatapaa ja tyhjennä x: n arvo.

Siksi tarvitaan yli 11 ihmistä voidakseen purkaa 15 tonnia tavaroita enintään 4 tunnissa.

Selitys

Suhteellisuus on muuttuvien määrien välinen vakiosuhde, joka on symmetrinen jokaiselle kyseiselle määrälle. Suhteita on suoraan ja käänteisesti, mikä määrittelee yksinkertaisen tai yhdistetyn suhteellisuuden parametrit.

Suora sääntö kolmesta

Se koostuu suhteellisesta suhteesta muuttujien välillä, jotka osoittavat saman käytöksen muutettaessa. Se on hyvin yleinen laskettaessa prosenttimääriä, jotka viittaavat muihin kuin sataan suuruusluokkiin, kun sen perusrakenne on arvostettu.

Esimerkiksi 15% 63: sta voidaan laskea. Ensi silmäyksellä tätä prosenttimäärää ei voida helposti arvioida. Mutta pannessa täytäntöön kolmen säännön voidaan luoda seuraava suhde: jos 100% on 63, niin 15%, kuinka suuri se on?

100% ---- 63

15% ---– X

Ja vastaava toimenpide on:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Kun prosenttimerkkejä yksinkertaistetaan ja saadaan luku 9.45, joka edustaa 15 prosenttia 63: sta.

Kolmen käänteinen sääntö

Kuten nimensä osoittaa, tässä tapauksessa muuttujien välinen suhde on päinvastainen. Käänteinen suhde on määritettävä ennen laskemista. Sen menetelmä on homologinen suoran kolmen säännön kanssa, lukuun ottamatta sijoitusta laskettavaan jakeen.

Esimerkiksi 3 maalarit tarvitsevat 5 tuntia seinän viimeistelyyn. Kuinka monta tuntia 4 maalari lopettaa sen?

Tässä tapauksessa suhde on käänteinen, koska maalareiden määrän kasvaessa työajan pitäisi vähentyä. Suhde on vakiintunut;

3 maalari - 5 tuntia

4 maalaajaa - X tuntia

Kun suhde on päinvastainen, toimintajärjestys käännetään. Tämä on oikea tapa;

(3 maalari). (5 tuntia) / 4 maalaajaa = 3,75 tuntia

Termiä maalarit on yksinkertaistettu, ja tulos on 3,75 tuntia.

Kunto

Yhdisteen tai monisuhteellisuuden suhteen läsnäollessa on välttämätöntä löytää molemmat tyyppiset suhteet suuruuden ja muuttujien välillä.

- Suora: Muuttujalla on sama käyttäytyminen kuin tuntemattomalla. Toisin sanoen, kun yksi kasvaa tai pienenee, toinen muuttuu samalla tavalla.

- Käänteinen: Muuttujalla on tuntematon käyttäytyminen tuntemattoman kanssa. Murtosuhde, joka määrittelee mainitun muuttujan arvotaulukossa, on käännettävä, jotta voidaan esittää käänteisesti verrannollinen suhde muuttujan ja tuntemattoman välillä.

Tulosten todentaminen

On hyvin yleistä sekoittaa suuruusjärjestys työskennellessäsi suhteellisuussuhteiden kanssa, toisin kuin mitä tapahtuu tavanomaisissa suhdelaskelmissa, joiden luonne on enimmäkseen suora ja ratkaistavissa yksinkertaisella kolmen säännön avulla.

Tästä syystä on tärkeää tutkia tulosten loogista järjestystä tarkistamalla kolmen yhdistelmäsäännön tuottamien lukujen johdonmukaisuus.

Alkuperäisessä esimerkissä tällaisen virheen tekeminen johtaisi tulokseen 20. Toisin sanoen 20 ihmistä purkaa 15 tonnia tavaroita 4 tunnissa.

Ensi silmäyksellä se ei vaikuta hullulta tulokselta, mutta on utelias lisätä henkilöstön määrää lähes 200% (7: stä 20: een), kun tavaroiden lisäys on 50% ja jopa suuremmalla ajanjaksolla toteuttaa työ.

Tulosten looginen todentaminen edustaa siten tärkeätä askelta kolmen yhdistetyn säännön toteuttamisessa.

raivaaminen

Vaikka hyväksyminen onkin luonteeltaan matemaattisemman koulutuksen kannalta perusteltua, se on tärkeä askel suhteellisuustilanteissa. Väärä välys riittää mitätöimään kaikki tulokset, jotka on saatu yksinkertaisesta tai yhdistelmäsäännöstä kolmesta.

Historia

Kolmen säännön tiedettiin lännessä arabien kautta eri kirjoittajien julkaisemalla. Heistä Al-Jwarizmi ja Al-Biruni.

Al-Biruni sai monikulttuurisen tietonsa ansiosta pääsyn laajaan tietoon tästä käytännöstä matkoillaan Intiaan. Hän oli vastuussa kattavimmista kolmen sääntöä koskevista asiakirjoista.

Hän toteaa tutkimuksessaan, että Intia oli ensimmäinen paikka, jossa kolmen säännön käytöstä tuli yleistä. Kirjoittaja vakuuttaa, että se suoritettiin sujuvalla tavalla suorana, käänteisenä ja jopa koostettuna versiona.

Tarkka päivämäärä, jolloin kolmesta säännöstä tuli osa Intian matemaattisia tietoja, ei ole vielä tiedossa. Vanhin tätä käytäntöä käsittelevä asiakirja, Bakhshalin käsikirjoitus, löydettiin kuitenkin vuonna 1881. Se on tällä hetkellä Oxfordissa.

Monet matematiikan historioitsijat väittävät, että tämä käsikirjoitus on peräisin nykyisen aikakauden alusta.

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Lentoyhtiön on kuljetettava 1 535 ihmistä. On tiedossa, että kolmella koneella viimeisen matkustajan saaminen määränpäähän kestää 12 päivää. Lentoyhtiöön on saapunut vielä 450 ihmistä, ja 2 konetta määrätään korjaamaan tämän tehtävän avuksi. Kuinka monta päivää lentoyhtiöllä kuluu jokaisen viimeisen matkustajan siirtämiseen määränpäähänsä?

Ihmisten lukumäärän ja työpäivien välinen suhde on suora, koska mitä suurempi ihmisten lukumäärä, sitä enemmän päiviä tämän työn suorittaminen vie.

Toisaalta lentokoneiden ja päivien välinen suhde on kääntäen verrannollinen. Kun lentokoneiden lukumäärä kasvaa, kaikkien matkustajien kuljettamiseen tarvittavat päivät vähenevät.

Tähän tapaukseen viittaava taulukko on tehty.

Kuten alkuperäisessä esimerkissä yksityiskohtaisesti esitetään, osoitin ja nimittäjä on käännettävä murto-osaan, joka vastaa käänteistä muuttujaa tuntemattoman suhteen. Toimenpide on seuraava:

X = 71460/7675 = 9,31 päivää

1985 ihmisen siirtäminen 5 lentokoneella kestää yli 9 päivää.

Harjoitus 2

25 tonnin maissisato viedään kuorma-autoihin. Tiedetään, että edellisenä vuonna heille kului 8 tuntia 150 työntekijän palkanlaskelmalla. Jos tänä vuonna palkanlasku nousi 35%, kuinka kauan kestää heidän täyttää lastikuorma-autot 40 tonnin sadolla?

Ennen arvotaulukon esittämistä on määritettävä tämän vuoden työntekijöiden lukumäärä. Määrä kasvoi 35% alkuperäisestä 150 työntekijän lukumäärästä. Tätä varten käytetään suoraa kolmen sääntöä.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35 100) / 100 = 52,5. Tämä on ylimääräisten työntekijöiden lukumäärä edelliseen vuoteen verrattuna, jolloin työntekijöiden kokonaismäärä on 203 saadun määrän pyöristämisen jälkeen.

Jatkamme määrittelemällä vastaava tietotaulukko

Tässä tapauksessa paino edustaa muuttujaa, joka liittyy suoraan tuntemattomaan aikaan. Toisaalta työntekijöiden muuttujalla on käänteinen suhde ajaan. Mitä suurempi työntekijämäärä, sitä lyhyempi työpäivä on.

Kun nämä näkökohdat otetaan huomioon ja työntekijöiden muuttujaa vastaava murto käännetään, jatkamme laskentaa.

X = 40600/6000 = 6,76 tuntia

Matka kestää vajaat 7 tuntia.

Ehdotetut harjoitukset

- Määritä 73% 2875: sta.

- Laske tuntimäärä, jonka Teresa nukkuu, jos tiedetään, että hän nukkuu vain 7% päivän kokonaismäärästä. Määritä kuinka monta tuntia nukut viikossa.

- Sanomalehti julkaisee 2000 kappaletta viiden tunnin välein vain 2 painokoneella. Kuinka monta kopiota hän tuottaa tunnissa, jos hän käyttää 7 konetta? Kuinka kauan kestää 10 000 kopion tuottaminen neljällä koneella?

Viitteet

1. Encyclopedia Alvarez -aloitus. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Perusopetuksen ja ylemmän perusopetuksen täydellinen käsikirja: tavoittelevien opettajien ja erityisesti maakunnan normaalikoulujen oppilaiden käyttöön, osa 1. Joaquín Avendaño. D. Dionisio Hidalgon painatus, 1844.
3. Oikeiden toimintojen rationaalinen lähentäminen. PP Petrušev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. maaliskuuta. 2011.
4. Perustason aritmeettinen opetus Keski-Amerikan kouluissa ja korkeakouluissa. Darío González. Kärki. Arenales, 1926.
5. Matematiikan tutkimus: Matematiikan tutkimuksesta ja vaikeuksista. Augustus De Morgan. Baldwin ja Cradock, 1830.