YHDENSUUNTAISET PISTEET: YHTÄLÖ, ESIMERKKI JA RATKAISTU TEHTÄVÄ - MATEMATIIKKA - 2026

Kaikki tasopisteet kuuluvat samaan tasoon. Kaksi pistettä ovat aina tasomaisia, koska nämä pisteet määrittelevät linjan, jonka kautta ääretön taso kulkee. Sitten molemmat pisteet kuuluvat jokaiselle tasolle, joka kulkee linjan läpi, ja siksi ne ovat aina tasomaisia.

Toisaalta kolme pistettä määrittelevät yhden tason, josta seuraa, että kolme pistettä ovat aina tasotasossa niiden määrittämään tasoon.

Kuva 1. A, B, C ja D ovat tasotasossa (Ω) -tasoon nähden. E, F ja G eivät ole samansuuntaisia ​​(Ω): lle, mutta ne ovat tasotasoja määrittelemälleen tasoon. Lähde: F. Zapata.

Enemmän kuin kolme pistettä voi olla samansuuntainen tai ei. Esimerkiksi kuvassa 1, kohdat A, B, C ja D ovat tasomaisia ​​tasoon (cop) nähden. Mutta E, F ja G eivät ole samansuuntaisia ​​(Ω): lle, vaikkakin ne ovat tasotasossa määrittelemälleen tasoon.

Kolmen pisteen tason yhtälö

Kolmen tunnetun pisteen A, B, C määrittämä tason yhtälö on matemaattinen suhde, joka takaa, että jokainen piste P, jolla on yleiset koordinaatit (x, y, z), joka täyttää yhtälön, kuuluu mainittuun tasoon.

Edellinen lausunto vastaa sanontaa, että jos koordinaattien P (x, y, z) täyttää tason yhtälö, niin mainittu piste tulee olemaan tasossa niiden kolmen pisteen A, B, C kanssa, jotka määrittivät tason.

Tämän tason yhtälön löytämiseksi aloitetaan etsimällä vektorit AB ja AC:

AB =

AC =

Vektorituotteen AB X AC tuloksena on vektori, joka on kohtisuora tai normaali tasoon, jonka määrää pisteiden A, B, C.

Mikä tahansa piste P koordinaateilla (x, y, z) kuuluu tasoon, jos vektori AP on kohtisuorassa vektoriin AB X AC nähden, mikä taataan, jos:

AP • (AB X AC) = 0

Tämä vastaa sanomista, että AP: n, AB: n ja AC: n kolminkertainen tuote on nolla. Yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa matriisimuodossa:

esimerkki

Olkoon pisteet A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) ja D (a, 0, 1). Mitä arvoa on oltava, jotta neljä pistettä voidaan olla tasomainen?

Ratkaisu

A-arvon löytämiseksi pisteen D on oltava osa A: n, B: n ja C: n määrittämää tasoa, mikä taataan, jos se täyttää tason yhtälön.

Kehitämme determinanttia, joka meillä on:

Edellinen yhtälö kertoo meille, että a = -1 tasa-arvon toteuttamiseksi. Toisin sanoen, ainoa tapa, jolla piste D (a, 0,1) on tasomainen pisteiden A, B ja C kanssa, on, että a on -1. Muuten se ei ole tasomainen.

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Taso leikkaa Cartesian akselit X, Y, Z kohdissa 1, 2 ja 3. Tämän tason leikkaus akseleiden kanssa määrittää pisteet A, B ja C. Löydä pisteen D komponentti Dz, jonka suorakulmaiset komponentit ovat:

Edellyttäen, että D on tasomainen pisteiden A, B ja C kanssa.

Ratkaisu

Kun tason leikkaukset Cartesian akseleiden kanssa tunnetaan, tason yhtälön segmenttimuotoa voidaan käyttää:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Koska pisteen D on kuuluttava edelliseen tasoon, sen on:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Tarkoittaen:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6) = ½

Dz = -3

Edellä esitetystä seuraa, että piste D (3, -2, -3) on tasomainen pisteiden A (1, 0, 0) kanssa; B (0, 2, 0) ja C (0, 0, 3).

- Harjoitus 2

Määritä, ovatko kohdat A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) ja D (2, 3, 1) ovat samansuuntaisia.

Ratkaisu

Muodostamme matriisin, jonka rivit ovat DA: n, BA: n ja CA: n koordinaatit. Sitten lasketaan determinantti ja varmistetaan, onko se nolla vai ei.

Kaikkien laskelmien suorittamisen jälkeen päätellään, että ne ovat tasomaisia.

- Harjoitus 3

Avaruudessa on kaksi viivaa. Yksi niistä on viiva (R), jonka parametrinen yhtälö on:

Ja toinen on viiva (S), jonka yhtälö on:

Osoita, että (R) ja (S) ovat tasotasoja, ts. Ne sijaitsevat samassa tasossa.

Ratkaisu

Aloitetaan ottamalla mielivaltaisesti kaksi pistettä linjalta (R) ja kaksi linjalta (S):

Linja (R): λ = 0; A (1, 1, 1) ja X = 1; B (3, 0, 1)

Olkoon x = 0 rivillä (S) => y = ½; C (0, 1,5, -1). Ja toisaalta, jos teemme y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Eli olemme ottaneet pisteet A ja B, jotka kuuluvat linjaan (R), ja pisteet C ja D, jotka kuuluvat linjaan (S). Jos nämä kohdat ovat tasomaisia, niin kaksi viivaa ovat liian.

Nyt valitsemme pisteeksi pisteen A ja löydämme sitten vektorien AB, AC ja AD koordinaatit . Tällä tavalla saat:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Seuraava vaihe on konstruoida ja laskea determinantti, jonka ensimmäinen rivi on vektorin AB kertoimet, toinen rivi on AC: n ja kolmas rivi vektorin AD kertoimet:

Koska determinantti osoittautuu nollaksi, voidaan päätellä, että nämä neljä pistettä ovat samansuuntaiset. Lisäksi voidaan todeta, että viivat (R) ja (S) ovat myös tasomaisia.

- Harjoitus 4

Lineaarit (R) ja (S) ovat tasomaisia, kuten tehtävässä 3 näytetään. Löydä niitä sisältävän tason yhtälö.

Ratkaisu

Pisteet A, B, C määrittelevät kokonaan kyseisen tason, mutta haluamme määrätä, että mikä tahansa koordinaattien piste X (x, y, z) kuuluu siihen.

Jotta X kuuluisi A, B, C: n määrittelemään tasoon, johon viivat (R) ja (S) sisältyvät, on välttämätöntä, että determinantti, jonka sen ensimmäiseen riviin muodostivat AX- komponentit, toisessa rivissä alan AB ja kolmannessa alan AC:

Tämän tuloksen jälkeen ryhmittelemme tällä tavalla:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Ja heti huomaat, että se voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Siksi x + 2y - z = 2 on tason yhtälö, joka sisältää viivat (R) ja (S).

Viitteet

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineaarinen algebra. Pearson koulutus.
3. Leal, JM 2005. Litteä analyyttinen geometria. Mérida - Venezuela: Toimituksellinen Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektoreita. Palautettu osoitteesta books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Ennakkolaskelma. Pearson koulutus.
6. Prenowitz, W. 2012. Geometrian peruskäsitteet. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson koulutus.