MITÄ OVAT YHTÄAIKAISET YHTÄLÖT? (HARJOITUKSET RATKAISTU) - MATEMATIIKKA - 2026

Yhtälöryhmä ovat ne, yhtälöitä, jotka on täytettävä samanaikaisesti. Siksi, että sinulla on samanaikaisia ​​yhtälöitä, sinulla on oltava useampi kuin yksi yhtälö.

Kun sinulla on kaksi tai useampia yhtälöitä, joilla on oltava sama ratkaisu (tai samat ratkaisut), sanotaan, että sinulla on yhtälöjärjestelmä tai sanotaan myös, että sinulla on samanaikaiset yhtälöt.

Kun meillä on samanaikaiset yhtälöt, voi tapahtua, että niillä ei ole yhteisiä ratkaisuja tai niillä on rajallinen määrä tai niillä on ääretön määrä.

Samanaikaiset yhtälöt

Kun otetaan huomioon kaksi eri yhtälöä Eq1 ja Eq2, seuraa, että näiden kahden yhtälön järjestelmää kutsutaan samanaikaisiksi yhtälöiksi.

Samanaikaiset yhtälöt tyydyttävät sen, että jos S on ratkaisu Eq1, niin S on myös ratkaisu Eq2 ja päinvastoin

ominaisuudet

Kun kyse on samanaikaisten yhtälöiden järjestelmästä, sinulla voi olla 2 yhtälöä, 3 yhtälöä tai N yhtälöä.

Yleisimmät samanaikaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi käytetyt menetelmät ovat: korvaaminen, tasaaminen ja pelkistys. On myös toinen menetelmä, nimeltään Cramerin sääntö, joka on erittäin hyödyllinen järjestelmissä, joissa on enemmän kuin kaksi samanaikaista yhtälöä.

Esimerkki samanaikaisista yhtälöistä on järjestelmä

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Voidaan nähdä, että x = 0, y = 2 on Eq1: n ratkaisu, mutta se ei ole Eq2: n ratkaisu.

Ainoa yleinen ratkaisu, joka molemmilla yhtälöillä on, on x = 1, y = 1. Eli x = 1, y = 1 on ratkaisu samanaikaisten yhtälöiden järjestelmään.

Ratkaistuja harjoituksia

Seuraavaksi siirrymme ratkaisemaan yllä esitetty samanaikaisten yhtälöiden järjestelmä kolmen mainitun menetelmän avulla.

Ensimmäinen harjoitus

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 korvausmenetelmällä.

Ratkaisu

Substituutiomenetelmä koostuu yhden yhtälössä olevan tuntemattoman ratkaisemisesta ja korvaamisesta sitten toisessa yhtälössä. Tässä erityisessä tapauksessa voimme ratkaista "y": lle Eq1: stä ja saadaan, että y = 2-x.

Korvaamalla tämä arvo y: llä Eq2: ssa, saadaan 2x- (2-x) = 1. Siksi saamme, että 3x-2 = 1, eli x = 1.

Sitten, koska x: n arvo tunnetaan, se korvataan "y": llä ja saadaan, että y = 2-1 = 1.

Siksi ainoa ratkaisu yhtäaikaisten yhtälöiden järjestelmään Eq1 ja Eq2 on x = 1, y = 1.

Toinen harjoitus

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 käyttämällä vastaavuusmenetelmää.

Ratkaisu

Sovitusmenetelmä koostuu saman tuntemattoman ratkaisemisesta molemmissa yhtälöissä ja tuloksena olevien yhtälöiden yhteensovittamisesta.

Ratkaisemalla "x" molemmista yhtälöistä saadaan, että x = 2-y ja x = (1 + y) / 2. Nyt nämä kaksi yhtälöä on tasattu ja saamme 2-y = (1 + y) / 2, josta seuraa, että 4-2y = 1 + y.

Ryhmittämällä tuntematon "y" samalle puolelle saadaan y = 1. Nyt kun "y" tunnetaan, etsimme "x" -arvoa. Korvaamalla y = 1 saadaan, että x = 2-1 = 1.

Siksi yhtälöiden Eq1 ja Eq2 välinen yhteinen ratkaisu on x = 1, y = 1.

Kolmas harjoitus

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 käyttämällä pelkistysmenetelmää.

Ratkaisu

Pelkistysmenetelmä koostuu annettujen yhtälöiden kertomisesta asianmukaisilla kertoimilla, niin että näitä yhtälöitä lisättäessä yksi muuttujista peruutetaan.

Tässä nimenomaisessa esimerkissä ei ole tarpeen kertoa yhtälöä millään kertoimella, vain lisätä ne. Lisäämällä Eq1 plus Eq2 saadaan 3x = 3, josta saadaan että x = 1.

Arvioitaessa x = 1 yhtälössä 1 saadaan, että 1 + y = 2, josta seuraa, että y = 1.

Siksi x = 1, y = 1 on ainoa ratkaisu samanaikaisiin yhtälöihin Eq1 ja Eq2.

Neljäs harjoitus

Ratkaise samanaikaisten yhtälöiden järjestelmä Eq1: 2x-3y = 8 ja Eq2: 4x-3y = 12.

Ratkaisu

Tässä harjoituksessa ei vaadita erityistä menetelmää, joten voidaan käyttää menetelmää, joka on jokaiselle lukijalle mukavin.

Tässä tapauksessa käytetään pelkistysmenetelmää. Kertomalla Eq1 -2: llä saadaan yhtälö Eq3: -4x + 6y = -16. Nyt lisäämällä Eq3 ja Eq2 saadaan, että 3y = -4, siis y = -4 / 3.

Nyt arvioitaessa y = -4 / 3 tasossa Eq1 saadaan se 2x-3 (-4/3) = 8, josta 2x + 4 = 8, siis x = 2.

Yhteenvetona voidaan todeta, että ainoa ratkaisu yhtäaikaisten yhtälöiden järjestelmään Eq1 ja Eq2 on x = 2, y = -4 / 3.

havainto

Tässä artikkelissa kuvattuja menetelmiä voidaan soveltaa järjestelmiin, joissa on enemmän kuin kaksi samanaikaista yhtälöä.

Mitä enemmän yhtälöitä ja mitä enemmän tuntemattomia on, sitä monimutkaisempi menetelmä järjestelmän ratkaisemiseksi on.

Mikä tahansa menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi antaa samat ratkaisut, ts. Ratkaisut eivät ole riippuvaisia ​​käytetystä menetelmästä.

Viitteet

1. Fuentes, A. (2016). PERUSMATTIA. Johdanto laskentaan. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematiikka: neliömäiset yhtälöt.: Kuinka ratkaista neliömäinen yhtälö. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF ja Paul, RS (2003). Johtamisen ja talouden matematiikka. Pearson koulutus.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., ja Estrada, R. (2005). Matematiikka 1 syyskuu. Kynnys.
5. Preciado, CT (2005). Matematiikan kurssi 3. Toimituksellinen progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I on helppoa! Niin helppoa. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra ja trigonometria. Pearson koulutus.