MITKÄ OVAT TRIGONOMETRISET RAJAT? (HARJOITUKSET RATKAISTU) - MATEMATIIKKA - 2026

Trigonometriset rajat ovat rajat toimii siten, että nämä toiminnot on muodostettu trigonometriset funktiot.

On olemassa kaksi määritelmää, jotka on tiedettävä ymmärtääksesi kuinka trigonometrinen raja lasketaan.

Nämä määritelmät ovat:

- Funktion «f» raja, kun «x» on taipumus «b»: se koostuu arvon laskemisesta, johon f (x) lähestyy «x» lähestyy «b», saavuttamatta «b» ».

- Trigonometriset funktiot: trigonometriset funktiot ovat sini-, kosinus- ja tangenttifunktiot, joita merkitään vastaavasti sin (x), cos (x) ja tan (x).

Muut trigonometriset funktiot saadaan kolmesta edellä mainitusta funktiosta.

Toimintarajat

Funktion rajan käsitteen selventämiseksi jatkamme esimerkkejä yksinkertaisista toiminnoista.

- F (x) = 3 -raja, kun "x" on yleensä "8", on yhtä suuri kuin "3", koska toiminto on aina vakio. Huolimatta siitä, kuinka paljon "x" on arvoinen, f (x): n arvo on aina "3".

- Raja f (x) = x-2, kun «x» on taipuvainen «6», on «4». Siitä lähtien kun "x" lähestyy "6", niin "x-2" lähestyy "6-2 = 4".

- G (x) = x² -raja, kun "x" on "3", on yhtä suuri kuin 9, koska kun "x" lähestyy "3", "x²" lähestyy "3² = 9".

Kuten edellisistä esimerkeistä voidaan nähdä, raja-arvon laskeminen koostuu sen arvon arvioimisesta, johon "x" pyrkii funktiossa, ja tuloksena on raja-arvon arvo, vaikka tämä pätee vain jatkuviin toimintoihin.

Onko olemassa monimutkaisempia rajoituksia?

Vastaus on kyllä. Yllä olevat esimerkit ovat yksinkertaisimpia esimerkkejä rajoista. Laskentakirjoissa päärajaharjoitukset ovat ne, jotka tuottavat epätyypillisyyttä tyypeistä 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ja (∞) ^ 0.

Näitä lausekkeita kutsutaan määrittelemättömyyksiksi, koska ne ovat lausekkeita, joilla ei ole järkeä matemaattisesti.

Lisäksi alkuperäiseen raja-arvoon liittyvistä toiminnoista riippuen määrittelemättömyyksiä ratkaistaessa saatu tulos voi olla erilainen.

Esimerkkejä yksinkertaisista trigonometrisista rajoista

Rajojen ratkaisemiseksi on aina erittäin hyödyllistä tietää käyrien kuvaajat. Siniaalto-, kosinus- ja tangenttifunktiot on esitetty alla.

Joitakin esimerkkejä yksinkertaisista trigonometrisista rajoista ovat:

- Laske syntiraja (x), kun «x» taipuu «0».

Kaaviota tarkasteltaessa voidaan nähdä, että jos "x" lähenee "0": ta (sekä vasemmalta että oikealta), niin sinikaavio myös lähenee "0": ta. Siksi synnin (x) raja, kun "x" taipuu arvoon "0", on "0".

- Laske cos (x) -raja, kun «x» taipuu «0».

Tarkkailemalla kosinin kuvaajaa voidaan nähdä, että kun "x" on lähellä "0", kosinin kuvaaja on lähellä "1". Tämä merkitsee, että cos (x) -raja, kun "x" pyrkii arvoon "0", on yhtä suuri kuin "1".

Raja voi olla (olla numero), kuten edellisissä esimerkeissä, mutta voi myös tapahtua, että sitä ei ole, kuten seuraavassa esimerkissä esitetään.

- Tan (x) -raja, kun «x» taipuu «Π / 2» vasemmalta, on yhtä suuri kuin «+ ∞», kuten kaaviosta voidaan nähdä. Toisaalta, tan (x) -raja, kun "x" taipuu "-Π / 2" oikealta, on yhtä suuri kuin "-∞".

Trigonometriset rajat -identiteetit

Kaksi erittäin hyödyllistä identiteettiä trigonometristen rajojen laskemisessa ovat:

- «sin (x) / x» -raja, kun «x» taipuu «0», on yhtä suuri kuin «1».

- «(1-cos (x)) / x» -raja, kun «x» on taipuvainen «0», on yhtä suuri kuin «0».

Näitä identiteettejä käytetään hyvin usein, kun sinulla on jonkinlainen määrittelemättömyys.

Ratkaistuja harjoituksia

Ratkaise seuraavat rajat käyttämällä yllä kuvattuja identiteettejä.

- Laske «f (x) = sin (3x) / x» -raja, kun «x» taipuu «0».

Jos toiminto "f" arvioidaan arvossa "0", saadaan tyyppiä 0/0 oleva epämääräisyys. Siksi meidän on yritettävä ratkaista tämä määrittelemättömyys kuvattujen identiteettien avulla.

Ainoa ero tämän rajan ja identiteetin välillä on numero 3, joka näkyy sinitoiminnossa. Identiteetin soveltamiseksi funktio «f (x)» on kirjoitettava uudelleen seuraavasti: «3 * (sin (3x) / 3x)». Nyt sekä siniargumentti että nimittäjä ovat samat.

Joten kun "x" taipuu arvoon "0", identiteetin käyttäminen antaa arvon "3 * 1 = 3". Siksi f (x) -raja, kun "x" taipuu "0", on yhtä suuri kuin "3".

- Laske raja «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», kun «x» on taipuvainen «0».

Kun "x = 0" korvataan g (x): ssa, saadaan tyypin ∞-∞ määrittelemättömyys. Sen ratkaisemiseksi vähennetään ensin fraktiot, jotka tuottavat "(1-cos (x)) / x".

Nyt, kun käytetään toista trigonometristä identiteettiä, meillä on, että g (x) -raja, kun «x» taipuu «0», on 0.

- Laske «h (x) = 4tan (5x) / 5x» -raja, kun «x» on taipuvainen «0».

Jälleen, jos h (x) arvioidaan arvossa "0", saadaan tyypin 0/0 määrittelemättömyys.

Uudelleenkirjoittaminen nimellä (5x) sin (5x) / cos (5x) johtaa h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Käyttämällä tätä 4 / cos (x) -rajaa, kun "x" pyrkii arvoon "0", on yhtä suuri kuin "4/1 = 4" ja saadaan ensimmäinen trigonometrinen identiteetti, jonka h (x) -raja, kun "x" on taipuvainen a "0" on yhtä suuri kuin "1 * 4 = 4".

havainto

Trigonometriset rajat eivät aina ole helppo ratkaista. Tässä artikkelissa esitettiin vain perus esimerkkejä.

Viitteet

1. Fleming, W., ja Varberg, DE (1989). Precalculus-matematiikka. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., ja Varberg, DE (1989). Esikalkulusmatematiikka: ongelmanratkaisumenetelmä (2, kuvitettu toim.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., ja Varberg, D. (1991). Algebra ja trigonometria analyyttisellä geometrialla. Pearson koulutus.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 painos). Cengagen oppiminen.
5. Leal, JM, ja Viloria, NG (2005). Koneanalyyttinen geometria. Mérida - Venezuela: Toimituksellinen Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson koulutus.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., ja Rigdon, SE (2007). Calculus (yhdeksäs painos). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentiaalilaskenta varhaisilla transsendentteillä toiminnoilla tiedelle ja tekniikalle (toinen painos toimitettu). Hypotenuusa.
9. Scott, Kalifornia (2009). Cartesian Plane Geometria, osa: Analytical Conics (1907) (uusintapainos ed.). Salamanlähde.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson koulutus.