MITÄ OVAT TASOMAISET VEKTORIT? (RATKAISTUJEN HARJOITUSTEN KANSSA) - FYYSINEN - 2026

Samantasoisia vektorit tai koplanaarinen ovat ne, jotka sisältyvät samassa tasossa. Kun vektoreita on vain kaksi, nämä ovat aina samansuuntaisia, koska lentoja on ääretön, on aina mahdollista valita yksi, joka sisältää ne.

Jos sinulla on kolme tai useampia vektoreita, voi olla, että jotkut niistä eivät ole samassa tasossa kuin muut, joten niitä ei voida pitää yhdessä tasossa. Seuraava kuva näyttää sarjan tasomaisia ​​vektoreita, jotka on merkitty lihavoituna A, B, C ja D:

Kuva 1. Neljä samansuuntaista vektoria. Lähde: itse tehty.

Vektorit liittyvät tieteeseen ja tekniikkaan liittyvien fysikaalisten määrien käyttäytymiseen ja ominaisuuksiin; esimerkiksi nopeus, kiihtyvyys ja voima.

Voima tuottaa esineeseen erilaisia ​​vaikutuksia, kun sen soveltamistapaa muutetaan, esimerkiksi muuttamalla voimakkuutta, suuntaa ja suuntaa. Jopa yhden näistä parametreista muuttamisen seurauksena tulokset ovat huomattavasti erilaisia.

Monissa sovelluksissa, sekä staattisessa että dynamiikassa, vartaloon vaikuttavat voimat ovat samassa tasossa, joten niitä pidetään samansuuntaisina.

Edellytykset vektoreille, joiden on oltava tasomaisia

Jotta kolme vektoria voidaan olla tasomaisia, niiden on oltava samalla tasolla ja tämä tapahtuu, jos ne täyttävät jonkin seuraavista ehdoista:

-Vektorit ovat yhdensuuntaisia, joten niiden komponentit ovat suhteellisia ja lineaarisesti riippuvaisia.

-Se sekoitettu tuote on nolla.

-Jos sinulla on kolme vektoria ja mikä tahansa niistä voidaan kirjoittaa lineaarisena yhdistelmänä kahdesta muusta, nämä vektorit ovat tasomaisia. Esimerkiksi vektori, joka syntyy kahden muun summasta, kaikki kolme ovat samassa tasossa.

Vaihtoehtoisesti yhteistason olosuhteet voidaan asettaa seuraavasti:

Sekoitettu tuote kolmen vektorin välillä

Vektoreiden välinen sekatuote määritetään kolmella vektorilla u, v ja w, mikä johtaa skalaariin, joka syntyy seuraavan operaation suorittamisesta:

u · (v x w) = u · (v x w)

Ensin suoritetaan suluissa oleva poikkituote: v x w , jonka tulos on normaali vektori (kohtisuora) tasoon, jossa sekä v että w ovat .

Jos u on samalla tasolla kuin v ja w , luonnollisesti u: n ja mainitun normaalivektorin välisen skalaarituotteen (pistetuotteen) on oltava 0. Tällä tavalla varmistetaan, että kolme vektoria ovat samansuuntaisia ​​(ne sijaitsevat samalla tasolla).

Kun sekoitettu tuote ei ole nolla, sen tulos on yhtä suuri kuin suuntaissärmiön tilavuus, jossa vektorit u , v ja w ovat vierekkäin.

Sovellukset

Samanpuoleiset, samanaikaiset ja ei-lineaariset voimat

Kaikki samanaikaiset voimat kohdistetaan samaan pisteeseen. Jos ne ovat myös tasomaisia, ne voidaan korvata yhdellä, jota kutsutaan tuloksena olevaksi voimaksi ja jolla on sama vaikutus kuin alkuperäisillä voimilla.

Jos vartalo on tasapainossa kolmen samansuuntaisen voiman, samanaikaisen ja ei-kollineaarisen (ei samansuuntaisen), nimeltään A , B ja C, ansiosta, Lamyn lause osoittaa, että näiden voimien (magnitudien) välinen suhde on seuraava:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Kun α, β ja γ ovat kohdistettujen voimien vastakkaisia ​​kulmia seuraavan kuvan mukaisesti:

Kuva 2. Kolme tasomaista voimaa A, B ja C vaikuttavat esineeseen. Lähde: Kiwakwok englanninkielisessä Wikipediassa

Ratkaistuja harjoituksia

-Harjoitus 1

Etsi arvo k siten, että seuraavat vektorit ovat tasomaisia:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Ratkaisu

Koska meillä on vektorien komponentteja, käytetään sekoitetun tuotteen kriteeriä:

u (v x w) = 0

Ratkaise ensin v x w. Vektorit ilmaistaan ​​yksikkövektoreina i, j ja k, jotka erottavat kolme kohtisuoraa suuntaa avaruudessa (leveys, korkeus ja syvyys):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Nyt tarkastellaan u: n ja vektorin välistä skalaarituotetta, joka on syntynyt edellisestä operaatiosta, asettamalla operaation arvoksi 0:

u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Haettu arvo on: k = - 6

Joten vektori u on:

u = <-3, -6, 2>

-Harjoitus 2

Kuvassa on esine, jonka paino on W = 600 N, roikkuu tasapainossa kuvan 3 kulmiin sijoitettujen kaapeleiden ansiosta. Voidaanko Lamyn lauseen soveltaa tässä tilanteessa? Joka tapauksessa, löytää suuruudet T ₁, T _2, ja T ₃, jotka tekevät tasapaino mahdollinen.

Kuva 3. Paino roikkuu tasapainossa esitettyjen kolmen jännityksen vaikutuksesta. Lähde: itse tehty.

Ratkaisu

Lamyn lause on sovellettavissa tässä tilanteessa, jos solmua, jolle kolme jännitystä kohdistetaan, tarkastellaan, koska ne muodostavat saman tason voimien järjestelmän. Ensin tehdään roikkuvan painon vapaa runkokaavio T _3: n suuruuden määrittämiseksi _:

Kuva 4. Vapaa runkokaavio painon ripustamiseksi. Lähde: itse tehty.

Tasapainotilasta seuraa, että:

Voimien väliset kulmat on merkitty punaisella seuraavassa kuvassa, voidaan helposti tarkistaa, että niiden summa on 360º. Nyt on mahdollista soveltaa Lamyn lausetta, koska yksi voimista ja niiden välisistä kolmesta kulmasta tunnetaan:

Kuva 5.- Punaisella kulmat Lamyn lauseen soveltamiseksi. Lähde: itse tehty.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Siksi: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Jälleen Lamyn lause on ratkaistu T ₂: lle:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Viitteet

1. Figueroa, D. Sarja: Fysiikka tieteiden ja tekniikan aloille. Osa 1. Kinematiikka. 31-68.
2. Fyysinen. Moduuli 8: Vektorit. Palautettu osoitteesta: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Staattinen 6. painos. Continental Publishing Company, 28-66.
4. McLean, W. Schaum -sarja. Insinöörien mekaniikka: statiikka ja dynamiikka. 3. painos. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektori. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.