Tyypit integraalit että löydämme hammaskiven ovat toistaiseksi integraaleja ja selvä integraaleja. Vaikka ehdottomilla integraaleilla on paljon enemmän sovelluksia kuin määrittelemättömillä integraaleilla, on ensin opittava ratkaisemaan määrittelemättömät integraalit.
Yksi houkuttelevimmista kiinteiden integraalien sovelluksista on vallankumouksen kiinteän aineen tilavuuden laskeminen. Molemmilla integraalityypeillä on samat lineaarisuuden ominaisuudet, ja myös integrointitekniikat eivät riipu integraalin tyypistä.
Kiinteä vallankumouksen
Mutta siitä huolimatta, että se on hyvin samanlainen, siinä on yksi tärkein ero; ensimmäisen tyyppisessä integraalissa tulos on funktio (joka ei ole spesifinen), kun taas toisessa tyypissä tulos on luku.
Integraalien perustyypit
Integralien maailma on erittäin laaja, mutta siinä voidaan erottaa kaksi integraalien perustyyppiä, joita on helppo soveltaa jokapäiväisessä elämässä.
1- rajattomat integraalit
Jos F '(x) = f (x) kaikille f: n alueella oleville x: ille, sanotaan, että F (x) on f (x): n antijohdannainen, primitiivinen tai integraali.
Toisaalta, huomataan, että (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), mikä tarkoittaa, että funktion integraali ei ole ainutlaatuinen, koska antamalla vakio C: lle erilaisia arvoja, saamme erilaisen integraalifunktio.
Tästä syystä F (x) + C: tä kutsutaan f (x): n määrittelemättömäksi integraaliksi ja C: tä kutsutaan integraation vakiona ja me kirjoitamme sen seuraavalla tavalla
Määrittelemätön integraali
Kuten näemme, funktion f (x) määrittelemätön integraali on funktioiden perhe.
Esimerkiksi, jos haluat laskea funktion f (x) = 3x² määrittelemättömän integraalin, sinun on ensin löydettävä f (x) -johdannainen.
On helppo nähdä, että F (x) = x³ on antiderivaatti, koska F '(x) = 3x². Siksi voidaan päätellä, että
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2 - ehdottomat integraalit
Olkoon y = f (x) todellinen, jatkuva funktio suljetulla aikavälillä ja olkoon F (x) olevan f (x): n vastajohdannainen. F (x): n ehdottomaksi integraaliksi rajojen a ja b välillä kutsutaan numerona F (b) -F (a), ja sitä merkitään seuraavasti
Laskennan peruslause
Edellä esitetty kaava tunnetaan paremmin nimellä "Calculuksen peruslause". Tässä "a" kutsutaan alarajaksi ja "b" kutsutaan ylärajaksi. Kuten näette, funktion tarkka integraali on numero.
Tässä tapauksessa, jos f (x) = 3x²: n tarkka integraali lasketaan aikavälillä, saadaan luku.
Tämän luvun määrittämiseksi valitsemme F (x) = x³: n vasta-aineeksi f (x) = 3x². Sitten laskemme F (3) -F (0), joka antaa meille tuloksen 27-0 = 27. Yhteenvetona voidaan todeta, että f (x): n lopullinen integraali välillä on 27.
Voidaan huomata, että jos valitaan G (x) = x³ + 3, niin G (x) on f (x): n vasta-aine, joka eroaa F (x): stä, mutta tämä ei vaikuta tulokseen, koska G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Tästä syystä integraatiovakio ei esiinny määrätyissä integraaleissa.
Yksi hyödyllisimmistä sovelluksista tämän tyyppisellä integraalilla on, että sen avulla voidaan laskea tasomaisen kuvan (vallankumouksen kiinteän aineen) pinta-ala (tilavuus), asettamalla sopivat toiminnot ja integraatiorajat (ja pyörimisakseli).
Tiettyjen integraalien joukosta voimme löytää siitä erilaisia laajennuksia, kuten lineaarintegraalit, pintaintegraalit, virheelliset integraalit, useita integraaleja, kaikilla erittäin hyödyllisiä sovelluksia tieteessä ja tekniikassa.
Viitteet
- Casteleiro, JM (2012). Onko se helppo integroida? Itsenäinen opiskelu. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, ja Gómez-Álvarez, RP (2002). Integral calculus (Kuvitettu ed.). Madrid: ESIC Toimitusjohtaja.
- Fleming, W., ja Varberg, DE (1989). Precalculus-matematiikka. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., ja Varberg, DE (1989). Esikalkulusmatematiikka: ongelmanratkaisumenetelmä (2, kuvitettu toim.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integral Calculus. Atlantic Publishers ja jakelijat.
- Purcell, EJ, Varberg, D., ja Rigdon, SE (2007). Calculus (yhdeksäs painos). Prentice Hall.