SIMPSONIN SÄÄNTÖ: KAAVA, TODISTE, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Simpson: n sääntö on laskentamenetelmä, noin, selvä integraaleja. Se perustuu integraatiovälin jakamiseen parilliseen lukumäärään yhtä etäisyydellä olevista alajaksoista.

Kahden peräkkäisen alavälin ääriarvot määrittelevät kolme pistettä, johon parabooli, jonka yhtälö on toisen asteen polynomi, sopii.

Kuva 1. Simpsonin menetelmässä integraatioväli on jaettu parilliseen lukumäärään yhtä leveitä jaksoja. Parabola lähentää toimintoa jokaisessa 2 alajaksossa ja integraali lähestyy parabolien alla olevan alueen summaa. Lähde: upv.es.

Sitten funktion käyrän alapuolella olevaa aluetta kahdessa peräkkäisessä intervallissa arvioidaan interpolointipolynomin pinta-alalla. Lisäämällä panos parabolin alla olevaan alueeseen kaikista peräkkäisistä osaväleistä, saadaan integraalin likimääräinen arvo.

Toisaalta, koska paraboolin integraali voidaan laskea täsmällisesti algebralla, silloin on mahdollista löytää analyyttinen kaava määrätyn integraalin likimääräiselle arvolle. Se tunnetaan Simpson-kaavana.

Näin saadun likimääräisen tuloksen virhe pienenee, kun alajakojen lukumäärä n on suurempi (missä n on parillinen luku).

Seuraavaksi annetaan lauseke, joka sallii estimoinnin integraalin I virheen ylärajan arvioinnin, kun kokonaisvälin n säännöllisen alivälin osio on tehty.

Kaava

Integrointiväli on jaettu n osaväliin, jolloin n on parillinen kokonaisluku. Kunkin jaon leveys on:

h = (b - a) / n

Tällä tavalla osio tehdään ajanjakson aikana:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Missä X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Kaava, joka sallii likimääräisen jatkuvan ja mieluiten sileän funktion kiinteän integraalin I arvioimisen aikavälillä, on:

Esittely

Simpsonin kaavan saamiseksi, jokaisessa alaintervallissa funktiota f (X) lähennetään toisen asteen polynomilla p (X) (parabola), joka kulkee kolmen pisteen läpi:; ja.

Sitten lasketaan polynomin p (x) integraali, jossa se lähestyy funktion f (X) integraalia sillä aikavälillä.

Kuva 2. Kaavio Simpsonin kaavan esittämiseksi. Lähde: F. Zapata.

Interpolointipolynomin kertoimet

Parabolin p (X) yhtälöllä on yleinen muoto: p (X) = AX ² + BX + C. Kun parabooli kulkee punaisella merkittyjen pisteiden Q läpi (katso kuva), kertoimet A, B, C määritetään seuraavasta yhtälöjärjestelmästä:

A (-h) ² - Bh + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Voidaan nähdä, että kerroin C määritetään. Kerroimen A määrittämiseksi lisätään ensimmäinen ja kolmas yhtälö, jolloin saadaan:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Sitten C-arvo korvataan ja A tyhjennetään, jolloin:

A = / (2 h ²)

Kerroimen B määrittämiseksi kolmas yhtälö vähennetään ensimmäisestä ja B ratkaistaan, jolloin saadaan:

B = = 2 tuntia.

Yhteenvetona voidaan todeta, että toisen asteen polynomilla p (X), joka kulkee pisteiden Qi, Qi + 1 ja Qi + 2 läpi, on kertoimet:

A = / (2 h ²)

B = = 2 tuntia

C = f (Xi + 1)

Arvioidun integraalin laskeminen yksikössä

Integraalin likimääräinen laskenta

Kuten jo mainittiin, osio {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} tehdään kokonaisintegraatiovälillä vaiheella h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, missä n on parillinen luku.

Lähestymisvirhe

Huomaa, että virhe pienenee välin alajakojen lukumäärän neljännellä voimalla. Esimerkiksi, jos siirryt n alajaosta arvoon 2n, virhe pienenee kertoimella 1/16.

Simpsonin lähentämisellä saadun virheen yläraja voidaan saada samasta kaavasta korvaamalla neljäs johdannainen neljännen johdannaisen suurimmalla absoluuttisella arvolla aikavälillä.

Toimivia esimerkkejä

- Esimerkki 1

Tarkastellaan funktiota f (X) = 1 / (1 + X ²).

Löydä funktion f (X) tarkka integraali väliltä käyttämällä Simpsonin menetelmää kahdella alajaolla (n = 2).

Ratkaisu

Otetaan n = 2. Integroinnin rajat ovat a = -1 ja b = -2, joten osio näyttää tältä:

X0 = -1; X1 = 0 ja X2 = +1.

Siksi Simpsonin kaava on seuraava:

Kuva 3. Esimerkki Simpsonin säännön mukaisesta numeerisesta integroinnista ohjelmistoa käyttämällä. Lähde: F. Zapata.

Viitteet

1. Casteleiro, JM 2002. Kattava laskelma (kuvitettu painos). Madrid: ESIC Toimitusjohtaja.
2. UPV. Simpsonin menetelmä. Valencian ammattikorkeakoulu. Palautettu osoitteesta: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus yhdeksäs painos. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpsonin sääntö. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange-polynominen interpolointi. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com