VOIMASARJAT: ESIMERKKEJÄ JA HARJOITUKSIA - MATEMATIIKKA - 2026

Teho sarja koostuu summattu ehdot muodossa toimivalta muuttujan x, tai yleisemmin xc, jossa c on vakio todellinen numero. Yhteenvetomerkinnässä sarja valtuuksia ilmaistaan ​​seuraavasti:

Kun kertoimet a _o, a ₁, a ₂ … ovat todellisia lukuja ja sarja alkaa arvosta n = 0.

Kuva 1. Tehosarjan määritelmä. Lähde: F. Zapata.

Tämä sarja keskittyy vakioarvoon c, mutta voit valita, että c on yhtä suuri kuin 0, jolloin tehosarja yksinkertaistuu:

Sarjat alkavat vastaavasti a _tai (xc) ⁰ ja a _tai x ⁰. Mutta me tiedämme sen:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Siksi a _o (xc) ⁰ = a _tai x ⁰ = a _o (itsenäinen termi)

Hyvä asia sarjassa on, että toiminnot voidaan ilmaista niiden kanssa, ja sillä on monia etuja, varsinkin jos haluat työskennellä monimutkaisella toiminnolla.

Käytä tällöin funktion suoraan käyttämisen sijasta sen tehosarjan laajennusta, joka voi olla helpompi johtaa, integroida tai työskennellä numeerisesti.

Kaiken tietysti ehtona on sarjan lähentyminen. Sarja lähentyy, kun lisätään tietty suuri määrä termejä, jolloin saadaan kiinteä arvo. Ja jos lisäämme vielä uusia termejä, saamme edelleen arvon.

Toimii tehosarjana

Otetaan esimerkiksi f (x) = e ^x tehosarjana ilmaistuna funktiona.

Tämä toiminto voidaan ilmaista joukkona voimia seuraavasti:

ja ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) +…

Missä! = n. (N-1). (N-2). (n-3)… ja se vie 0! = 1.

Aiomme tarkistaa laskimen avulla, että sarja todellakin vastaa yhtä nimenomaisesti annettua toimintoa. Aloitetaan esimerkiksi tekemällä x = 0.

Tiedämme, että e ⁰ = 1. Katsotaan mitä sarja tekee:

ja ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) +… = 1

Ja nyt kokeillaan x = 1. Laskin palauttaa arvon e ¹ = 2,71828 ja verrataan sitten sarjaan:

ja ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Vain 5 termillä meillä on jo tarkka ottelu e ≈ 2,71: ssä. Sarjamme on vielä vähän jäljellä, mutta mitä enemmän termejä lisätään, sarja varmasti lähenee e: n tarkkaa arvoa. Esitys on tarkka, kun n → ∞.

Jos edellinen analyysi toistetaan n = 2, saadaan hyvin samanlaisia ​​tuloksia.

Tällä tavalla olemme varmoja, että eksponentiaalifunktio f (x) = e ^x voidaan edustaa tällä voimalla:

Kuva 2. Tässä animaatiossa voimme nähdä, kuinka tehosarja lähestyy eksponentiaalifunktiota, kun enemmän termejä otetaan. Lähde: Wikimedia Commons.

Geometrinen voimasarja

Toiminto f (x) = e ^x ei ole ainoa toiminto, joka tukee tehosarjan esitystä. Esimerkiksi funktio f (x) = 1/1 - x näyttää paljon kuin tunnettu konvergentti geometrinen sarja:

Riittää, että tehdään a = 1 ja r = x, jotta saadaan tätä funktiota varten sopiva sarja, jonka keskipiste on c = 0:

On kuitenkin tiedossa, että tämä sarja on konvergenssi │r│ <1: lle, siksi esitys on voimassa vain aikavälillä (-1,1), vaikka funktio on voimassa kaikille x paitsi x = 1.

Kun haluat määritellä tämän toiminnon toisella alueella, keskityt vain sopivaan arvoon ja olet valmis.

Kuinka löytää funktion kyky sarjaan

Mitä tahansa funktiota voidaan kehittää c-keskittyneessä tehosarjassa, kunhan siinä on johdannaiset kaikista luokista x = c: ssä. Menetelmässä hyödynnetään seuraavaa lausetta, nimeltään Taylorin lause:

Olkoon f (x) funktio luokan n johdannaisilla, joita merkitään f ⁽ⁿ⁾, joka myöntää joukon laajennuksia voimien välillä I. Hänen sarjakehitys Tayloriin on:

Jotta:

Jossa R _n, joka on n: nnen sarjan termille, kutsutaan loppuosa:

Kun c = 0, sarjaa kutsutaan Maclaurin-sarjaksi.

Tämä tässä annettu sarja on identtinen alussa annetun sarjan kanssa, vasta nyt meillä on tapa löytää selvästi kunkin termin kertoimet, jotka antavat:

Meidän on kuitenkin varmistettava, että sarjat lähentyvät edustatavaa funktiota. Tapahtuu, että jokainen Taylor-sarja ei välttämättä lähentyä f (x): een, joka oli mielessä laskettaessa kertoimia arvossa _n.

Tämä tapahtuu, koska ehkä funktion johdannaiset, jotka on arvioitu x = c: ssä, vastaavat toisen arvon johdannaisia, myös x = c: ssä. Tässä tapauksessa kertoimet olisivat samat, mutta kehitys olisi epäselvä, koska ei ole varmaa, mitä funktiota se vastaa.

Onneksi on olemassa tapa tietää:

Lähentymiskriteeri

Epäselvyyksien välttämiseksi, jos R _n → 0, kun n → ∞ kaikille x väleillä I, sarja suppenee f (x).

Harjoittele

- Harjoitus ratkaistu 1

Etsi geometrinen tehosarja funktiolle f (x) = 1/2 - x keskitettynä c = 0.

Ratkaisu

Annettu funktio on ilmaistava siten, että se osuu mahdollisimman tarkasti yhteen 1 / 1- x: n kanssa, jonka sarja tunnetaan. Joten kirjoitetaan numeroija ja nimittäjä uudelleen muuttamatta alkuperäistä lauseketta:

1/2 - x = (1/2) /

Koska ½ on vakio, se tulee summauksesta ja se kirjoitetaan uudella muuttujalla x / 2:

Huomaa, että x = 2 ei kuulu funktion alueeseen, ja geometrisen tehosarjan osassa annetun lähentymiskriteerin mukaan laajennus on voimassa │x / 2│ <1 tai vastaavasti -2 <x <2.

- Harjoitus ratkaistu 2

Etsi funktion f (x) = sin x Maclaurin-sarjan laajennuksen 5 ensimmäistä termiä.

Ratkaisu

Vaihe 1

Ensin ovat johdannaiset:

-Järjestys 0: se on sama funktio f (x) = sin x

-Ensimmäinen johdannainen: (sin x) ´ = cos x

-Toinen johdannainen: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Kolmas johdannainen: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Neljäs johdannainen: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Vaihe 2

Sitten jokainen johdannainen arvioidaan x = c, kuten Maclaurin-laajennus, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - syn 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Vaihe 3

Kertoimet a _{n rakennetaan};

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3! a ₄ = 0/4! = 0

Vaihe 4

Lopuksi sarja kootaan seuraavan mukaisesti:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Tarvitseeko lukija enemmän termejä? Kuinka monta muuta sarja on lähempänä toimintoa.

Huomaa, että kertoimissa on kuvio, seuraava ei-nolla termi on ₅ ja myös kaikki ne, joilla on pariton indeksi, eroavat nollasta, vuorotellen merkkejä siten, että:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Se jätetään tehtävänä tarkistaa, että se lähenee, jakoperustetta voidaan käyttää sarjojen lähentymiseen.

Viitteet

1. CK-12-säätiö. Power-sarja: toimintojen ja toimintojen esitys. Palautettu: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litoralin kansallinen yliopisto.
3. Larson, R. 2010. Muuttujan laskeminen. 9. päivänä. Painos. McGraw Hill.
4. Matematiikan ilmaiset tekstit. Power-sarja. Palautettu osoitteesta: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Power-sarja. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.org.