AKSIAALINEN SYMMETRIA: OMINAISUUDET, ESIMERKIT JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Aksiaalinen symmetria on silloin, kun olevia luku yhtyvät kanssa olevia toisen kuvion suoralla puolittaja kutsutaan symmetria-akseli. Sitä kutsutaan myös radiaaliseksi, kierto- tai lieriömäiseksi symmetriaksi.

Sitä käytetään yleensä geometrisissa kuvioissa, mutta se on luonteeltaan helposti havaittavissa, koska on eläimiä, kuten perhosia, skorpioneja, leppäkerttuja tai ihmisiä, joilla on aksiaalinen symmetria.

Aksiaalinen symmetria näkyy tässä valokuvassa Toronton kaupungin taivaanrannasta ja sen heijastuksesta vedessä. (Lähde: pixabay)

Kuinka löytää aksiaalinen symmetrinen

Pisteen P aksiaalisen symmetrian P 'löytämiseksi viivan (L) suhteen suoritetaan seuraavat geometriset operaatiot:

1.- kohtisuora linjaan (L), joka kulkee pisteen P läpi.

2.- Kahden viivan sieppaaminen määrittää pisteen O.

3.- Segmentin PO pituus mitataan, sitten tämä pituus kopioidaan linjalle (PO), joka alkaa O: sta suuntaan P: sta O: seen, määrittäen pisteen P '.

4.- Piste P 'on pisteen P aksiaalinen symmetrinen akseliin (L) nähden, koska viiva (L) on segmentin PP' puolustaja, joka on O mainitun segmentin keskipiste.

Kuva 1. Kaksi pistettä P ja P 'ovat aksiaalisesti symmetrisiä akselille (L) nähden, jos mainittu akseli on segmentin PP' puolittaja

Aksiaalisen symmetrian ominaisuudet

- Aksiaalinen symmetria on isometrinen, ts. Geometrisen kuvan etäisyydet ja sitä vastaava symmetria säilyvät.

- Kulman mitta ja sen symmetrisyys ovat yhtä suuret.

- Pisteen aksiaalinen symmetria symmetria-akselilla on itse piste.

- Symmetria-akselin suuntaisen viivan symmetrinen viiva on myös mainitun akselin suuntainen viiva.

- Symmetria-akseliin kiinnittyvällä viivalla on symmetrisenä viivalla toinen kiinnitysviiva, joka puolestaan ​​leikkaa symmetria-akselin samassa pisteessä alkuperäisen viivan kanssa.

- Sivun symmetrinen kuva on toinen viiva, joka muodostaa kulman symmetria-akselin kanssa saman mitan kuin alkuperäisen viivan kanssa.

- Symmetria-akseliin nähden kohtisuoran viivan symmetrinen kuva on toinen viiva, joka on päällekkäin ensimmäisen kanssa.

- Suora ja sen aksiaalinen symmetrinen viiva muodostavat kulman, jonka puolittaja on symmetria-akseli.

Kuva 2. Aksiaalinen symmetria säilyttää etäisyydet ja kulmat.

Esimerkkejä aksiaalisesta symmetriasta

Luonto näyttää runsaasti esimerkkejä aksiaalisesta symmetriasta. Esimerkiksi, monien muiden joukossa voit nähdä kasvojen, hyönteisten, kuten perhosten, symmetrian, rauhallisten vesipintojen ja peilien heijastuksen tai kasvien lehdet.

Kuva 3. Tällä perhosella on lähes täydellinen aksiaalinen symmetria. (Lähde: pixabay)

Kuva 4. Tämän tytön kasvoilla on aksiaalinen symmetria. (Lähde: pixabay)

Aksiaaliset symmetriaharjoitukset

Harjoitus 1

Meillä on kärkien A, B ja C kolmio, joiden suorakulmaiset koordinaatit ovat vastaavasti A = (2, 5), B = (1, 1) ja C = (3,3). Löydä symmetrisen Y-akselin (ordinaattiakselin) ympyrän suorakulmaiset koordinaatit.

Ratkaisu: Jos pisteellä P on koordinaatit (x, y), sen symmetrinen ordinaattiakselin (Y-akseli) ympäri on P '= (- x, y). Toisin sanoen sen abskissan arvo muuttaa merkkiä, kun taas ordinaatin arvo pysyy samana.

Tässä tapauksessa symmetrisellä kolmiolla, jossa on huiput A ', B' ja C ', on koordinaatit:

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) ja C' = (- 3, 3), kuten voidaan nähdä kuviosta 6.

Kuva 6. Jos pisteellä on koordinaatit (x, y), sen symmetrillä Y-akseliin (ordinaattiakseli) nähden on koordinaatit (-x, y).

Harjoitus 2

Kun tarkastellaan kolmion ABC ja sen symmetrisen A'B'C: n toteutusta 1, tarkista, että alkuperäisen kolmion ja sen symmetrian vastaavat sivut ovat samanpituiset.

Ratkaisu: Löytääksesi etäisyyden tai sivujen pituuden käytämme Euklidisen etäisyyskaavaa:

d (A, B) = √ ((Bx - Axe) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Vastaavan symmetrisen sivun A'B 'pituus lasketaan alla:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Tällä tavalla varmistetaan, että aksiaalinen symmetria säilyttää etäisyyden kahden pisteen välillä. Menetelmä voidaan toistaa kolmion kahdelle muulle sivulle ja sen symmetriselle epävarianssin pituuden tarkistamiseksi. Esimerkiksi -AC- = -A'C'- = √5 = 2236.

Harjoitus 3

Tarkista suhteessa kolmioon ABC ja sen symmetriseen A'B'C 'harjoituksesta 1, että alkuperäisen kolmion ja sen symmetrian vastaavilla kulmilla on sama kulmamitta.

Ratkaisu: määritellä toimenpiteet kulmien BAC ja B'A'C 'me ensin laskettava skalaaritulona vektoreiden AB kanssa AC ja sitten skalaaritulo A'B' kanssa A'c ".

Muistaen, että:

A = (2,5), B = (1, 1) ja C = (3,3)

A '= (- 2,5,); B '= (- 1, 1) ja C' = (- 3, 3).

Sillä on:

AB = <1-2, 1-5> ja AC = <3-2, 3-5>

samoin

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> ja AC = <-3 + 2, 3-5>

Sitten löytyy seuraavat skalaarituotteet:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

samoin

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1 (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Kulman BAC mitta on:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4123 - 2236)) = 40,6 °

Samoin kulman B'A'C 'mitta on:

∡B'A'C '= ArcCos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4123 - 2236)) = 40,6 °

Johtopäätös, että aksiaalinen symmetria säilyttää kulmien mitat.

Harjoitus 4

Olkoon piste P koordinaatteista (a, b). Löydä sen aksiaalisen symmetrian P 'koordinaatit suhteessa viivaan y = x.

Ratkaisu: Soitamme (a ', b') symmetrisen pisteen P 'koordinaatit suhteessa linjaan y = x. Segmentin PP 'keskipisteellä M on koordinaatit ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) ja se on myös linjalla y = x, joten seuraava tasa-arvo pätee:

a + a '= b + b'

Toisaalta segmentillä PP 'on kaltevuus -1, koska se on kohtisuora linjalle y = x kaltevuudella 1, joten seuraava tasa-arvo pätee:

b - b '= a' -a

Ratkaisemalla kaksi aikaisempaa yhtälöä a 'ja b' voidaan päätellä, että:

a '= sillä b' = a.

Eli kun pisteelle P (a, b) annetaan sen aksiaalinen symmetria viivan y = x suhteen, on P '(b, a).

Viitteet

1. Arce M., Blázquez S ja muut. Tason muutokset. Palautettu osoitteesta: koulututmxli.files.wordpress.com
2. Laskelma cc. Aksiaalinen symmetria. Palautettu: calculo.cc
3. Superprof. Aksiaalinen symmetria. Palautettu: superprof.es
4. wikipedia. Aksiaalinen symmetria. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Pyöreä symmetria. Palautettu osoitteesta: en.wikipedia.com