KESKUSYMMETRIA: OMINAISUUDET, ESIMERKIT JA HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Kahdessa pisteessä A ja A 'on keskinen symmetria pisteeseen O nähden, kun segmentti AA' kulkee sen läpi ja se on myös AA: n keskipiste. Pistettä O kutsutaan symmetrian keskukseksi.

Kolmion ABC keskisymmetrinen pisteeseen O nähden on toinen kolmio A'B'C ', jolla on seuraavat ominaisuudet:

-Homologiset segmentit ovat yhtä pitkät

- Heidän vastaavilla kulmilla on sama mitta.

Kuva 1. Kolmio ABC ja sen symmetrinen A'B'C. Lähde: F. Zapata.

Kuvio 1 esittää kolmion ABC (punainen) ja sen keskisymmetrian A'B'C '(vihreä) suhteessa symmetriakeskipisteeseen O.

Tässä samassa kuvassa tarkkaavainen tarkkailija tajuaa, että sama tulos saadaan käyttämällä alkuperäisen kolmion kiertoa, kunhan se on 180 astetta ja sen keskitys on O.

Siksi keskeinen symmetria vastaa 180 asteen käännöstä symmetrian keskipisteeseen nähden.

Keskusymmetrian ominaisuudet

Keskusymmetrialla on seuraavat ominaisuudet:

-Symmetrian keskipiste on segmentin keskipiste, joka liittyy pisteen kanssa sen symmetrian kanssa.

- Toisen symmetrinen piste, joka sijaitsee symmetrian keskellä, on sama kuin symmetrian keskipiste.

-Kolmion keskisymmetrinen muoto on yhdenmukainen kolmio (yhtä suuri) kuin alkuperäinen.

-Piirin keskisymmetrinen kuva on toinen ympyrä, jolla on sama säde.

- Ympärysmitalla on keskeinen symmetria suhteessa omaan keskikohtaansa.

Kuva 2. Suunnittelu keskellä symmetriaa. Lähde: Pixabay.

-Ellipsillä on keskeinen symmetria sen keskikohtaan nähden.

-A-segmentillä on keskeinen symmetria keskipisteensä suhteen.

- Tasasivuisella kolmiolla ei ole keskisymmetriaa suhteessa keskustaan, koska sen symmetria, vaikka se on yhdensuuntainen ensimmäiseen, antaa kiertyneen tasasivuisen kolmion.

-Neliöillä on keskeinen symmetria keskustaan ​​nähden.

- Viisikulmiosta puuttuu keskeinen symmetria sen keskikohtaan nähden.

-Säännöllisillä polygooneilla on keskeinen symmetria, kun niillä on parillinen määrä sivuja.

esimerkit

Symmetriakriteereillä on monia sovelluksia tieteessä ja tekniikassa. Keskusymmetria on läsnä luonnossa, esimerkiksi jääkiteillä ja hämähäkkien kanssa on tällainen symmetria.

Lisäksi monet ongelmat ratkaistaan ​​helposti, kun hyödynnetään keskussymmetrian ja muun tyyppisen symmetrian olemassaoloa. Siksi on kätevää tunnistaa nopeasti, kun se tapahtuu.

Kuva 3. Jääkiteillä on keskeinen symmetria. Lähde: Pixabay.

Esimerkki 1

Kun koordinaattipiste P (a, b) on annettu, meidän on löydettävä sen symmetrisen P 'koordinaatit suhteessa koordinaattien (0, 0) alkuperään O.

Ensimmäinen asia on rakentaa piste P ', jolle on piirretty viiva, joka kulkee lähtökohdan O ja pisteen P läpi. Tämän viivan yhtälö on y = (b / a) x.

Nyt kutsutaan (a ', b') symmetrisen pisteen P 'koordinaateiksi. Pisteen P 'on oltava linjalla, joka kulkee O: n läpi, ja siksi on totta: b' = (b / a) a '. Lisäksi etäisyyden OP on oltava yhtä suuri kuin OP ', joka analyyttisessä muodossa on kirjoitettu näin:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

Seuraava on korvata b '= edellisessä lausekkeessa ja neliö yhtälön molemmat puolet neliöjuuren poistamiseksi: (a ² + b ²) =

Uuttamalla yhteinen tekijä ja yksinkertaistamalla saadaan, että ' ² = a ². Tällä yhtälöllä on kaksi todellista ratkaisua: a '= + a tai a' = -a.

Saadaksesi b ', käytämme taas b' = (b / a) a '. Jos '': n positiivinen ratkaisu korvataan, saavuimme siihen b '= b. Ja kun negatiivinen liuos on korvattu, niin b '= -b.

Positiivinen ratkaisu antaa P ': lle saman pisteen P, joten se hylätään. Negatiivinen ratkaisu antaa ehdottomasti symmetrisen pisteen koordinaatit:

P ': (-a, -b)

Esimerkki 2

Vaaditaan osoittamaan, että segmentillä AB ja sen keskisymmetrillä A'B 'on sama pituus.

Alkaen pisteen A koordinaateista, jotka ovat (Ax, Ay) ja pisteen B koordinaateista ((Bx, By)), segmentin AB pituus saadaan:

d (AB) = √ ((Bx - akseli) ² + (by - Ay) ²)

Analogisesti symmetrisen segmentin A'B pituus saadaan laskemalla:

d (A'B ') = √ ((Bx' - ax ') ² + (' 'Ay') ²)

Symmetrisen pisteen A 'koordinaatit ovat Ax' = -Ax ja Ay '= -Ay. Samoin B: n B ovat 'Bx' = -Bx ja '= -By. Jos nämä koordinaatit korvataan etäisyyden d (A'B ') yhtälössä, meillä on:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ²), joka vastaa:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²) = d (AB)

Näin näytetään, että molemmilla segmenteillä on sama pituus.

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Osoita analyyttisesti, että säteen R ympyrän ja O: n keskisymmetrinen O on sama alkuperäinen ympyrä.

Ratkaisu

Ympäristön, jonka säde on R ja keskipiste O (0,0), yhtälö on:

x ² + y ² = R ² (Ympäristön yhtälö)

Jos koordinaattien (x, y) ympyrän y jokaisessa pisteessä P löydetään sen koordinaattien symmetrinen P '(x', y '), symmetrisen kehän yhtälö on:

x ' ² + y' ² = R ² (symmetrisen ympyrän yhtälö C ')

Nyt viitataan esimerkin 1 tulokseen, jossa päätellään, että P: lle symmetrisen pisteen P 'koordinaatit (a, b) ovat (-a, -b).

Mutta tässä harjoituksessa pisteellä P on koordinaatit (x, y), joten sen symmetrisellä P 'on koordinaatit x' = -xe y '= -y. Korvaamalla tämä meillä olevan symmetrisen ympyrän yhtälössä:

(-x) ² + (y) ² = R ²

Mikä vastaa: x ² + y ² = R ², johtopäätöksenä, että ympyrän keskisymmetrinen suhde sen keskikohtaan on itse ympyrä.

- Harjoitus 2

Osoita geometrisessa muodossa, että keskisymmetria säilyttää kulmat.

Ratkaisu

Kuva 4. Harjoituksen 2 symmetristen pisteiden rakenne. Lähde: F. Zapata.

Lentokoneessa on kolme pistettä A, B ja C. Sen symmetriat A ', B' ja C 'on rakennettu suhteessa symmetriakeskipisteeseen O, kuten kuvassa 4 esitetään.

Nyt meidän on osoitettava, että kulmalla ∡ABC = β on sama mitta kuin kulmalla ∡A'B'C '= β'.

Koska C ja C 'ovat symmetrisiä, niin OC = OC'. Samoin OB = OB 'ja OA = OA'. Toisaalta kulma ∡BOC = ∡B'OC ', koska kärki vastustaa niitä.

Siksi kolmiot BOC ja B'OC 'ovat yhdenmukaisia, koska niillä on sama kulma kahden samanlaisen sivun välillä.

Koska BOC on yhdenmukainen B'OC ': n kanssa, kulmat γ ja γ' ovat yhtä suuret. Mutta nämä kulmat ovat y = γ ': n täyttämisen lisäksi sisäisiä vuorottelijoita linjojen BC ja B'C' välillä, mikä tarkoittaa, että viiva BC on yhdensuuntainen B'C ': n kanssa.

Samoin BOA on yhdenmukainen B'OA ': n kanssa, josta seuraa, että α = α'. Mutta α ja α 'ovat vaihtoehtoiset sisäkulmat viivojen BA ja B'A' välillä, joista päätellään, että viiva BA on yhdensuuntainen B'A ': n kanssa.

Koska kulman ∡ABC = β sivut ovat yhdensuuntaiset kulman ∡A'B'C '= β' kanssa ja myös molemmat ovat akuutteja, seuraa, että:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Todistamalla tällä tavalla, että keskisymmetria säilyttää kulmien mitat.

Viitteet

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Keski-Amerikan kulttuuri.
2. Matemaattiset lait ja kaavat. Kulmanmittausjärjestelmät. Palautettu osoitteesta: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Lentokonegeometria. Palautettu osoitteesta: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Keskinen symmetria. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Kuljetin. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugaatin sisäiset ja ulkoiset kulmat. Palautettu sivustolta: lifeder.com