OKTAALIJÄRJESTELMÄ: HISTORIA, NUMEROINTIJÄRJESTELMÄ, MUUNNOKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Oktaali järjestelmä on emäs-kahdeksan (8)-numerointi järjestelmä; eli se koostuu kahdeksasta numerosta, jotka ovat: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ja 7. Siksi jokaisella oktaaliluvun numerolla voi olla arvo välillä 0 - 7. Oktaaliluvut ne muodostetaan binaarilukuista.

Tämä johtuu siitä, että sen perusta on tarkka kahden voima (2). Toisin sanoen oktaalijärjestelmään kuuluvat numerot muodostuvat, kun ne on ryhmitelty kolmeen peräkkäiseen numeroon, jotka järjestetään oikealta vasemmalle, jolloin saadaan desimaaliarvo.

Historia

Oktaalijärjestelmä on peräisin muinaisista ajoista, jolloin ihmiset laskivat käsiään kahdeksasta kahdeksaan eläimiä.

Esimerkiksi laskeaksesi lehmien lukumäärän tallissa, yksi alkoi laskea oikealla kädellä yhdistäen peukalon pienellä sormella; Sitten toisen eläimen laskemiseksi peukalo yhdistettiin etusormella ja niin edelleen kummankin käden jäljellä olevilla sorilla, kunnes suoritettiin 8.

On mahdollista, että muinaisina aikoina oktaalijärjestelmää käytettiin ennen desimaalia, jotta voidaan laskea digitaalisten välien välinen tila; eli laske kaikki sormet paitsi peukalot.

Myöhemmin perustettiin oktaalinumerojärjestelmä, joka oli peräisin binaarijärjestelmästä, koska se tarvitsee useita numeroita vain yhden numeron edustamiseksi; siitä lähtien luotiin oktaali- ja kuusikulmaiset järjestelmät, jotka eivät vaadi niin monta numeroa ja jotka voidaan helposti muuntaa binaarijärjestelmäksi.

Oktaalinen numerointijärjestelmä

Oktaalijärjestelmä koostuu kahdeksasta numerosta, jotka menevät välillä 0 - 7. Niillä on sama arvo kuin desimaalijärjestelmässä, mutta niiden suhteellinen arvo muuttuu riippuen asemastaan, jonka he käyttävät. Kunkin sijainnin arvo annetaan kannan 8 voimilla.

Oktaaliluvun numeroiden sijainnilla on seuraavat painot:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, oktaalipiste, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, ^8-5.

Suurin oktaaliluku on 7; siten laskettaessa tässä järjestelmässä numeron sijainti kasvaa nollasta 7: een. Kun saavutetaan 7, se kierrätetään arvoon 0 seuraavaa lukua varten; tällä tavoin seuraava numeropaikka kasvaa. Esimerkiksi sekvenssien laskemiseksi, oktaalisessa järjestelmässä se on:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Oktaalijärjestelmään sovelletaan peruslausetta, joka ilmaistaan ​​seuraavalla tavalla:

Tässä lausekkeessa di edustaa numeroa kerrottuna kannan 8 voimalla, joka ilmaisee kunkin numeron paikka-arvon samalla tavalla kuin se järjestetään desimaalijärjestelmässä.

Esimerkiksi, sinulla on numero 543.2. Sen tuomiseksi oktaalijärjestelmään se hajoaa seuraavasti:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Siten meillä on 543,2 _q = 354,25 _d. Alaindeksi q osoittaa, että se on oktaaliluku, jota voidaan edustaa myös numero 8; ja alaindeksi d viittaa desimaalilukuun, jota voidaan myös edustaa luvulla 10.

Muuntaminen oktaalisesta desimaalijärjestelmään

Jos haluat muuntaa luvun oktaalijärjestelmästä ekvivalenttiin desimaalijärjestelmässä, kerro vain jokainen oktaaliluku sen paikka-arvolla oikealta alkaen.

Esimerkki 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Esimerkki 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Muuntaminen desimaalista oktaalijärjestelmäksi

Desimaalikohtainen kokonaisluku voidaan muuntaa oktaaliluvuksi toistuvalla jakomenetelmällä, jossa desimaaliluku on jaettu 8: lla, kunnes osamäärä on yhtä suuri kuin 0, ja kunkin jaon loput edustavat oktaalilukua.

Jäännökset tilataan viimeisestä ensimmäiseen; toisin sanoen ensimmäinen jäännös on pienin merkki oktaaliluvusta. Tällä tavoin merkittävin numero on viimeinen jäännös.

esimerkki

Desimaaliluku, oktaali 266 ₁₀

- Jaa desimaaliluku 266 8 = 266/8 = 33 + loput 2: sta.

- Sitten jaa 33 8: lla = 33/8 = 4 + loput 1: stä.

- Jaa 4 8 = 4/8 = 0 + loput 4: stä.

Kuten viimeisessä jakossa saadaan pienempi jako kuin 1, se tarkoittaa, että tulos on löytynyt; Jäännökset on tilattava vain käänteisesti siten, että desimaalin 266 oktaaliluku on 412, kuten seuraavasta kuvasta voidaan nähdä:

Muuntaminen oktaalista binaarijärjestelmäksi

Muuntaminen oktaalista binaariksi suoritetaan muuttamalla oktaalinumero vastaavaksi binaarinumeroksi, joka koostuu kolmesta numerosta. On taulukko, joka näyttää kuinka kahdeksan mahdollista numeroa muunnetaan:

Näistä muuntamisista voidaan muuttaa mikä tahansa luku oktaalijärjestelmästä binaariksi, esimerkiksi muuntaa numero 572 ₈, sen vastaavia haetaan taulukosta. Siten sinun on:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Siksi 572 ₈ vastaa binaarisessa järjestelmässä arvoa 10111110.

Muuntaminen binaarista oktaaliksi

Binaaristen kokonaislukujen muuntaminen oktaalilukuiksi on päinvastainen kuin edellinen prosessi.

Toisin sanoen binaariluvun bitit on ryhmitelty kahteen kolmen bitin ryhmään oikealta vasemmalle alkavalta. Sitten muuntaminen binaarista oktaaliksi tehdään yllä olevan taulukon avulla.

Joissain tapauksissa binaariluvulla ei ole 3-bittisiä ryhmiä; sen suorittamiseksi lisätään yksi tai kaksi nollaa ensimmäisen ryhmän vasemmalle puolelle.

Jos esimerkiksi haluat muuttaa binaarinumero 11010110 oktaaliksi, toimi seuraavasti:

- 3-bittiset ryhmät muodostetaan oikealta (viimeinen bitti) alkaen:

11010110

- Koska ensimmäinen ryhmä on epätäydellinen, lisätään johtava nolla:

011010110

- Muuntaminen tehdään taulukosta:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Siten binaarinumero 011010110 on 326 ₈.

Muuntaminen kahdeksankertaiseksi heksadesimaaliksi ja päinvastoin

Jos haluat muuttaa kahdeksannen lukumäärän heksadesimaalijärjestelmäksi tai heksadesimaalilukumääräksi kahdeksankymmeneksi, on ensin muutettava luku binaariksi ja sitten haluttuun järjestelmään.

Tätä varten on taulukko, jossa jokaista heksadesimaalilukua edustaa vastaava binäärijärjestelmässä, joka koostuu neljästä numerosta.

Joissakin tapauksissa binaariluvulla ei ole 4 bitin ryhmiä; sen suorittamiseksi lisätään yksi tai kaksi nollaa ensimmäisen ryhmän vasemmalle puolelle

esimerkki

Muunna oktaaliluku 1646 heksadesimaalilukuksi:

- Muunna numero oktaalista binäärimuotoiseksi

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Joten, 1646 ₈ = 1110100110.

- Muuntamiseksi binaarista heksadesimaaliksi, ne järjestetään ensin 4 bitin ryhmässä oikealta vasemmalle:

11 1010 0110

- Ensimmäinen ryhmä täytetään nolla-asteikolla, jotta siinä voi olla 4 bittiä:

0011 1010 0110

- Muuntaminen binaarista heksadesimaaliksi tapahtuu. Korvataan vastaavuudet taulukolla:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Siten oktaaliluku 1646 on yhtä suuri kuin 3A6 heksadesimaalijärjestelmässä.

Viitteet

1. Bressan, AE (1995). Johdanto numerointijärjestelmiin. Yrityksen argentiinalainen yliopisto.
2. Harris, JN (1957). Johdanto binaariseen ja oktaaliseen numerointijärjestelmään: Lexington, Massachusetts Armed Services Agency.
3. Kumar, AA (2016). Digitaalisten piirien perusteet. Learning Pvt.
4. Peris, XC (2009). Yksi käyttöjärjestelmä.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Digitaaliset järjestelmät: periaatteet ja sovellukset. Pearson koulutus.