NELJÄNNITTÄISET SEKVENSSIT: ESIMERKKEJÄ, SÄÄNTÖ JA RATKAISTUJA TEHTÄVIÄ - MATEMATIIKKA - 2026

Asteen sukupolvenvaihdokset, Matemaattisesti koostuvat numerosarjoja, jotka noudattavat tiettyä sääntöä aritmeettinen. On mielenkiintoista tietää tämä sääntö määrittääksesi jonkin sekvenssin ehdoista.

Yksi tapa tehdä tämä on määrittää ero kahden peräkkäisen termin välillä ja tarkistaa, toistuuko saatu arvo aina. Tässä tapauksessa sen sanotaan olevan säännöllinen sekvenssi.

Numerosekvenssit ovat tapa organisoida numeroiden sekvenssit. Lähde: pixabay.com

Mutta jos se ei toistu, voit yrittää tutkia erojen erot ja nähdä, onko tämä arvo vakio. Jos on, niin se on neliöllinen sekvenssi.

Esimerkkejä säännöllisistä sekvensseistä ja neliöllisistä sekvensseistä

Seuraavat esimerkit auttavat selventämään, mitä tähän mennessä on selitetty:

Esimerkki säännöllisestä seuraajasta

Olkoon sekvenssi S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Tämä sekvenssi, jota merkitään S: llä, on ääretön numerojoukko, tässä tapauksessa kokonaislukuja.

Voidaan nähdä, että se on säännöllinen sekvenssi, koska jokainen termi saadaan lisäämällä 3 edelliseen termiin tai elementtiin:

4

4 + 3 = 7

7 + 3 = 10

10 + 3 = 13

13 + 3 = 16

Toisin sanoen: tämä sekvenssi on säännöllinen, koska seuraavan ja edellisen termin välinen ero antaa kiinteän arvon. Annetussa esimerkissä tämä arvo on 3.

Säännöllisiä sekvenssejä, jotka saadaan lisäämällä kiinteä määrä edelliseen termiin, kutsutaan myös aritmeettiseksi etenemiseksi. Eroa - vakio - peräkkäisten termien välillä kutsutaan suhteeksi ja merkitään R.

Esimerkki epäsäännöllisestä ja neliöllisestä sekvenssistä

Katso nyt seuraava jakso:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Kun peräkkäiset erot lasketaan, saadaan seuraavat arvot:

6-2 = 4

12-6 = 6

20 - 12 = 8

30 - 20 = 10

Niiden erot eivät ole vakioita, joten voidaan sanoa, että se ei ole säännöllinen sekvenssi.

Jos kuitenkin tarkastellaan joukko eroja, meillä on toinen sekvenssi, jota kutsutaan S _diff: ksi:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Tämä uusi sekvenssi on todellakin säännöllinen sekvenssi, koska kukin termi saadaan lisäämällä kiinteä arvo R = 2 edelliseen. Siksi voimme vakuuttaa, että S on neliöllinen sekvenssi.

Yleissääntö kvadraattisen sekvenssin rakentamiseksi

Toissijainen sekvenssi voidaan rakentaa yleisesti:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Tässä kaavassa _Tn on termi sekvenssin asemassa n. A, B ja C ovat kiinteitä arvoja, kun taas n vaihtelee yksitellen, ts. 1, 2, 3, 4,…

Edellisen esimerkin sekvenssissä A = 1, B = 1 ja C = 0. Sieltä seuraa, että kaava, joka generoi kaikki termit, on: T _n = n ² + n

Tarkoittaen:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Ero kahden peräkkäisen sekvenssin välillä neliöllisessä sekvenssissä

T _{n + 1} - T _n = -

Ilmaisun kehittäminen huomattavan tuotteen avulla pysyy:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Yksinkertaistamalla sitä saat:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Tämä kaava antaa sekvenssin eroista S _Dif, jotka voidaan kirjoittaa tällä tavalla:

Ero _n = A ∙ (2n + 1) + B

Seuraava luku on selvästi 2 ∙ Joskus edellinen. Eli _eroeron S _diff sekvenssin suhde on: R = 2 ∙ A.

Ratkaistiin asteen sekvenssien ongelmat

Harjoitus 1

Olkoon sekvenssi S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Määritä, jos:

i) Onko se säännöllistä vai ei

ii) Onko se neliöinen vai ei

iii) Se oli neliömäinen, erojen sekvenssi ja niiden suhde

vastaukset

i) Lasketaan ero seuraavien ja edellisten ehtojen välillä:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21 - 13 = 8

Voimme vakuuttaa, että sekvenssi S ei ole säännöllinen, koska ero peräkkäisten termien välillä ei ole vakio.

ii) Erojen sekvenssi on säännöllinen, koska ero niiden ehtojen välillä on vakioarvo 2. Siksi alkuperäinen sekvenssi S on neliöllinen.

iii) Olemme jo todenneet, että S on neliöllinen, erojen järjestys on:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} ja sen suhde on R = 2.

Harjoitus 2

Olkoon sekvenssi S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} edellisestä esimerkistä, jossa varmistettiin, että se on neliöllinen. määrittää:

i) Kaava, joka määrittelee yleisen termin _Tn.

ii) Tarkista kolmas ja viides termi.

iii) Kymmenennen lukukauden arvo.

vastaukset

i) Yleisen kaavan T _n on ∙ n ² + B ∙ n + C. Sitten on edelleen tiedossa A, B ja C arvot.

Erojen sekvenssillä on suhde 2. Lisäksi jokaiselle kvadraattiselle sekvenssille suhde R on 2 ° A, kuten edellisissä osioissa on esitetty.

R = 2 ∙ A = 2, joka johtaa meihin siihen johtopäätökseen, että A = 1.

_{Erojonojakson} S _Dif ensimmäinen sekvenssi on 2 ja sen on täytettävä A ∙ (2n + 1) + B, jossa n = 1 ja A = 1, toisin sanoen:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

ratkaisemalla B: lle, saadaan: B = -1

Sitten S: n (n = 1) ensimmäinen termi on arvoinen 1, toisin sanoen: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Kuten jo tiedämme, että A = 1 ja B = -1, korvaamalla meillä on:

1 = 1 - 1 ² + (-1) + 1 + C

Ratkaisemalla C saadaan sen arvo: C = 1.

Yhteenvetona:

A = 1, B = -1 ja C = 1

Silloin n. Termi on T _n = n ² - n + 1

ii) kolmas termi T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7, ja se on vahvistettu. Viides T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, joka myös varmennetaan.

iii) Kymmenes termi on T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Harjoitus 3

Harjoituksen 3 alueiden sekvenssi. Lähde: oma yksityiskohta.

Kuvassa on viiden kuvion sarja. Hila edustaa pituusyksikköä.

i) Määritä kuvioiden alueen järjestys.

ii) Osoita, että se on neliöllinen sekvenssi.

iii) Etsi kuvan # 10 alue (ei esitetty).

vastaukset

i) Kuvioiden sekvenssin aluetta vastaava sekvenssi S on:

S = {0, 2, 6, 12, 20,….. }

ii) S-ehtojen peräkkäisiä eroja vastaava sekvenssi on:

S _diff = {2, 4, 6, 8,….. }

Koska ero peräkkäisten termien välillä ei ole vakio, niin S ei ole säännöllinen sekvenssi. Vielä on tiedettävä, onko se neliömäinen, jolle suoritamme taas erojen sekvenssin, saadaan:

{2, 2, 2, …….}

Koska kaikki sekvenssin ehdot toistuvat, vahvistetaan, että S on neliöllinen sekvenssi.

iii) Sekvenssi S _dif on säännöllinen ja sen suhde R on 2. Käyttäen yllä esitettyä yhtälöä R = 2 ∙ A, se pysyy:

2 = 2 ∙ A, mikä tarkoittaa, että A = 1.

_Erotusjakson toinen termi S _Dif on 4 ja S _Dif: n n. Termi on

A ∙ (2n + 1) + B.

Toisella termillä on n = 2. Lisäksi on jo määritetty, että A = 1, joten käyttämällä edellistä yhtälöä ja korvaamalla, meillä on:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Ratkaisuna B: lle saadaan: B = -1.

Tiedetään, että S: n toinen termi on arvoinen 2 ja että yleisen termin kaavan on oltava n = 2:

T _n = ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Tarkoittaen

2 = 1 - 2 ² - 1 - 2 + C

Päätellään, että C = 0, toisin sanoen kaava, joka antaa sekvenssin S yleisen termin, on:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Nyt viides vaalikausi on vahvistettu:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Kuvassa # 10, jota ei ole piirretty tähän, tulee alue, joka vastaa sekvenssin S kymmentä termiä:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Viitteet

1. https://www.geogebra.org