Riemannin summa on annettu nimi likimääräisen laskennan selvä kiinteä, jonka avulla erillinen summattu, joilla on rajallinen määrä ehtoja. Yleinen sovellus on funktion alueen likiarvo kuvaajassa.

Se oli saksalainen matemaatikko Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), joka esitti ensin tarkan määritelmän funktion integraalista tietyllä aikavälillä. Hän ilmoitti siitä artikkelissa, joka julkaistiin vuonna 1854.

Kuva 1. Riemann-summa on määritetty funktiolle f ja välilyönnille. Lähde: Fanny Zapata.

Riemann-summa määritetään funktiolla y = f (x), jolloin x kuuluu suljettuun aikaväliin. Tällä aikavälillä tehdään osio P, jossa on n elementtiä:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Tämä tarkoittaa, että aikaväli jaetaan seuraavasti:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

Kuvio 1 esittää graafisesti funktion f Riemann-summan neljän alivälin, harmaan suorakaiteen, osion välein.

Summa edustaa suorakulmioiden kokonaispinta-alaa ja tämän summan tulos lähestyy numeerisesti käyrän f alapintaa, abskissan x = x _{0 ja} x = x _{4 välillä}.

Tietenkin, lähentyminen käyrän alla olevaan alueeseen paranee huomattavasti, koska osioiden lukumäärä n on suurempi. Tällä tavalla summa lähenee käyrän alla olevaan alueeseen, kun osioiden lukumäärä n taipuu äärettömyyteen.

Kaavat ja ominaisuudet

Funktion f (x) Riemann-summa osiossa:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Määritettynä aikavälillä se annetaan:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Missä t _k on välin arvo. Riemann-summassa käytetään yleensä säännöllisiä leveysvälejä Δx = (b - a) / n, missä a ja b ovat abskissin minimi- ja maksimiarvot, kun taas n on alajakojen lukumäärä.

Tässä tapauksessa Riemannin oikea summa on:

Sd (f, n) = * Ax

Kuva 2. Riemannin oikea summa. Lähde: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Vaikka Riemannin vasen summa ilmaistaan:

Jos (f, n) = * Δx

Kuva 3. Vasen Riemann-summa. Lähde: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Lopuksi Riemannin keskimääräinen summa on:

Sc (f, n) = * Ax

Kuva 4. Väliaikainen Riemann-summa. Lähde: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Riippuen siitä, missä piste t _k sijaitsee välillä, Riemann-summa voi yliarvioida tai aliarvioida funktion y = f (x) käyrän alla olevan alueen tarkan arvon. Toisin sanoen suorakulmut voivat joko ulkonea käyrästä tai olla hieman sen alapuolella.

Käyrän alla oleva alue

Riemann-summan pääominaisuus, josta sen merkitys johtuu, on, että jos alajakojen lukumäärällä on taipumus äärettömyyteen, summan tulos lähenee funktion lopulliseen integraaliin:

Ratkaistuja harjoituksia

- Harjoitus 1

Laske funktion a = -2 - b = +2 välillä olevan kiinteän integraalin arvo:

f (x) = x ²

Hyödynnä Riemann-summa. Tätä varten etsi ensin summa n aikavälin n säännölliselle osiolle ja ota sitten matemaattinen raja siihen tapaukseen, että osioiden lukumäärä on yleensä ääretön.

Ratkaisu

Seuraavat vaiheet:

- Ensinnäkin osioväli määritetään seuraavasti:

Ax = (b - a) / n.

-Kun oikealla oleva Riemann-summa, joka vastaa funktiota f (x), näyttää tältä:

-Ja sitten se korvataan varovasti summauksessa:

Seuraava askel on erottaa yhteenvedot ja ottaa vakioarvot kunkin summan yhteiseksi tekijäksi. On tarpeen ottaa huomioon, että indeksi on i, siksi numeroita ja termejä n: n kanssa pidetään vakiona:

- Jokainen summa arvioidaan, koska jokaiselle niistä on sopivat lausekkeet. Esimerkiksi ensimmäinen summista antaa n:

- Viime kädessä laskettava integraali on:

Lukija voi tarkistaa, että tämä on tarkka tulos, joka voidaan saada ratkaisemalla määrittelemätön integraali ja arvioimalla integraation rajat Barrow'n säännön perusteella.

- Harjoitus 2

Määritä likimääräisesti funktion ala:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Syötä x = -1 ja x = + 1 käyttämällä Riemannin keskisummaa 10 osiolla. Vertaa tarkkaan tulokseen ja arvioi prosentuaalinen ero.

Ratkaisu

Askel tai lisäys kahden peräkkäisen erillisen arvon välillä on:

Ax = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Joten osio P, jolla suorakulmiot on määritelty, näyttää tältä:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}

Mutta koska halutaan olevan keskeinen summa, funktiota f (x) arvioidaan alivälien keskipisteissä, ts. Joukossa:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

(Keskimmäinen) Riemann-summa näyttää tältä:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Koska funktio f on symmetrinen, on mahdollista vähentää summa vain viiteen termiin ja tulos kerrotaan kahdella:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397 + 0,381 + 0,352 + 0,312 + 0,266} = 0,683

Tässä esimerkissä annettu funktio ei ole kukaan muu kuin tunnettu Gaussin kello (normalisoitu, keskiarvo on nolla ja keskihajonta yksi). Tämän funktion välin käyrän alla olevan pinta-alan tiedetään olevan 0,6827.

Kuva 5. Riemann-summalla likimääräinen Gauss-kellon alla oleva alue. Lähde: F. Zapata.

Tämä tarkoittaa, että likimääräinen ratkaisu, jossa on vain 10 termeä, vastaa tarkkaa ratkaisua kolmen desimaalin tarkkuudella. Prosenttivirhe likimääräisen ja tarkan integraalin välillä on 0,07%.

Viitteet

1. Casteleiro, JM, ja Gómez-Álvarez, RP (2002). Integral calculus (Kuvitettu ed.). Madrid: ESIC Toimitusjohtaja.
2. Unican. Integraalin käsitteen historia. Palautettu: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann summat. Palautettu osoitteesta: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Riemannin summa. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Riemann-integraatio. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com