- Esittely
- Kuinka se ratkaistaan?
- Hajoaminen yksinkertaisiksi fraktioiksi
- Historia
- Harjoitukset
- Harjoitus 1
- Harjoitus 2
- Viitteet
Summa teleskooppi on haara toiminnan numeerinen sarja. Se käsittelee elementtien summausta ilmaisujen alkuperäisestä arvosta arvoon n, joiden argumentti noudattaa jotakin seuraavista malleista:
(F x - F x + 1); (F x + 1 - F x)
Kuten myös:
Lähde: Pixabay.com
Ne edustavat elementtien summausta, jotka kehitettäessä peruutetaan vastakkaisilla ehdoilla. Mahdollistaa seuraavan tasa-arvon määritteleminen teleskooppisille yhteenvedoille:
Sen nimi tulee suhteesta klassisen kaukoputken ulkonäköön, joka voitaisiin taittaa ja avata muuttamalla merkittävästi sen mittaa. Samoin teleskooppiset yhteenvedot, jotka ovat luonteeltaan äärettömiä, voidaan tiivistää yksinkertaistetussa lausekkeessa:
F 1 - F n + 1
Esittely
Termien summausta kehitettäessä tekijöiden eliminointi on melko ilmeistä. Missä jokaisessa tapauksessa vastakkaiset elementit ilmestyvät seuraavassa iteraatiossa.
Ensimmäistä tapausta (F x - F x + 1) pidetään esimerkkinä, koska prosessi toimii homologisella tavalla (F x + 1 –F x).
Kolmen ensimmäisen arvon {1, 2, 3} kehittämisessä havaitaan yksinkertaistamisen trendi
X 1 (F 1 - F 1 + 1) = F 1 - F- 2
X 2 (F- 2 - F- 2 + 1) = F 2 - F- 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1) = F 3 - F 4
Missä ilmaistaessa kuvattujen elementtien summa:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
On havaittu, että ehdot F 2 ja F 3 on kuvattu yhdessä niiden toistensa vastakohtia, mikä tekee niiden yksinkertaistamista väistämätöntä. Samalla tavalla, se on havaittu, että ehdot F 1 ja F 4 säilytetään.
Jos summa tehtiin arvosta x = 1 - x = 3, se tarkoittaa, että elementti F 4 vastaa yleistä termiä F n + 1.
Osoittamalla tasa-arvoa:
Kuinka se ratkaistaan?
Teleskooppisten summausten tarkoituksena on helpottaa työtä, jotta ei ole tarpeen kehittää ääretöntä määrää termejä tai yksinkertaistaa jotakin liian pitkää lisäysketjua.
Päätöslauselman vuoksi on tarpeen arvioida vain termit F 1 ja F n + 1. Nämä yksinkertaiset korvaukset muodostavat summauksen lopputuloksen.
Termien kokonaisuutta ei ilmaista, ja siitä tulee vain tuloksen osoittamiseksi, mutta ei normaaliksi laskentaprosessiksi.
Tärkeää on huomata numerosarjojen lähentyminen. Joskus summaargumenttia ei ilmaista teleskooppisesti. Näissä tapauksissa vaihtoehtoisten factoring-menetelmien toteuttaminen on hyvin yleistä.
Tyypillinen tekijämenetelmämenetelmä teleskooppisissä lisäyksissä on yksinkertaisten fraktioiden menetelmä. Tämä tapahtuu, kun alkuperäinen fraktio hajotetaan useiden fraktioiden summaksi, jolloin teleskooppikuvio (F x - F x + 1) tai (F x + 1 - F x) voidaan havaita.
Hajoaminen yksinkertaisiksi fraktioiksi
Numeeristen sarjojen lähentymisen todentamiseksi on hyvin yleistä muuttaa rationaaliset lausekkeet yksinkertaisella murto-menetelmällä. Tavoitteena on mallintaa juoni teleskooppisen summauksen muotoon.
Esimerkiksi seuraava tasa-arvo edustaa hajoamista yksinkertaisiksi murtoiksi:
Kehitettäessä numerosarjaa ja sovellettaessa vastaavia ominaisuuksia lauseke on seuraava:
Missä teleskooppimuotoa arvostetaan (F x - F x + 1).
Menetelmä on melko intuitiivinen ja koostuu laskurin arvojen löytämisestä, jotka antavat meille mahdollisuuden erottaa nimittäjästä löytyvät tuotteet tasa-arvoa rikkomatta. Yhtälöt, jotka syntyvät näiden arvojen määrittämisessä, nostetaan tasa-arvon molemmin puolin tehtyjen vertailujen perusteella.
Tätä menettelyä tarkkaillaan askel askeleelta tehtävän 2 kehittämisessä.
Historia
On melko epävarmaa kyetä määrittelemään historiallinen hetki, jolloin teleskooppiset yhteenvedot esitettiin. Sen toteuttaminen alkaa kuitenkin näkyä 1700-luvulla Leibnizin ja Huygensin suorittamissa numeeristen sarjojen tutkimuksissa.
Molemmat matemaatikot, tutkiessaan kolmionumeroiden summauksia, alkavat havaita trendejä peräkkäisten elementtien tiettyjen sarjojen lähentymisessä. Vieläkin mielenkiintoisempi on näiden ilmaisujen mallinnuksen alkaminen elementeissä, jotka eivät välttämättä seuraa toisiaan.
Itse asiassa aiemmin käytetty lauseke viittaa yksinkertaisiin murto-osiin:
Huygens esitteli sen ja kiinnitti välittömästi Leibnizin huomion. Kuka ajan mittaan pystyi tarkkailemaan lähentymistä arvoon 2. Tietämättä sitä, hän otti käyttöön teleskooppisen summausformaatin.
Harjoitukset
Harjoitus 1
Määritä, mihin termiin seuraava summa lähentyy:
Kun summa kehitetään manuaalisesti, havaitaan seuraava kaavio:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6)…. (2 10 - 2 11)
Jos tekijät välillä 2 4 - 2 10 edustavat positiivisia ja negatiivisia osia, niiden peruuttaminen näkyy. Silloin ainoat tekijät, joita ei yksinkertaisteta, ovat ensimmäinen “2 3 ” ja viimeinen “2 11 ”.
Tällä tavoin, kun toteutetaan teleskooppinen summauskriteeri, saadaan seuraava:
Harjoitus 2
Muunna argumentti teleskooppiseksi tyyppisummitukseksi ja määritä sarjojen konvergenssi:
Kuten lausunnossa todetaan, ensin tehtävä on hajota yksinkertaisiksi murtoiksi väitteen uudelleen esittämiseksi ja sen ilmaisemiseksi teleskooppisella tavalla.
Sinun on löydettävä 2 murto-osaa, joiden nimittäjät ovat vastaavasti "n" ja "n + 1", missä jäljempänä käytetyn menetelmän on saatava laskurin arvot, jotka täyttävät tasa-arvon.
Jatkamme A: n ja B: n arvojen määrittämistä. Lisää ensin fraktiot.
Sitten nimittäjiä yksinkertaistetaan ja muodostetaan lineaarinen yhtälö.
Seuraavassa vaiheessa oikealla olevaa lauseketta käytetään, kunnes saadaan malli, joka on verrattavissa vasemmalla olevaan ”3”.
Käytettävien yhtälöiden määrittelemiseksi on verrattava tasa-arvon molempien puolien tuloksia. Toisin sanoen, muuttujan n arvoja ei havaita vasemmalla puolella, tällä tavalla A + B: n on oltava nolla.
A + B = 0; A = -B
Toisaalta vakioarvon A on oltava yhtä suuri kuin vakioarvo 3.
A = 3
Täten.
A = 3 ja B = -3
Kun yksinkertaisten fraktioiden numerointiarvot on jo määritelty, summaus toistetaan.
Siellä, missä teleskooppisen summauksen yleinen muoto on jo saavutettu. Teleskooppisarja on kehitetty.
Missä jaettuna erittäin suurella lukumäärällä tulos lähenee ja lähenee nollaa tarkkailemalla sarjojen lähentymistä arvoon 3.
Tämän tyyppisiä sarjoja ei voitu ratkaista millään muulla tavalla, koska ongelma määrittelee äärettömän monta toistoa. Tämä menetelmä, samoin kuin monet muut, kehystä kuitenkin numeeristen sarjojen tutkimusalan, jonka tavoitteena on määrittää konvergenssiarvot tai määritellä mainittujen sarjojen ero.
Viitteet
- Äärimmäisen pienet laskentatunnit. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Integral Calculus: Jaksot ja funktiosarjat. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. lokakuuta. 2014.
- Laskennan ja todellisen analyysin kurssi. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. kesäkuuta. 2006.
- Ääretön sarja. Tomlinsonin linnoitus. The Clarendon Press, 1930.
- Äärettömien prosessien teorian elementit. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.