LASKENTATEKNIIKAT: TEKNIIKAT, SOVELLUKSET, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - DUDAS - 2026

Laskenta tekniikat ovat sarja todennäköisyydellä menetelmiä laskea useita mahdollisia järjestelyjä joukko tai useita eri esineitä. Niitä käytetään, kun tilien tekeminen manuaalisesti on monimutkaista monien kohteiden ja / tai muuttujien vuoksi.

Esimerkiksi ratkaisu tähän ongelmaan on hyvin yksinkertainen: kuvittele, että pomo pyytää sinua laskemaan viimeisimmät tuotteet, jotka ovat saapuneet viimeisen tunnin aikana. Tässä tapauksessa voit mennä lukemaan tuotteet yksitellen.

Kuvittele kuitenkin, että ongelma on tämä: pomosi pyytää sinua laskemaan kuinka monta viiden saman tyyppisen tuotteen ryhmää voidaan muodostaa viimeisen tunnin aikana saapuneiden kanssa. Tässä tapauksessa laskenta on monimutkaista. Tämän tyyppisissä tilanteissa käytetään ns. Laskentatekniikoita.

Nämä tekniikat ovat erilaisia, mutta tärkeimmät on jaettu kahteen perusperiaatteeseen, jotka ovat kertoimet ja lisäaineet; permutaatiot ja yhdistelmät.

Kertolaskuperiaate

Sovellukset

Kertolasku ja lisäaine ovat perustiedot laskentatekniikoiden toiminnan ymmärtämiseksi. Kertoimen tapauksessa se koostuu seuraavista:

Kuvittelemme aktiviteettia, joka sisältää tietyn määrän vaiheita (merkitsemme kokonaisluvun ”r”), jossa ensimmäinen askel voidaan suorittaa N1-tavoilla, toinen askel N2: lla ja vaihe “r” ei-tavoilla. Tässä tapauksessa aktiviteetti voitaisiin suorittaa tästä toiminnasta johtuvien muotojen lukumäärästä: N1 x N2 x ……….x Nr muodot

Siksi tätä periaatetta kutsutaan kerrannaisiksi, ja se tarkoittaa, että jokainen toiminnan suorittamiseen tarvittava vaihe on suoritettava peräkkäin.

esimerkki

Kuvailkaamme henkilö, joka haluaa rakentaa koulun. Ajattele tätä varten, että rakennuksen pohja voidaan rakentaa kahdella eri tavalla, sementistä tai betonista. Mitä seiniin tulee, ne voivat olla muovia, sementtiä tai tiiliä.

Katto voi olla valmistettu sementistä tai sinkitystä levystä. Viimeinen maalaus voidaan tehdä vain yhdellä tavalla. Herää seuraava kysymys: Kuinka monella tapaa hänen on rakennettava koulu?

Ensinnäkin tarkastellaan askelten lukumäärää, joka olisi pohja, seinät, katto ja maali. Yhteensä 4 vaihetta, joten r = 4.

Seuraavaksi luetellaan N: t:

N1 = tapoja rakentaa perusta = 2

N2 = seinien rakentamistavat = 3

N3 = katon valmistustavat = 2

N4 = maalaustavat = 1

Siksi mahdollisten muotojen lukumäärä lasketaan käyttämällä yllä kuvattua kaavaa:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 koulutapaa.

Lisäaineperiaate

Sovellukset

Tämä periaate on hyvin yksinkertainen, ja siinä tarkoitetaan, että jos saman toiminnan suorittamiseen on useita vaihtoehtoja, mahdolliset tavat koostuvat kaikkien mahdollisten erilaisten tapojen summasta kaikkien vaihtoehtojen toteuttamiseksi.

Toisin sanoen, jos haluamme suorittaa toiminnan kolmella vaihtoehdolla, jolloin ensimmäinen vaihtoehto voidaan tehdä M-tavoilla, toinen N-tavalla ja viimeinen W-tavoilla, toiminta voidaan suorittaa: M + N + ……… + W-muodot.

esimerkki

Kuvittelemme tällä kertaa henkilö, joka haluaa ostaa tennismailan. Voit tehdä tämän valitsemalla kolme merkkiä: Wilson, Babolat tai Head.

Kun menet kauppaan, huomaat, että Wilson-maila voidaan ostaa kahdella kahdella erikokoisella kahvalla, L2 tai L3 neljällä eri mallilla, ja se voi olla kiinnitetty tai kiertymätön.

Babolat-mailassa puolestaan ​​on kolme kahvaa (L1, L2 ja L3), malleja on kaksi ja se voi myös olla kiinnitetty tai kiertymätön.

Päämaila puolestaan ​​on saatavana vain yhdellä kahvalla, L2, kahdessa eri mallissa ja vain kierteetöntä. Kysymys on: Kuinka monella tapaa tämän henkilön täytyy ostaa maila?

M = tapoja valita Wilson-maila

N = tapoja valita Babolat-maila

W = keino valita päämaila

Suoritamme kerroinperiaate:

M = 2 x 4 x 2 = 16 muotoa

N = 3 x 2 x 2 = 12 tapaa

L = 1 x 2 x 1 = 2 tapaa

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 tapaa valita maila.

Jotta tiedät, milloin kerroinperiaatetta ja lisäainetta käytetään, sinun on vain tutkittava, onko aktiviteetillä suoritettavien toimien sarja ja jos vaihtoehtoja on useita, lisäaine.

permutaatiot

Sovellukset

Ymmärtääksesi mitä permutaatio on, on tärkeää selittää, mikä on yhdistelmä, jotta pystyt erottamaan ne ja tietämään, milloin niitä käytetään.

Yhdistelmä olisi elementtien järjestely, jossa emme ole kiinnostuneita asemasta, jonka jokainen niistä käyttää.

Permutaatio puolestaan ​​olisi elementtien järjestely, jossa olemme kiinnostuneita asemasta, jonka jokainen niistä käyttää.

Laitetaan esimerkki ymmärtääksesi eroa paremmin.

esimerkki

Kuvittelemme luokkaa, jossa on 35 oppilasta ja seuraavissa tilanteissa:

1. Opettaja haluaa kolmen oppilaansa auttavan häntä pitämään luokkahuoneen puhtaana tai jakamaan tarvittaessa materiaaleja muille oppilaille.
2. Opettaja haluaa nimittää luokan edustajat (presidentin, avustajan ja rahoittajan).

Ratkaisu olisi seuraava:

1. Kuvittelemme, että äänestyksellä Juan, María ja Lucía valitaan siivoamaan luokka tai toimittamaan materiaalit. On selvää, että 35 mahdollisen opiskelijan joukkoon olisi voitu muodostaa muita kolmen ryhmän edustajia.

Meidän on kysyttävä itseltämme seuraavaa: Onko kunkin opiskelijan järjestys tai asema tärkeä heidän valinnassa?

Jos ajattelemme sitä, näemme, että se ei todellakaan ole tärkeätä, koska ryhmä vastaa kahdesta tehtävästä tasapuolisesti. Tässä tapauksessa se on yhdistelmä, koska emme ole kiinnostuneita elementtien sijainnista.

1. Kuvittelemme nyt, että Juan valitaan presidentiksi, Maria avustajaksi ja Lucia rahoittajaksi.

Onko tässä järjestyksessä merkitystä? Vastaus on kyllä, koska jos muutamme elementtejä, tulos muuttuu. Eli jos asetamme Juanin presidentiksi, asetamme hänet avustajaksi ja Marían presidentiksi, lopputulos muuttuu. Tässä tapauksessa se on permutaatio.

Kun ero on ymmärretty, aiomme saada kaavat permutaatioille ja yhdistelmille. Ensin on kuitenkin määriteltävä termi "n!" (ene factorial), koska sitä käytetään erilaisissa kaavoissa.

n! = tuote välillä 1 - n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ………..xn

Sen käyttäminen todellisten lukujen kanssa:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Permutaatioiden kaava olisi seuraava:

nPr = n! / (nr)!

Sen avulla voimme selvittää järjestelyt, joissa järjestys on tärkeä ja missä n-elementit ovat erilaisia.

yhdistelmät

Sovellukset

Kuten olemme aiemmin kommentoineet, yhdistelmät ovat järjestelyjä, joissa emme välitä elementtien sijainnista.

Sen kaava on seuraava:

nCr = n! / (nr)! r!

esimerkki

Jos 14 opiskelijaa haluaa vapaaehtoisesti puhdistaa luokkahuoneen, kuinka monta siivousryhmää voidaan muodostaa, jos jokaisessa ryhmässä on oltava 5 henkilöä?

Siksi ratkaisu olisi seuraava:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 ryhmää

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Lähde: Pixabay.com

Äiti pyysi Nataliaa menemään ruokakauppaan ja ostamaan hänelle soodan jäähtyäkseen. Kun Natalia pyytää virkailijalta juomaa, hän kertoo hänelle, että virvoitusjuomia on neljä makua, kolme tyyppiä ja kolme kokoa.

Virvoitusjuomien maut voivat olla: koola, sitruuna, appelsiini ja minttu.

Koolatyypit voivat olla: tavalliset, sokeriton, kofeiiniton.

Koot voivat olla: pienet, keskikokoiset ja suuret.

Natalian äiti ei ilmoittanut, millaista virvoitusjuomaa hän haluaa. Kuinka monella tapaa Natalialla on ostaa juoma?

Ratkaisu

M = koon ja tyyppinumero, jonka voit valita valitessaan koolaa.

N = koon ja tyypin lukumäärä, jonka voit valita valitessasi sitruuna-soodaa.

W = koon ja tyyppinumero, jonka voit valita valittaessa oranssia soodaa.

Y = koko- ja tyyppinumero, jonka voit valita valittaessa mintasoodatasi.

Suoritamme kerroinperiaate:

M = 3 × 3 = 9 tapaa

N = 3 × 3 = 9 tapaa

W = 3 × 3 = 9 tapaa

Y = 3 × 3 = 9 tapaa

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 tapaa valita sooda.

Harjoitus 2

Lähde: pixabay.com

Urheilukerho mainostaa lasten ilmaista pääsyä työpajoille luistelun oppimiseksi. 20 lasta on ilmoittautunut, joten he päättävät jakaa ne kahteen kymmenen ihmisen ryhmään, jotta ohjaajat voivat opettaa luokkia mukavammin.

He puolestaan ​​päättävät piirtää, mihin ryhmään jokainen lapsi kuuluu. Kuinka monta eri ryhmää lapsi voi tulla?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa tapa löytää vastaus on käyttää yhdistelmätekniikkaa, jonka kaava oli: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (lasten lukumäärä)

r = 10 (ryhmän koko)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x10! / 10! 10! = 184 756 ryhmää.

Viitteet

1. Jeffrey, RC, todennäköisyys ja tuomion taidot, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Johdatus todennäköisyysteoriaan ja sen sovelluksiin", (osa 1), 3. painos, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Loogiset perusteet ja subjektiivisen todennäköisyyden mittaus". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Johdatus matemaattisiin tilastoihin (6. painos). Ylä Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Arviointitiede: todisteet ja todennäköisyys ennen Pascalia, Johns Hopkins University Press.