ASETA TEORIA: OMINAISUUDET, ELEMENTIT, ESIMERKIT, HARJOITUKSET - MATEMATIIKKA - 2026

Joukko-oppi on osa matemaattista logiikkaa-, joka vastaa tutkimuksen välisten suhteiden yksiköiden kutsutaan sarjaa. Sarjoille on tunnusomaista, että ne ovat kokoelmia samanlaisia ​​esineitä. Sanotut objektit ovat joukon elementtejä ja voivat olla: numeroita, kirjaimia, geometrisia lukuja, esineitä edustavia sanoja, itse esineitä ja muita.

Georg Cantor ehdotti 1800-luvun loppupuolella teoriaa. Vaikka muut merkittävät matemaatikot 1900-luvulla tekivät virallisuutensa: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel.

Kuva 1. Sarjojen A, B ja niiden leikkauspisteiden A⋂ B. Venn-kaavio (oma yksityiskohta).

Venn-kaaviot ovat graafinen tapa esittää ryhmää, ja se koostuu suljetusta tasokuvasta, jonka sisällä ovat ryhmän elementit.

Esimerkiksi kuviossa 1 esitetään kaksi joukkoa A ja B, joilla on yhteisiä elementtejä, elementeillä, jotka ovat yhteisiä A: lle ja B. Nämä muodostavat uuden joukon, jota kutsutaan A: n ja B: n leikkausjoukkoksi, joka on kirjoitettu muodossa symbolinen seuraavasti:

A ∩ B

ominaisuudet

Sarja on alkeellinen käsite, koska se on geometriassa pisteen, viivan tai tason käsite. Ei ole parempaa tapaa ilmaista käsitettä kuin osoittamalla esimerkkejä:

Sarja E, jonka muodostavat Espanjan lipun värit. Tätä tapaa ilmaista joukko kutsutaan ymmärtämisellä. Sama joukko E, jonka laajennus on kirjoittanut:

E = {punainen, keltainen}

Tässä tapauksessa punainen ja keltainen ovat sarjan E elementtejä. On huomattava, että elementit on lueteltu housunkannattimilla eivätkä toistu. Espanjan lipun tapauksessa on kolme värillistä raitaa (punainen, keltainen, punainen), joista kaksi toistetaan, mutta elementtejä ei toisteta, kun kokonaisuus ilmaistaan.

Oletetaan, että joukko V, jonka muodostavat kolme ensimmäistä vokaalikirjainta:

V = {a, e, i}

V: n tehosarja, jota merkitään P (V), on kaikkien joukko, joka voidaan muodostaa V: n elementeillä:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Sarjatyypit

Äärellinen sarja

Se on joukko, jossa sen elementit ovat luettavissa. Esimerkkejä äärellisistä joukoista ovat muun muassa espanjalaisen aakkosen kirjaimet, espanjavokaalit, aurinkokunnan planeetat. Elementtien lukumäärää äärellisessä joukossa kutsutaan sen kardinaalisuudeksi.

Rajaton sarja

Äärettömällä joukolla ymmärretään kaikki se, että sen elementtien lukumäärä ei ole luettavissa, koska riippumatta siitä, kuinka suuri sen elementtien lukumäärä voi olla, on aina mahdollista löytää lisää elementtejä.

Esimerkki äärettömästä joukosta on joukko luonnollisia lukuja N, jotka ilmaistaan ​​laajassa muodossa seuraavasti:

N = {1, 2, 3, 4, 5,…..} On selvästi ääretön joukko, koska riippumatta siitä, kuinka suuri luonnollinen luku voi olla, seuraava suurin on aina löydettävissä loputtomassa prosessissa. On selvää, että äärettömän joukon kardinaliteetti on ∞.

Tyhjä sarja

Se on joukko, joka ei sisällä mitään elementtiä. Tyhjä joukko V on merkitty Ø tai parilla näppäimillä, joissa ei ole elementtejä sisällä:

V = {} = Ø.

Tyhjä joukko on ainutlaatuinen, joten sen on oltava väärin sanoa "tyhjä joukko", oikeassa muodossa sanoa "tyhjä joukko".

Tyhjän joukon ominaisuuksista meillä on, että se on minkä tahansa joukon alajoukko:

Ø ⊂ A

Lisäksi, jos joukko on tyhjän joukon osajoukko, niin väistämättä mainittu joukko on tyhjiö:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Yksittäinen sarja

Yksikköjoukko on mikä tahansa sarja, joka sisältää yhden elementin. Esimerkiksi maan luonnollisten satelliittien joukko on yhtenäinen joukko, jonka ainoa elementti on kuu. Alle 2 ja suurempien kokonaislukujen joukolla B on vain elementti 1, joten se on yhtenäinen joukko.

Binaarinen sarja

Joukko on binäärinen, jos siinä on vain kaksi elementtiä. Esimerkiksi joukko X siten, että x on x ^ 2 = 2: n reaalilukuratkaisu. Tämä laajennuksella asetettu kirjoitetaan seuraavasti:

X = {-√2, + √2}

Universal setti

Yleisjoukko on sarja, joka sisältää muita samantyyppisiä tai -luonteisia sarjoja. Esimerkiksi yleinen luonnollisten lukujen joukko on reaalilukujen joukko. Mutta reaaliluvut ovat myös kokonaislukujen ja rationaalilukujen universaali joukko.

Ydinasiat

- Sarjojen väliset suhteet

Kokoonpanoissa niiden ja niiden elementtien välillä voidaan luoda erityyppisiä suhteita. Jos kahdella joukolla A ja B on täsmälleen samat elementit keskenään, muodostetaan tasa-arvosuhde, joka merkitään seuraavasti:

A = B

Jos kaikki joukon A elementit kuuluvat joukkoon B, mutta kaikki B: n elementit eivät kuulu A: hon, niin näiden joukkojen välillä on sisällyttämissuhde, jota merkitään tällä tavalla:

A ⊂ B, mutta B ⊄ A

Yllä oleva lauseke kuuluu seuraavasti: A on B: n osajoukko, mutta B ei ole A: n osajoukko.

Osoittaakseen, että jotkut elementit tai elementit kuuluvat joukkoon, käytetään jäsensymbolia ∈, esimerkiksi sanomalla, että x-elementti tai elementit kuuluvat joukkoon A kirjoitetaan symbolisesti seuraavasti:

x ∈ A

Jos elementti ei kuulu joukkoon A, tämä suhde kirjoitetaan seuraavasti:

ja ∉ A

Jäsenyyssuhde on olemassa joukon ja joukon elementtien välillä, lukuun ottamatta tehojoukkoa, tehojoukko on kaikkien mahdollisten joukkojen kokoelma tai joukko, jotka voidaan muodostaa mainitun joukon elementeillä.

Oletetaan V = {a, e, i}, sen tehosarja on P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}, tällöin joukosta V tulee elementin joukko P (V) ja se voidaan kirjoittaa:

V ∈ P (V)

- Sisällyttämisen ominaisuudet

Sisällyttämisen ensimmäinen ominaisuus osoittaa, että jokainen joukko sisältyy sinänsä, tai toisin sanoen, että se on itsensä osajoukko:

A ⊂ A

Sisällyttämisen toinen ominaisuus on transitiivisyys: jos A on B: n osajoukko ja B puolestaan ​​on C: n osajoukko, niin A on C: n osajoukko. Symbolisessa muodossa transitiivisyyssuhde kirjoitetaan seuraavasti:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Alla on Venn-kaavio, joka vastaa inkluusion transitiivisyyttä:

Kuva 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Toiminnot sarjojen välillä

Risteys

Risteys on kahden sarjan välinen operaatio, joka johtaa uuteen joukkoon, joka kuuluu samaan yleisjoukkoon kuin kaksi ensimmäistä. Siinä mielessä se on suljettu toimenpide.

Symbolisesti leikkausoperaatio on muotoiltu seuraavasti:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Esimerkki on seuraava: sanan ”elementit” kirjainten joukko A ja sanan ”toistettu” kirjainten joukko B, A: n ja B: n leikkaus kirjoitetaan seuraavasti:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. A: n, B: n ja myös A⋂B: n yleinen joukko U on espanjalaisen aakkosten kirjainten joukko.

liitto

Kahden sarjan yhdistys on ryhmä, jonka muodostavat kahdelle ryhmälle yhteiset elementit ja näiden kahden ryhmän ei-yhteiset elementit. Sarjojen välinen liitto-operaatio ilmaistaan ​​symbolisesti seuraavasti:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Ero

Joukon A erotusopeus miinus joukko B on merkitty AB: llä. AB on uusi joukko, joka muodostuu kaikista A: n elementeistä, jotka eivät kuulu B: hen. Symbolisesti se kirjoitetaan näin:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Kuva 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Symmetrinen ero

Symmetrinen ero on operaatio kahden joukon välillä, jolloin tuloksena oleva joukko koostuu elementeistä, jotka eivät ole yhteisiä molemmille ryhmille. Symmetrinen ero esitetään symbolisesti seuraavasti:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

esimerkit

Esimerkki 1

Venn-kaavio on graafinen tapa esittää joukkoja. Esimerkiksi sanaryhmän kirjaimien joukko C on esitetty seuraavasti:

Esimerkki 2

Venn-kaaviot osoittavat alla, että sanan "set" vokaalijoukko on osa "sanan" kirjainsarjasta.

Esimerkki 3

Espanjan aakkosten kirjainten joukko Ñ on äärellinen joukko, tämä laajennuksen joukko on kirjoitettu seuraavasti:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} ja sen kardinaalisuus on 27.

Esimerkki 4

Espanjan vokaalien joukko V on joukko subs:

V ⊂ Ñ on siis rajallinen joukko.

Äärellinen joukko V laajassa muodossa on kirjoitettu näin: V = {a, e, i, o, u} ja sen kardinaalisuus on 5.

Esimerkki 5

Kun joukot A = {2, 4, 6, 8} ja B = {1, 2, 4, 7, 9}, määritetään AB ja BA.

A - B ovat elementtejä A, joita ei ole kohdassa B:

A - B = {6, 8}

B - A ovat elementit B, joita ei ole kohdassa A:

B - A = {1, 7, 9}

Ratkaistuja harjoituksia

Harjoitus 1

Kirjoita symbolisessa muodossa ja laajentamalla myös parillisten luonnollisten lukujen joukko P alle 10.

Ratkaisu: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Harjoitus 2

Oletetaan, että joukko A, jonka muodostavat luonnolliset luvut, jotka ovat kertoimia 210, ja joukko B, jonka muodostavat luonnolliset luvut, jotka ovat alle 9. Määritä laajennuksella molemmat joukot ja määritä, mikä suhde näiden kahden joukon välillä on.

Ratkaisu: Joukon A elementtien määrittämiseksi meidän on aloitettava etsimällä luonnollisen luvun 210 kertoimet:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Sitten sarja A kirjoitetaan:

A = {2, 3, 5, 7}

Tarkastelemme nyt joukkoa B, joka on alimmillaan kuin 9. 1 ei ole alkuluku, koska se ei täytä alkulähteen määritelmää: "Luku on alkupää, jos ja vain jos siinä on tarkalleen kaksi jakajaa, 1 ja luku itsessään." 2 on tasainen ja samalla se on prime, koska se täyttää alkulähteen määritelmän, muut alimmillaan kuin 9 ovat 3, 5 ja 7. Joten joukko B on:

B = {2, 3, 5, 7}

Siksi kaksi joukkoa ovat yhtä suuret: A = B.

Harjoitus 3

Määritä joukko, jonka elementit x eroavat x: stä.

Ratkaisu: C = {x / x ≠ x}

Koska jokainen elementti, numero tai objekti on yhtä suuri kuin itse, joukko C ei voi olla muu kuin tyhjä joukko:

C = Ø

Harjoitus 4

Olkoon luonnollisten lukujen joukko N ​​ja Z on kokonaisluku. Määritä N ⋂ Z ja N ∪ Z.

Ratkaisu:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, koska N ⊂ Z.

Viitteet

1. Garo, M. (2014). Matematiikka: neliömäiset yhtälöt: Kuinka ratkaista neliömäinen yhtälö. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF ja Paul, RS (2003). Johtamisen ja talouden matematiikka. Pearson koulutus.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematiikka 1 syyskuu. Kynnys.
4. Preciado, CT (2005). Matematiikan kurssi 3. Toimituksellinen progreso.
5. Matematiikka 10 (2018). Msgstr "Esimerkkejä rajallisista sarjoista". Palautettu osoitteesta: matematicas10.net
6. Wikipedia. Aseta teoria. Palautettu osoitteesta: es.wikipedia.com